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量子力学经典之光子的波粒子性质

2020-9-28 09:58:22 7356 量子力学

0 `量子力学经典之光子的波粒子性质量子力学为现代物理学经典之一，这里为其中两则，为当今的量子计算和通讯奠定了理论与实践基础指引。内容附图一致符合国际标准章回6 光子的粒子性质 Pg.6097 -------------------- 章回6.1 导论 2020-09-28 虽然艾萨克牛顿是一位光的一种“小题”或者粒子理论的倡导者，在20世纪之前，光的波性质的证据很有说服力。这些像散射，干扰和极性化的现象，为光的特性，已经很好的确立了为波的特性，而不是粒子。更进一步讲，两种光束将会相互通过而没有任何明显的影响，然而，若它们是粒子线束您会期望它们相互碰撞并且分散。很容易接受电子的粒子性质，因为，如我们所见，我们能够定义它的质量，我们可以加速它，并且我们可以通过测量它的冲击的热量确定它的动能。换句话说，我们可以使电子的行为就像我们认为是粒子一般。另一方面，一个光子没有静质量且不能加速。可是它不承载动量，在相对论理论和经典电磁理论两种中。我们现在将讨论两种非常重要的实验，它的解释假设单一个光子直接与一个电子相互作用. 光子被视为它是一个定位的粒子而不是一个波阵面向空间延伸。所以，在这些实验中，光的量子或者粒子性质主导了它的波性质。首先是知名的光电效应，然后是康普顿效应。 2. 光电效应当光线投射到一块干净的金属表面，在一定的条件下，电子从金属上弹射出来。这样的电子称为光电效应。这一术语不暗指光电子与其它电子不同，而它单纯辨认了它们的激发源。一种金属的价电子称为“自由”电子，由于它们不定位到金属的一个特定原子。虽然它们可以在金属内自由漫游，它们自由地离开它的表面，因为有一个电子 *********************************************** 章回6.2 光子的粒子性质 Pg. 6098 的静态结合力在每一个自由电子和正电荷的金属粒子之间。克服这种结合力有几种方法，其中是场发射，热离子化发射，二次发射，和光电发射。在场发射中，电子由一种强的电场取出。在热离子化发射中电子被热激发直到它达到了一种速度足以从表面逃逸。在二次发射中，电子弹射的结果是由于一个告诉粒子从外面撞击表面来的能量传输。在光电发射中电子可以通过与投射光线的作用方法获得足够的能量而逃逸。这里我们将仅仅考虑光电效应。首先我们将更详细地看一下实验数据，必须由一个满意的理论解答，然后我们将讨论爱因斯坦对相互作用的解释。一种典型实验设置用于观察光电效应如图6-1所示。当开关在位置1时，管子内的板子相对阴极是正的；任何光电子发射出来将击中板子并贡献给板子电流。。。。？（示意图）？。。。图6-1 确定光电流的器件（开关在位置1）和由于光子发射（开关在位置2）产生的电子的最大动能。如图6-2所示，一张板电流对板电压给两种不同的光强度图；在这两种情况下光子具有相同的频率。有关这些曲线有几种有趣的特征。首先，注意到它们较早地饱和，意思是一个小的电压足以收集所有的电子，在使用的光线强度发射出的。第二，注意到当板子电压为零光电流不是零。实际上，一个电流保持着甚至若开关投到位置2，使得板子相对于阴极为负。这告诉我们的是光电效应不只是“冒泡”，而是有足够的动能弹出来克服一个对立的电场并还到达板子。最大动能Tmax给予一个光电子可以表达为。。。？Tmax=eVc,?。。。（6.1）这里Vc是反向电压的值使得板电流减少到零。第三，得到？Tmax的相同值，不依赖于光的强度。实验事实的一个小结必须解释满意 ************************************** 章回6.2 光电效应 Pg.6099 光电流饱和电流 Tmax 板子电压。。。？（示意图）？。。。图6-2 示意图光电流比板子电压对于一个已知的光子频率。？Tmax的确定来至反向电势的值其切断光电流。来至光电效应理论如下：（1）有一个光电子发射的阈值频率。若光线束含有光子具有频率高于此阈值，那么将没有光电流，不管光源的强度是多少。（2）阈值随不同的金属变化。（3）条件是阈值频率超过，光电子瞬间发射，不管光源的强度是怎么的地。（4）当有光电流时，它的幅度独立于光的频率，而直接正比于光的强度。（5）光电子的最大动能独立于光的强度，且仅仅取决于它的频率。所有试图解释这些现象通过经典的电磁理论的方法都失败了。认为必须要做的工作，以从金属上移除电子对不同的金属应该有些不同。但是一个阈值频率的理念好像不合理。由于电磁波有能量密度与它相关，您会期望金属会累积足够的能量，最终超越功函数并弹出一个电子。高频率的光和大强度应该干这件事更快一些，但是好像没有原因为什么低频率照射，若给予足够的时间不可以产生一个光电子。另一个相关的问题对于经典的理论是在频率超出阈值时发射几乎是瞬间的。换句话说，发射时间无限地低于阈值，且几乎是零刚好在阈值之上。