关于有符号，无符号数，原码补码之间的运算

　　初学者很容易把补码的意义理解错误，我来试着给你解释一下。
　　看上面很多人讨论的时候，其实把好几个概念混在一起了。其实我觉得应该分开来讲。
　　1.补码的意义
　　其实我理解的补码的意义很简单，就是认为地创造一种二进制编码，使得两个有符号的补码相加或相乘的时候，在位宽能够装得下你的计算数的前提下，可以直接忽略溢出位。
　　如何能做到这样呢？其实很简单。我们拿加法来举例吧，这样比较简单。
　　我们假设有一个4比特的二进制数，如果我们要用他来表示有符号数。
　　比如6应该是0110，那如果我要如何在能满足我前面提到的要求的前提下，来表示-6？
　　即X+6=0+16。16是2的四次方，既然现在只有四比特，那两个数相加肯定只能再往上溢出1位。如果我们把这个溢出位忽略掉，那就相当于减去了16。所以我们用1010（十）来表示4比特有符号数-6。你可以用补码取反加一的方法去验证每一个数。如果是五比特有符号数，那溢出位忽略掉的就是32了，依此类推。
　　2.为什么要扩位？
　　其实扩位跟补码的运算法则没有半毛钱关系的。我上面说了，补码之所以要发明，就是为了两个数在相加时可以直接忽略溢出位。可以直接忽略，那为什么我们平时要扩位呢？
　　我前面说到了，加法运算的时候，我们需要考虑到数相加之后的你给的位宽能装得下你的结果。比如，一个4比特的有符号数，能表示的范围是-8～7。那如果两个4比特的有符号数相加，范围就是-16～14。这样的范围的数四比特是装不下的，必须要五比特才能装得下。所以为了防止这种我们不期望的溢出发生，就需要在相加之前先扩成五比特。但是如果你这两个数虽然是四比特，但其实你清楚他并不可能把范围用完，比如你只用到了-2～2，那你也可以不用扩位。
　　总之，作为一个数字电路设计工程师，心里必须要随时有一个很清晰的账本，每一个数的取值范围是多少。你在定义每一个数，在做每一次运算的时候都要确保你能装的下他。
　　3.如何扩位
　　当一个数你已经发现了在加法或乘法之后，当前位宽装不下了，那你要如何扩位呢。如果是无符号数或者有符号的正数，那很简单，直接高位补0就行了。
　　如果是负数，其实也很简单，就是理解上稍微麻烦一点。你可以仔细看我第一条负数的补码的推导过程。如果有一个数-N，四比特表示的方法就是16（2的四次方）-N。你现在要扩成五比特，那就需要表示成32（2的五次方）-N。没错，扩展的过程中，其实就是要加上2的四次方即可。这就是你一直被告知的原则，负数扩位高位补1。
　　我上面说的原理同样适用于乘法，有兴趣的话你可以自己去推，其实思路都是一样的。了解了这些，相信楼主不会再在理解补码时这么混乱了。

　　你对有基2补码的理解是错误的。2个N位的有符号数相加，必须各自扩展符号到MSB上形成2个N+1位数相加，最后得到的和取低N+1位，作为和输出，这时和就是N+1位，最高位为符号位。。
　　所谓乘法，也就是加法的扩展版而已。
　　至于其原理，可以从高等代数扯到计算机原理。总之，有符号数，分为1bit符号位和N bit数据位，而且数位能表达的范围比无符号数少了一半（少了1bit等于除以2嘛），如果是2个正数或者2个负数相加，其结果是有可能比原来能表达的范围大的，如果还是用原来的N bit去表达数据位，其结果就是溢出错误，只有用N+1 bit才能表示相加后的结果，所以你首先必须要让2个加数据先具备N+1 bit数据位，再相加，这样相加后的结果才能被正确表示，那么就需要先将2个加数进行位数扩展，那么扩展什么呢？ 如果是无符号数，我们通常想到的就是在高位扩展0，这样就不改变其原值，只是增加了其数据位容量，对于有符号数，我们就是扩展其自己的符号位（正数扩展0，负数补码扩展1），这样也是不会改变原值。然后再相加，得到的结果截取低N+1位数据位+1位符号位，就得到了最后的正确结果。

　　补充一点，之所以要按照我上面说的原则发明补码，是因为数字电路其实是很蠢的。他并不知道你的数是有符号数还是无符号数，我们需要让电路在进行加法或乘法运算时，不论你给的是有符号数、无符号数、正数或是负数，他的映射规则都一模一样。

　　有符号数的加法无视最高位（就是符号位）的溢出，即11111010+00000111=00000001。
　　无符号数的加法，需要扩展以为，因为最高位可能溢出。
　　乘法的话，应该是先对2个数的符号位异或，异或的结果作为输出结果的符号位，然后再将乘数和被乘数都正值化，相乘的结果再加上符号位，就是最终的结果了。