什么是单纯形法？单纯形法有何作用

　　一、算法原理
　　1、问题引入
　　在之前讲解过的多维极值的算法中（最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法等），我们都利用了目标函数的导数值，因为函数的导数值是函数性态的反应。但在实际的工程应用中，会出现目标函数复杂导致求导麻烦甚至无法求导的情况。
　　单纯形法就解决了该问题，可以在不求导的情况下，根据若干个点的函数值大小关系，判断目标函数的变化趋势，为寻找目标函数的极值方向提供依据，这样经过若干次迭代，找到极值点。
　　例如，在求一维极值时我们用过的黄金分割法，就是根据函数值的大小关系，不断缩小搜索区间，直至满足精度，退出循环。
　　在求解多维极值时，我们可以使用单纯形法。
　　2、原理
　　我们以求二元函数f（x，y）极小值为例，对于二元函数需要2+1个点的函数值，构造一个三角形。
　　构造初始单纯性（三角形）
　　首先选定初始点x0=（a，b），初始步长h0;
　　接着按照不同的坐标方向（x方向和y方向）和步长h0选取不同的两个点x1，x2，
　　x1=x0+e1*h0，x2=x0+e2*h0，式中e1，e2为步长。
　　以x0，x1，x2三点为顶点的三角形，即为函数f（x，y）的二维单纯形。
　　判断顶点处函数值
　　判断f（x0），f（x1），f（x2）的大小关系，将最大点记为H点，最小点记为L点，剩下的次小点即为G点。
　　我们要求的时f（x，y）的极小值，显然函数值越大，该点离目标点越远，反之函数值越小离目标点越近。所以我们将H点称为最坏点，L点成为最好点，G成为次好或者次坏点。
　　搜索方向的确定（反射）
　　显然，最坏点H的关于边GL的对称方向的点的函数值可能会有所改善，因此将该方向作为下一个搜索方向，这里将H点的对称点R作为下一个搜索点。
　　扩张和收缩
　　判断R点与H点的函数值大小，若R点的函数值《H点的函数值，说明该方向函数值有所下降，可以尝试让R点再走远一点（扩张）。
　　若R点的函数值》H点的函数值，说明走的太远了，让R点收缩。
　　最后可以将原来的H点舍弃，选择RGL作为新的单纯形，进行上述迭代。
　　缩小
　　如果若R点的函数值》H点的函数值，收缩也不能改变函数的变化趋势，也可以将原来的单纯性HGL缩小，取GL和HL的重点C、F将CFL作为新的单纯形，进行上述迭代。
　　
　　
　　matlab代码
　　%% 单纯形
　　syms x1 x2 x3 x
　　f=x1.^2+x2.^2-x1*x2-10*x1-4*x2+60+（x3-2）^2;
　　X=DCX（f，［0 0 0］，1.5，1.7，0.5，1e-10，100）
　　function minx=DCX（f，x0，h，gama，beta，eps，k）
　　% f 函数符号表达式
　　% x0 初始点
　　% h 初始单纯形构造因子
　　% gama 扩张因子
　　% beta 收缩因子
　　% eps
　　% k
　　x0=x0‘;
　　X（：，1）=x0;%初始点x存储在顶点X的第一列
　　Num_var_f=length（symvar（f））;%几维函数
　　%% 构造初始单纯形
　　for i = 1:Num_var_f %三维函数，需要四个顶点坐标
　　x = zeros（Num_var_f，1）;
　　x（i） = x0（i） + h;
　　X（：，i+1）=x;% 将单纯形按列存储
　　end
　　n=1;
　　tol = 1 ;
　　while n 《 k && tol 》 eps
　　%% 计算函数值
　　for i = 1:Num_var_f+1
　　F_val（i）=double（subs（f，symvar（f），X（：，i）’））;
　　end
　　［F_sort，F_index］=sort（F_val）;%从小到大
　　%最好点
　　f_best=F_sort（1）;
　　X_best=X（：，F_index（1））;
　　%最差点
　　f_bad=F_sort（end）;
　　X_bad=X（：，F_index（end））;
　　%次差点
　　f_nextbad=F_sort（end-1）;
　　X_nextbad=X（：，F_index（end-1））;
　　% 计算形心
　　tol=abs（（f_bad-f_best）/f_best）;
　　Xc=1/Num_var_f*sum（X（：，F_index（1:end-1）），2）;
　　%% 反射
　　flag = 0;
　　X_reflect=Xc+（Xc-X_bad）;
　　f_reflect=double（subs（f，symvar（f），X_reflect‘））;
　　%比较反射之后
　　if f_best 》 f_reflect % 反射点R《最好点，可以扩张
　　X_reflect_expand=Xc+gama*（Xc-X_bad）;%扩张
　　f_reflect_expand=double（subs（f，symvar（f），X_reflect_expand’））;
　　if f_reflect_expand 《 f_reflect %扩张点继续缩小
　　X（：，F_index（end）） = X_reflect_expand; %将其作为单纯性的新顶点
　　else %否则
　　X（：，F_index（end）） = X_reflect; %采用扩张前的点作为单纯形的新顶点
　　end
　　flag = 1; %反射成功标志位
　　end
　　if flag == 0 %说明没有反射成功
　　if f_reflect 《 f_nextbad %反射点《次差点
　　X（：，F_index（end）） = X_reflect;%采用该反射点作为新的顶点
　　else % f_reflect 》= f_nextbad
　　if f_reflect 《 f_bad % 反射点要比最差点好一些
　　X_reflect_shrink=Xc+beta*（X_reflect-Xc）;% 收缩点
　　f_reflect_shrink=double（subs（f，symvar（f），X_reflect_shrink‘））;
　　else
　　X_reflect_shrink=Xc+beta*（X_bad-Xc）;% 收缩点
　　f_reflect_shrink=double（subs（f，symvar（f），X_reflect_shrink’））;
　　end
　　if f_reflect_shrink 《 f_bad
　　X（：，F_index（end）） = X_reflect_shrink;
　　else % 缩短边长
　　X = X_best + 1/2 * （X-X_best）;
　　end
　　end
　　end
　　n=n+1;
　　end
　　minx=X_best;
　　end