对于Kalman 滤波相信大多数人都听过这么个例子：
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的， 也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位） 。假设 你对你的经验不是 100% 的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪 声（ White Gaussian Noise ） ，也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配 （ Gaussian Distribu
ti on ） 。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的， 测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
好了， 现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值： 你根据经验的预测值 （系统的 预测值）和温度计的值（测量值）
。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房 间的实际温度值。 假如我们要估算 k 时刻的是实际温度值。 首先你要根据 k-1 时刻的温度值， 来预测 k 时刻的 温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的， 假设是 23 度，同时该值的高斯噪声的偏差是 5 度（ 5 是这样得到的：如果 k-1 时刻估算出 的最优温度值的偏差是 3 ， 你对自己预测的不确定度是 4 度， 他们平方相加再开方， 就是 5 ） 。 然后，你从温度计那里得到了 k 时刻的温度值，假设是 25 度，同时该值的偏差是 4 度。 由于我们用于估算 k 时刻的实际温度有两个温度值， 分别是 23 度和 25 度。 究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点， 我们可以用他们的 covariance 来 判断。因为
Kg^2=5^2/(5^2+4^2) ，所以 Kg=0.78 ，我们可以估算出 k 时刻的实际温度值是： 23+0.78*(25-23)=24.56 度。可以看出，因为温度计的 covariance 比较小（比较相信温度计） ，
所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。 现在我们已经得到 k 时刻的最优温度值了，下一步就是要进入 k+1 时刻，进行新的最优估 算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入 k+1 时刻之前，我 们还要算出 k
时刻那个最优值（ 24.56 度）的偏差。
算法 如下： ((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35 。这里 的 5 就是上面的k 时刻你预测的那个 23 度温度值的偏差， 得出的 2.35 就是进入 k+1 时刻以 后 k 时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的 3 ） 。 就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把 covariance 递归，从而估算出最优的温度值。他运行的 很快， 而且它只保留了上一时刻的 covariance 。 上面的Kg ， 就是卡尔曼增益 （ Kalman Gain ） 。 他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！
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看完这段话之后，我觉得一点也不神奇，1.好多数字无端端就冒出来了，不知其所以然（想来很多人都是这样强行接受了），偏偏我是个喜欢刨根问底的主（就是想不明白。。。 望有明白的指点 ）。 但是看完这段话，还是接触到几个名词： 1.测量值 2.估计值（实际上，卡拉曼滤波有两种估计值，这个在后文会讲清楚，别急） 3.协方差（这个是个神奇的东西，私以为两个随机向量x,y间才有协方差之称，我认为撑死就是个方差这个可以看后文解释）（就是想不明白。。。 望有明白的指点 ） 4.卡尔曼增益