可是两种波的能量密度满足了这些极端情形不需要明显地变化。时间延迟的测量在光线的入射和 ************************************* 章回6 光子的粒子性质 Pg. 6100 一个光电流出现之间设了一个它的上限10-9秒（s）。可是使用经典的模型计算，对于一个弱的光源显示会期望数分钟甚至数个小时的延时。第三个难点来至光电子的最大动能的明显的极限。经典地讲，光电子会期望的一个动能范围取决于在电子逃逸之前积累了多少能量。但是无法解释一个离散的？Tmax，它对于一个已知的金属，仅仅是入射光线的频率的一个函数。经典地讲，？Tmax应该随着光的强度增加。这个谜被爱伊斯坦在1905年解答，并且在1921年对于他的光电效应的解释，他荣获了诺贝尔奖。建立在量子概念之上，他假设到光子可以传输它的所有的能量作为一个单位给金属中的单一个电子。那么, 从能量守恒我们可以列出。。。？（hv=W+Tmax）？。。。（6.2）这里hv是光子能量的光子，W是金属的功函数，而Tmax是光电子的最大动能。一个阈值频率vc的概念很容易从方程式6.2获得，为了使光电流存在由于光子能量必须超出W。我们定义阈值频率由。。。？vc=W/h，?。。。（6.3）这里假设要求所有的光能量来移除电子，并且没有剩下能量提供提供它的动能。从金属到金属在？W上的差别解释了为什么？vc变化。没有要求有意义的时间间隔给电子积累能量的事实的解释是通过解释对于？v>vc?每个光子搭载了要求的数额。一个源太弱它每秒钟发送单一个电子在原理上产生了每秒一个电子的光电流。您会期望光电流的大小会期望是直接正比于光的强度。 [注意：随着激光的出现能够发射一致性的辐射在高的功率等级，在钠金属中观察到了两个光子光发射。理论预测双量子辐射应该正比于入射辐射功率的平方，像相反于近似线性关系保持给如上所讨论的单量子光效应。] 从方程式6.2很明显光电子的最大动能是直接正比于光子的频率并不依赖于光强度。函数关系式如图6-3所示，这里线条的斜率是？h且它与W和？W/h相交。所以，通过认真测量v和Tmax，h和W两者可以通过实验获得。在1916年这首先是由米利凯恩做出，为此他荣获了1923年度的诺贝尔奖。 ******************************************** 章回6.2 光电效应 Pg.6101 最大动能频率 vc=w/h 。。。？（示意图）？。。。图6-3 光电子的最大动能比光子频率。 -------------------------------------------- 例6-1 要求一个？Vc=2.5伏特（v）的反向电压来减少光电流至零，当波长为4000A0？的光线击中了一定的金属。（a）最快的光电子的动能是什么？（b）金属的功函数是什么？（c）金属的阈值频率是什么？解答 (a)从方程式6.1，？Tmax=eVc=2.5eV=1.610-19库尔2.5伏特=4.010-19J (b)入射光子的能量是？hv=hc/r?=(算式)=5.010*-19J（焦耳）那么，从方程式6.2，。。。？（W=hc/r?算式=0.63eV）？。。。 (c)阈值由方程式6.3给出为。。。？(vc=W/h?算式=1.510*14Hz(赫兹)？。。。 -------------------------------------------------------- 例6-2 钠的阈值波长是什么，它的功函数是？3.6910-19J？解答。。。？（？rc=c/vc=hc/W=(算式)=5420A0）?。。。 ************************************************** 章回6.3 光子的粒子性质 Pg.6102 ------------------------------------------------------ 例 6-3 由实验确定阈值波长给电子的光发射来至锂（Li）是5865A0？。锂的功函数是什么？解答。。。？（W=hc/rc?=算式=2.13eV（电子伏特））？。。。 ====================================================== 3. 康普顿效应一般都知道早期与单色？x-射线的工作人员，一种散射的光束总是包含有一个较长的波长分量附加给入射波长。康普顿从碳做了系统的研究x-射线并获得如图6-4的光谱。惊奇的事情是波长位移独立于源的波长和散射材料，虽然它随散射角变化。可是，康普顿成功地解释了这个古怪的效应，通过处理x射线为一个粒子与一个净质量的粒子发生了碰撞，如一个电子或者一个原子为一个整体。如图6-5所示意。碰撞的数学分析仅仅要求能量和动量守恒。从动量守恒我们有。。。？（p0=算式）？。。。和。。。？（O=算式，）？。。。从此我们可以消掉？O/，通过分离每个方程式左手边？O/里的项，平方，在相加。那么，。。。？（算式）？（6.4）能量守恒要求。。。？（算式）？。。。（6.5）或者。。。？（算式）？。。。（6.6）对此平方，。。。？（算式）.？。。。 (6.7) 从方程式6.4减去方程式6.7，。。。？（算式）.？。。。（6.8）由于碰撞之后粒子的速度会是很好相对的，我们 -------------------------------------------------------------- ********************************************************** 章回 103 康普顿效应6.3 原始强度波长。。。?(示意图)？。。。（a）（b）图6-4 从石墨的x辐射的钼Ka散射。（a）移位线条与散射角的变化。在？r0的顶处，是由于？x射线束的入射。（b）康普顿的波长移位数据对90度散射。（引自康普顿许可版权.）。。。？（示意图）？。。。图6-5 一个光子与一个自由固定质量碰撞。 ************************************ 章回6 光子的粒子性质 Pg.6104 必须使用相对性动量，方程式4.8，。。。？（算式.）?。。。那么。。。？（算式）？。。。，（6.9）这里方程式用以获得最后的表达式。使用方程式6.8和6.9 。。。？（算式1）？。。。。。。？（算式2）？。。。或者。。。？（算式3.）？。。。 (6.10) 使用电子的质量m0，我们找到量？h/m0c=0.0243A(埃)，现在这里称为康普顿波长。注意对于90度的散射，方程式6.10预测一条新的x射线仅仅比原始线条常0.0243埃（A0？）。图6-4显示这一线条为康普顿测量的大的波峰。在90度出现的原始波峰首先好像很惊奇。康普顿为此解释到，通过思考来至原子的光子的散射为一个整体。所以若您使用一个整碳原子的质量而不是电子质量如方程式6.10，波长移位会由20,000的一个系数，且数额大约是一个矮的大约一个百万分子一埃（A0）0。所以，一个原子的散射是为了所有没有位移的实际的建议。康普顿的工作提供了相当有说服力的证据，即一个光子可以经历类似粒子的碰撞与原子核非索搏的电子。后期研究学习回弹的电子和它们的能量给理论预测添加了进一步的确认。 ------------------------------------------------------------ 例6-4 具有0.3埃波长的X射线是康普顿散射了。寻找一个光子在60度角的波长，以及散射电子的能量。解答从方程式6.10，。。。？（算式1,2，3）？。。。从方程式6.5，。。。？（算式1,2，和3）？。。。 ---------------------------------------------- 章回6.4 光子的双重性质：波包 Pg.6105 ----------------------------- 例 6-5 若康普顿散射中给了一个电子的最大能量是30keV，入射光子的波长是什么？解答最大的能量给了一个已知的电子当光子回散射时，即，当？O-=π在方程式6.10时。那么，。。。？（算式）？。。。从方程式6.5我们有。。。？（算式123）？。。。 ============================================= 4. 光子的双重性质：波包光子的粒子性质由光电效应演示及康普顿效应，不在被视为不相容的与压倒性的证据及它的类似波的行为。这些现象如干扰和衍射对一个波的描述特别，在作用范围内扩展到波阵面的一大部分，与粒子的定位相互干扰形成对比。关于光子为一个波包含有许多波的一种叠加告知它一些波和材料粒子两者的特性。所以，所以光子展现了它的波性质当它与一个目标作用时，例如格子，这里每个组成的波的瞬态的细节很重要。另一方面，它显示了它的粒子性质当包的能量和动量作为一个整体传输到另一个粒子。在后者情形中，组成波的相的细节不重要。波和粒子两方面要求来描述光历史上已知互补性波尔原理。即波和粒子方面相互互补。为了更好地理解一个波包的性质，首先让我们两个平面波的叠加。在经典物理学中我们常常表达一个平面波的传输以正x方向，通过或者实数或者虚数部分，下列的一个 ***************************************** 章回6. 光子的粒子性质 Pg. 6106 相当的表达式：。。。？（表达式）.？。。。 (6.11) 这里A是波的幅度，？k=2π/r?是传播常数，？w=2πv是角频率，而T是和谐振荡周期。波阵面的传播速度是想速度，？u=w/k=rv.?. 假设两个波具有稍微不同的频率和波长通过一个介质一起传播。为了简单让我们取它们的幅度和初始相相等。然后我们可以表达这两个波表达式为。。。？（表达式1）？。。。（6.12）和。。。？（表达式2），？。。。（6.13）这里？dk和？dw是无限小的量。使用三角几何恒等式。。。？（恒等式），？。。。（6.14）我们可以表达结果的位移从这两个波的叠加。。。？（算式）.？。。。（6.15）注意k'=k+dk/2~k,和w’=w+dw/2~w,由于?dk《k和？dw《w。那么含有正弦的项基本上等于？U/1函数，且可以认为是一个“承载”波，有项速度为？u=w'/k'~w/k. 