看完这段话之后，我觉得一点也不神奇，1.好多数字无端端就冒出来了，不知其所以然（想来很多人都是这样强行接受了），偏偏我是个喜欢刨根问底的主（就是想不明白。。。 望有明白的指点 ）。 但是看完这段话，还是接触到几个名词： 1.测量值 2.估计值（实际上，卡拉曼滤波有两种估计值，这个在后文会讲清楚，别急） 3.协方差（这个是个神奇的东西，私以为两个随机向量x,y间才有协方差之称，我认为撑死就是个方差这个可以看后文解释）（就是想不明白。。。 望有明白的指点 ） 4.卡尔曼增益
5.偏差（这个是什么鬼~。。。）
好了，设立一个背景，如果我们要测量室内温度，那么就有传感器的原始数据（测量值）。原始数据一般都是有噪声的，这个噪声是满足高斯正态分布的（即有均值和测量方差）。而且这真实的室内温度（估计值），刚好就是我们所要求得了。好了有了这个背景，稍微有点高等数学的知识，私认为是可以看懂标量卡尔曼滤波的证明过程的（OMG，证明过程，***好高大上有木有***）其实没有什么高端的东西，这个只是卡尔曼先生的博士论文而已~对于公式的东西，MakeDown 上传截图失败，见谅~请按下面的思路看，千万不要跳步骤，否则容易走火入魔，哈哈！
1.首先先清楚一个变量（这个搞清楚数学意义就可以了）
这里的先验估计表示为x^−,后验估计为x^,真实值为x
先验估计：根据前一个时刻以及更早的历史观测信息所作出的估计。（X(n|n-1),在知道n-1 时刻的最优估计( x^(t-1) )，可以做ns时刻的估计;另外一种表示：x^-t）
后验估计：根据当前时刻以及更早的历史观测信息所作出的估计。（X(n|n)在知道n时刻的先验估计，根据先验估计和测量值的残余 可以做n时刻的先验估计的修正，这个就是当前时刻n的最优估计了 ）;另外一种表示：x^t）
2.搞清楚我们要滤波的数据的模型。（这个模型目前还是比较容易理解的） 卡尔曼滤波器用于估计离散时间过程的状态变量 x ∈ <实数 。这个离散时间过程由以下离散随机差分方程描述： x(k) = A*x(k−1) + B*u(k−1) + w(k−1)（估计的温度模型） 得到量测方程： z(k) = H*x(k) + v(k)（测量到的数据和真实温度数据的模型） 随机信号 wk 和 vk 分别表示过程激励噪声1和观测噪声。假设它们为相互独立，正态分布的白噪声： p(w) ∼ N(0, Q), (1.3) p(v) ∼ N(0, R). (1.4) 实际系统中， 过程激励噪声方差 Q 和观测噪声方差 R 可能会随每次迭代计算而变化。但在这儿我们假设它们是常数。 以上公式限定为了线性系统，传说中卡尔曼滤波是线性的，来源就在这里。
3.第一点提到，根据 先验估计和测量值的残余 可以做n时刻的先验估计的修正，就可得到最优估计，接下来讨论如何得到最优估计。 根据我们使用的模型 先验估计x^-(t) =A*x^(t-1)+B*u(t) (先验估计=上次的最优估计加上控制量，这里的控制量是系统自身的，反映出来就是真实数据的变化) 真实值x(t)=A*x(t-1)+B*u(t)+w(t) (控制量反映真实值得变化，w(t)反映预测过程的噪声，有基础，有变化，有噪声，基本就是符合实际情况)
4.为了修正先验估计得到 最优估计后验估计 ，我们定义残余 测量值Z(t)和预测值之间的差就是残余 Residual = z(t)-h*x^-(t); z(t)为测量值 残余反映了预测值和实际值之间的差别。残余为零的话，估计值和实际值完全吻合。如果残余很小，表明估计值很好，反之就不好。卡尔曼滤波器可以利用残余的这一信息改善对X(t) 的估计，给出**后验估计 x^(t) *=x^-(t)+Kg (Residual) (后验估计=先验估计，卡尔曼增益和残余积决定)
5.先给出先验估计误差和后验估计误差定义（不知道为何，最近我的博客上传不了图片了，所以导致大家看到的符号会比较难看点~）：
方差就是先验均方差和后验均方差P-(t)=Var(e-(t)) =
;(注意<>这种运算符)P(t)=Var(e(t)) =上面说过，最优估计是后验估计，所以最优的 k 值是使后验均方差为最小的值，就是下式成立时的 k 值（这个公式没有图片实在在Markdown 编辑不出来。。。）对P(t)求导数为零（找到极值点k）。
6，接下来就是Kalman的精髓了（找到卡尔曼增益）：
根据x^(t)=x^-(t)+Kg*Residual;z(t)=H*x(t)+v(t);(v(t)考虑高斯噪声，H考虑乘性噪声（一般默认为1，即无乘性噪声）)可得后验估计误差e^(t)=(1-H*Kg)(x(t)-x^(t))-Kg*v(t);
同样的可以算出后验方差： http://blog.csdn.net/l979951191/article/details/49741413
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