余弦项具有调节载波幅度的效果，且调节包络移动以所谓的小组速度由？v=dw/dk给出。能量的传输（即，一个信号）必须发生在小组速度而不是以相速度。这个原因是清楚的弱您理解傅里叶积分定理（附录C），但是这里可以简单地陈述，即一个信号的传输总是包含一种或者另一种的调节。一个单频率的无限长的波串绝不可能用以在它的相速度传输信息。发信号总是包括斩波（键入），幅度调节，频率调节，或者相调节。这些处理过程都造成了许多平面波的叠加，一组不同频率围绕一些一定的频率，即，一个波包的形成。由于包的包络必须具有一个有限的空间扩展，所有它的平面波成分的幅度之和必须到处为零，除非这里包是定位了的。包承载的能量以它的小组速度那么是类似于相同速度的一个自由粒子的动能。波包如图6-6所示，其为仅仅两个部分组成，到处都不是零，而它的包络在整个空间是重复的。可是原理上其它处的幅度可以抵消若使用了足够的频率部分。将在章回8显示这是如何进行分析的，这里傅里叶积分定理将用以构建定位的波包来表达材料的粒子。 ******************************************* 章回6.5. 海森堡的不确定性原理 Pg.6107 。。。？（表达式12，示意图）？。。。图6-6 调节包络的半个波长的形成来至两个平面波的叠加，几乎相同的频率和相同的幅度。这个图案在整个空间连续重复。若一个波包的所有波长以相同的相速度在一个介质中传播，这里称为没有离散。这一情形的物理结果是波包保持它的传输时的形状，无需考虑它包含的频率数量。当离散发生时，波包在它传播时改变形状。频率依赖于传播常数称为离散关系，并可列为。。。？w=u（k）k.?。。。（6.16）若相速度对于所有的波长都是？u，没有离散且小组速度和相速度相同。即，。。。？v=dw/dk=u。?。。。（6.17）章回6.5. 海森堡的不测不准原则在前回所讲中，一个电磁能量的定位的波包一定包含有大量的混合数量的不同频率的平面波。相互矛盾地，波包越是接近单色，它变得越宽。所以若频率铺开接近于零，那么波包是如此的宽（它的波串是这么的场），即它的传输时间是非常非常的大。在电子过渡中原子的光辐射具有一个有限的波串大约对应于能态的寿命。在时间域里这些爆发，为10-8秒（s）的次数，造成了频率的铺开而不是以单一的频率发射，且产生了称为频谱线的中性线宽。寿命越长，频谱线的外来频率越少。写下频率的不准原则（铺开频率）由？Aw和 ******************************************** 章回6 光子的粒子性质 Pg.6108 发射时间的不准，由？At，我们可以列出。。。？Aw~2π/At.?。。。（6.18）换句话说，如果单色度描述以铺开k值描述（这里？k=w/c），？Ak的值越小，在坐标空间中波包的扩展越大。即传播常数的测不准和位置的测不准关联为。。。？Akx~2π/Ax.?。。。（6.19）使用普朗克表达式给光子的能量和光子动量的相对值，上述关系式建议。。。？（算式1）？}。。。和。。。？（算式2）？}。。。 (6.20) 这是对精度的一个本质性的限制，对其一定的物理变量的对子可以同时测量在理想的情况下，其中没有实验和仪器上的误差。虽然这些极限在量子系统中不很重要，在宏观的系统中它们完全注意不到，因为普朗克常数h很小。所以，对于对于一个动量已知在10-12kg-m/s之内，测不准x在~10-22米（m），其当然是检测不到的。在方程式6.20的两个例子已知为海森堡的测不准原则，于1927年发布。相同的约束应用于任何普及的坐标和普及的动量与坐标关联。这些变量已知为在经典力学里权威的结合变量。所以，若？q是一个普及的坐标，那么？pq是关联于？q的普及动量。其它关联变量的对子例子是（y,py），（z,pz），（O/,pO/），等等。以官方语言，测不准原则可以如下陈述：测量两个权威关联变量的测不准的乘积必须大于一个量次数为？h=h/2π。即，。。。？（算式）？。。。（6.21）在章回8.4将会量化地讨论测不准原则，相关于波包的行为和期望值的概念。它如何可以应用于物理问题的数个例子将在本名著的整个的下列章回中发生。学者对于该点有兴趣进一步探索敬请参照海森堡的自己的有关主题的自己的讨论。 --------------------------------------------------------- 例6-6 一个光子的测不准的定位是什么，若它的波长是5000埃（？A0）已知为一个精度107的一部分？ --------------------------------------------------------- ******************************************************* 章回6.5. 海森堡的测不准原则 Pg.6109 。。。？（照片1,2上下）？。。。 [顶]阿尔贝特A米切尔森，阿尔贝特爱因斯坦，和罗伯特A.米利凯恩于加州怕萨德纳，1931年。（国际相册）。[低]阿尔贝特A.米切尔森在他的实验室内。（美波尔物理实验室荣誉）。 ******************************************************* 章回6 光子的粒子性质 Pg.6110 解答一个光子的动量给出为。。。？（算式1）？。。。那么，。。。？（算式2）？。。。若这个动量是在x方向，那么在？x方向的测不准是。。。？(算式)？。。。由于？r=510-7米（m）和？Ar=5X10-4埃（？A0）=510-14米（m），。。。？（算式=5米（m）.）？。。。 ---------------------------------------------------------- 例6-7 若一个电子的激发态的寿命是110-9秒（s），能态下的测不准是什么？解答从方程式6.20，。。。？（算式=4.110-6eV(电子伏特)）？。。。 ========================================================== 章回6.6. 光子做为交换粒子在两个充电粒子之间的哥伦布力在此处理为在一定距离上的作用，通过电场线连接电荷。在当代的理论中。可是，两个带电电荷粒子之间的力据说来自电荷之间光子交换而产生。每个电荷是由一个光子云围绕，它们一直发射并从新吸收通过相同的电荷。可是当两个电荷相互作用时，每一个将吸收由另一个发射的光子。这造成它们之间的动量交换，且它们将经历一个力正比于动量交换的时间率。对于这一理念一个粗糙二有用的模型是想象两个人玩一个药丸的“接球”游戏在邻近的隔间内。交换动量试图推开它们，虽然有一个排斥力在作用。另一方面，会造成一个吸引力，若一位选手试图从另一位手里拉开球。由于我们不能观察这些光子，它们称为虚拟光子。若有可能检测到它们，它们的发射和从新吸收会造成能量守恒的违背! 那么，我们为啥找麻烦想象它们的存在？对于这一问题的回答是测不准原则允许能量守恒的违背，条件是它发生的时间如此的短以致它检测不到。从方程式6.20，一个虚拟的光子 ************************************************** 章回小结 Pg6111 必须被从新吸收，在如下给出的时间间隔之内。。。？（算式），？。。。这里？v是它的频率。由相同议题的方式，一个光子（不是一个虚拟的）可以认为是连续地创造和毁灭虚拟电子-正电子对子（请见章回4.6.）。这些处理过程如图6-7所示。 t-----> 虚拟光子 e- 虚拟对子 r e+1 （a）（b）。。。？（示意图）？。。。图6-7 （a）通过一个电子的一个虚拟光子的发射和从新吸收。（b）通过一个光子的一个电子-正电子对子的创造和毁灭。已知光的波性质有数百年了，自从研究学习诸如现象干扰，衍射，和极性化等。虽然有些争议-包括艾萨克牛顿-喜欢光的粒子理论，这一观点很少有经验基础直到普朗克提议光是以离散的能量单位发射的？hv。这些单位或者量子称为光子，虽然它们没有静质量，它们实际上载有动量同时和能量。光子在有些相互作用中出现类似粒子的行为。例如，例如，爱伊斯坦解释到光电效应假设一个光子可以在正确的情形下，传输它的所有能量给一块金属的单一个电子，给它一个动能其最大值是等于光子能量和电子的结合能量之差。以方程式的形式这表达为。。。？（hv=W+Tmax），？。。。这里？hv是光子的能量而W是这块金属的功函数。另一个重要的作用是由原子的电子来的x射线光子的非弹性散射。康普顿简单地处理这为一个两个粒子的碰撞，并成功地解释了散射辐射的波长位移。他的现在的著名的表达式是。。。？（算式），？。。。这里散射的波长？r’和入射波长？r0单位是埃（？A0）。西塔?O/角是散射角。所以我们明显地面临了左右为难的难题即，声学实验证据可以支持光的波性质和光的粒子性子两者。我们避免了这个难题通过声称光子是一个波包其显示了波和粒子特性两者。一个包是许多波的叠加它们的频率非常接近。当这样的一个波包与一个散射格子或者其它器件作用时，这里每一成分波的瞬间相的细节 ******************************************* 章回6 光子的粒子性质 Pg. 6112 很重要，波包表现为一个波。另一方面，波包声明了它的粒子性质，当波包作为一个整体的能量和动量检测到时。一个更为简单的方式称为，“一个光子是一个波当我们以一个波检测器看时，而它是一个粒子当我们用一个粒子检测器观察时。” 我们讲光在波和粒子方面相互互补，并且这一理念已知为互补性原则。有一个固有的测量问题关联于波包的概念。波包越长（波串），可以测量到更为准确的波长（或者频率）。而波包越长，它的定位更少；即，我们知道有关它的位置更少。根据海森堡的测不准原则，动量的测不准和位置的测不准的乘积必须大于？h，即，。。。？（算式）.？。。。这一限制在量子系统中非常重要，而在宏观系统中完全注意不到，由于普朗克常数？h小。在电荷之间的光子虚拟交换现在认为是库仑电力的起源。更进一步，有足够大能量的光子能够产生虚拟正-负电子对子，当条件正确时。问题 6-1.若一个减速的5伏特的势能刚好停止了由铯（Cs）发射的最快的光电子，最能量化的入射光子的波长是什么？使用1.8电子伏特（eV）给铯的功函数。 6-2. 若钠（Na）的光电阈值波长是5420埃（？A0），计算由波长4000埃的光子弹射的光电子的最大速度。 6-3. （a）光的波长4000埃（？A0）投射到锂（Li）。若锂的功函数是2.13eV，找最快的光电子的动能。（b）光子的最大波长能够弹射从锂来的以速度为0.95c的光电子是什么？ 6-4.若一个光电池的光电流的截至由一个减速势能0.92伏特，给单色辐射2500埃，材料的功函数是什么？ 6-5.一种单色光源波长？r照亮了一种金属表面，并弹射具有1eV的最大动能的光电子。实验用相同的金属重复。现在找到最大的光电子的动能是4eV。金属的功函数是什么？ 6-6. 波长2500埃（？A0）的紫外线光入射到钾（K）。什么是.....?。。。。。 **************************************** **************************************** ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ **************************************** **************************************** 章回8 粒子的波性质 Pg.8139 ------------------ 章回8.1. 德布罗意波长在章回5. 我们发现了光，它就此假设为一种波，其行为可以像一种粒子。那么仅仅自然地问道，“一种粒子曾经可以动作的像一种波吗？”这一问题由认真思考的路易斯德布罗意给出，他在他的博士论文上提议到，一个电子具有一种波和一种粒子两者的性质。他的工作的部分动机是来自波尔的轨道之谜，我们在前回所探讨过。他试图解释它们认为电子为一种驻波环绕一个轨道的圆周，如图8-1所示。所以德布罗意要求。。。？（算式），？。。。（8.1）。。。？（示意图）？。。。图8-1 绕着一个圆的圆周的驻波建议了一种方法解释了量化的波尔轨道，通过德布罗意波的方式。在（a）中圆周实际上含有三个波长，而在（b）中有四个波长。 ----------------------------------------- ****************************************** 章回8 粒子的波性质 Pg.8140 这里？r是波长关联与第n个轨道的电子及？r是轨道的半径。把这结合与由波尔提议的角动量的量化，。。。？（算式mvr=nh-），？。。。（8.2）我们立即得到了结果即。。。？（算式）.?。。。（8.3）所以，一个材料的粒子具有一个动量？p伴随着一个波其波长给出为方程式8.3。这个波长现在称为德布罗意波长。应该注意到这个结果完全一致与一个光子的动量的表达式在方程式6.21给出。假设粒子与光子之间完全对称，德布罗意建议任何材料粒子总能量E和动量p必须伴随着一个相波其波长给出为?r=h/p，且其频率由普朗克公式给出，？v=E/h.普朗克和德布罗意关系式可以表达为有用的形式。。。？（算式1和2）？。。。（8.4）这里？h=h/2π，k=2π/r?,而？w=2πv。德布罗意波长的概念是现代量子理论的奠基石之一，而简单的关系为。。。？（算式）？。。。对光子成立，同时对材料粒子的相对性和非相对性两者，条件是使用？p的合适表达。一个粒子的物理性质没有被德布罗意清晰描述，粒子波的能量？E不认为是在波的延伸铺开，而认为是被粒子定位。可是，伴随波是基础为了解释粒子的衍射现象，将会在下回分解。 -------------------------------------------- 例8-1 寻找德布罗意波长关联与一颗10克（g）质量的一个子弹其速度为500米每秒（m/s）。解答。。。？（算式）？。。。 -------------------------------------------- 例8-2。一个电子的德布罗意波长是什么，它从静止由一个150伏特的势能差加速？解答给了电子的动能是150eV=1501.610*-19J=2.4010-17焦耳（J）。由于这与净质量能量相比，经典 **************************************** 章回8.2 水晶波的衍射 Pg.8141 表达式给动能可以使用。即，。。。？（算式1，或者2,3,4）？。。。 ============================================ 2. 水晶波的衍射一个已知动量的粒子是否将展示它的波的特性将确定为它的德布罗意波长的相对幅度与找到它的环境的物理尺寸的比较。我们获知来至我们学习研究光波，声波，和水波，对于波长其非常小于器件和障碍物的尺寸，衍射和其它波效应一般观察不到。在这样的情形下我们可以假设直线的传播，而且问题可以通过射线图的方式处理。所以，我们不期望在我们的日常生活中见到周围的门，树木，或者其它障碍物，因为这些目标的尺寸大约是可见光的波长106或者107这么大。另一方面，对于波长近似或者超过目标的尺寸，衍射效应成为相当总要，而射线图成为毫无意义。例如，我们的演讲产生数米或者数十米的次方的波长，并且我们相当习惯于这些波绕障碍物的衍射。我们的世界确实好像相当奇怪，若可听到的声音的传播遵循射线示意图！在粒子波的情况，普朗克常数确实太小，它导致它们的检测一直在本世纪都被阻碍掉了。例8-1中的子弹有一个德布罗意波长，没有希望超越任何检测的合理极限。对于我们日常世界里的任何目标同样有效。仅当我们思考基础粒子它们本身我们可以得到移动的粒子具有足够小的动量比较于h的值来产生一个可检测的波长。所以，我们从例8-2注意到电子具有100eV次方的能量有德布罗意波长，其对应于大多数水晶固体的原子间隔。所以联系到这些能量的电子应该被水晶衍射，以x射线的相同方式，若德布罗意波真实地存在。来至水晶的衍射首先是由在德国的研究学者报道，但是它通常称为布拉格反射或者布拉格衍射，以W.L.和W.H.布拉格为荣，他们完整地开发了这个方法。分析结果首先是通过假设原子的每个平面动作像一面镜子，其中反射角等于入射角。下一步，反射波来自 **************************************** 章回8. 粒子的波性质 Pg.8142 连续的原子层允许干扰。若来至邻近平面的反射波同相，干扰将会建立且反射将会是强烈的。另外，不同相的反射会试图相互抵消。图8-2显示了两种平行射线入射到两个连续的原子平面在一个立方水晶中。入射平面波路径差-2dsin西塔O/ 。。。？（示意图）？。。。图8-2 从两个平行原子平面的X射线散射。注意两条射线之间的路径差是？2dsin西塔O/.若路径偏差是波长的一个整数倍，射线同相且反射将很强。可是，若路径差等于半个波长的奇数，反射会弱。所以我们对于强反射有德布罗意方程式，。。。？（算式），？。。。（8.5）这里整数n称为最大的次数。最大的一次给出为n=1，二次最大n=2，等等。由于路径偏差随则?西塔O/角变化，很明显反射最大值的角度位置将取决于波长和辐射的入射角的波长两者。许多不同的平行平面组可以画出通过一个实际水晶的原子。图8-2考虑了仅仅平行于水晶表面的平面，而有些更实际的情况示范在图8-3。在后面的图注意到进入平面的距离有关于原子间隔？a，其关系式为。。。？d=asinO/.?。。。进一步，由于?sinO/=cosO/,方程式8.5可以用如下形式表达。。。？（算式）.？。。。 (8.6) 于1927年粒子的衍射首先在实验上认证是来至美的克林顿戴伟松和莱斯特吉尔米尔及英格兰的乔治P汤普森的工作。在戴伟松-吉尔米尔实验中，低能量电子 **************************************** 2. 水晶波的衍射 Pg.8143 入射光束反射。。。？（示意图）？。。。图8-3 对于在一个水晶上的法线入射的电子波或者x射线的布拉格反射。从镍币的一个单水晶的散射。虽然有些电子以所有的角度散射，注意在一个50度的角强度中的一个明显的峰值发生了。进一步，峰值的大小随着入射电子的能量变化，且发现达到了54伏特电子强度的一个最大值。这些实验结果如图8-4所示。下列例子将帮助学者理解这一实验的意义。 ------------------------------------------------------------ 例8-3 计算54伏特电子的德布罗意波长。解答。。。？（算式123）？。。。 -------------------------------------------- 例8-4 若我们假设镍币水晶的一个原子之间的间隔为2.15埃（A0），什么波长 **************************************** 章回8 粒子的波性质 Pg.8144 入射光束目标。。。？（示意图12345）？。。。图8-4 对于低能量电子的散射强度的角度图入射到一个镍币单水晶。为每一张图给出了电子的能量和德布罗意波长。（引用许可，1927年）。对应于最大值的一次方在散射图案中对于50度的一个散射角？解答由于入射和散射线束之间的角度是？2O/=50度，距离a=2.15埃，且n=1，方程式8.6成为。。。？（算式）？。。。 ============================================ 对于54伏特电子的德布罗意波长的计算和下述例子演示的布拉格条件之间的很好的一致性立即被接受为电子的波性质的引人注目的证据。实际上一致性结果比这些显示的例子更好。进一步的实验确认粒子波在水晶中的折射与光波由玻璃折射的方式相同。镍币的折射指数发现大约是1.02。这意味者在镍币水晶中的波长短于例8-3获得的大约百分之二，使它非常接近于例子8-4获得的值。到目前为止我们已经探讨了衍射的研究学习通过后反射如图8-3所示。还观察到了衍射当合适波长的波通过水晶或者薄的金属膜传输，如图8-5所示。若一个单色的线束入射到一个纯单水晶，一个已知的平行原子平面组会给出单一个点在 **************************************** 章回8.2 水晶波的衍射 Pg.8145 照相板入射线束x射线或者粒子水晶或者薄膜。。。？（示意图）？。。。图8-5 衍射。薄膜上对于衍射的每次方（n值），其足够强产生一张图像。光斑的阵列由所有的平面组产生称为劳衍射图案，以马克斯凡劳命名，他首先为x射线使用了这种方法。由单一个水晶的粒子的劳衍射的两个例子如图8-6和8-7所示。若使用一种多重晶体样本而不是一个单水晶，每个在劳衍射图案上的光斑对着散射轴大概成为了一个环。这个的原因是多重晶体包含有大量数目的微小水晶，相对于光线束方位是任意的。它们的汇集效应相当于旋转水晶如图8-3，例如，大约入射光束。。。。？（示意图）？。。。图8-6 一个钨单水晶的一个清洁（110）表面的300伏特（v）衍射。（使用许可，阿姆斯特丹版权，1966年。） ***************************************** 章回8 粒子的波性质 Pg.8146 。。。？（示意图）？。。。图8-7 氯化钠（NaCl）的中子劳厄照片。（E.O.沃兰博士荣誉）图8-8显示了一张劳厄衍射图案，对于电子从一块铜和金的多重水晶膜的散射。 3. 波函数和概率如前回我们所见，单能量性粒子的一个线束非常类似光子的一个光束，对于正确地选择能量和物理尺寸。衍射图案类似于那些所示的现在已经给许多不同的粒子获得了，以及原子和分子。虽然 ***************************************** 3.波函数和概率 Pg.8147 。。。？（示意图）？。。。图8-8 从一个无序的铜金（Cu3Au）合金膜来的50千伏特（kV）电子的衍射。合金膜是400埃厚。（吉尔米尔博士荣誉）在下回中我们在例子中将使用电子，应该理解所有已经讲过的将会是真实的对于任何基础或者原子颗粒。思考一下一个实验安排类似于光学里的杨氏双缝隙实验。让一个单能量的电子线束入射到双缝隙它们的尺寸和间隔的选择是相同次数与德布罗意电子波长的幅度，所以可以检测到衍射现象。实验的示意图如图8-9（a）所示。检测器可以认为是一个阵列的显微计数器或者为一个荧光屏可以用来拍照。若任一个缝隙阻挡了，屏幕上观察到的图案看的像如图8-9（b）所示。可是若两个缝隙都开着的话，图案类似于图8-9（c），这里干扰效应是惊人的明显。若电子的行为像经典的粒子，会没有干扰效应而屏幕上的图案近似于图8-9（d）所示。通过用较低的线束强度实验（每秒钟更少的电子），在一段足够的时间之后会观察到相同的图案。很是令人吃惊，甚至若仅仅一个电子每次发射到逢席上，图8-9（c）的干扰图案会产生，在一个足够大的 ****************************************** 章回8 粒子的波性质 Pg.8148 检测屏入射粒子（a），（b），（c），和（d）。。。？（示意图）？。。。图8-9 （a）粒子的双缝隙实验。（b）由于从缝隙A或者B散射在屏幕上记录的粒子的衍射。（c）缝隙A和B均打开时衍射记录在屏幕上的粒子分布。（d）若波效应忽略记录在屏幕上的粒子的假设的分布。数量的电子击中屏幕。计算机模拟的增长双缝隙图案如图8-10所示。这一实验强迫我们总结道每个电子一次与两个缝隙作用，虽然我们的经典的经验直觉告诉我们，一个电子仅仅可以通过两个缝隙的一个。所以，从现代物理的观点，询问电子通过了哪一个缝隙是毫无意义的。任何试图实验上来确定电子通过了哪一个缝隙将会刚好有效地破坏了干扰图案，就像另一个缝隙被阻挡住了！然后紧接着，不可能预测一个已知的电子会在哪一个点上击中检测屏幕。可是，我们可以关联在位置x的粒子分布的相对高度与在屏幕的x位置一个电子击中的相对概率。再次画出光学模拟，若单色的光子入射到图8-9（a）的缝隙，在（c）的曲线会是一张图相对光强度比屏幕上的位置。在每一个点的光的强度解释为一个波的幅度的平方，由函数的实数或者虚数部分。。。？（算式）.？。。。 (8.7) ******************************************* 3. 波函数和概率 Pg.8149 (a) 28个电子之后，（b）1000个电子之后，（c）一万个电子之后，（d）双缝隙电子图案图8-10 （a），（b），和（c）。计算机模拟增长一个双缝隙干扰电子图案。（d）电子产生的实际双缝隙图案。[允许使用, 纽约1961年版权] 以类似的方式，我们定义一个电子的波函数，？U/(x,t),这样它的幅度的平方正比于找到的电子的概率，在x位置时间t。我们列出波函数和它的复数耦合？U/为。。。？（算式1,2）？。。。（8.8）这里？U/和？U/两者均是复数而不是向量。德布罗意关系式结合到方程式8.8的第二个表达式内，为了由电子的能量和动量替换频率和波数。虽然这一复杂的波函数不能直接观察到（即可测量），它的物理意义处于假设量。。。？（算式）？。。。（8.9）正比于找到的电子在单元？dx为中心在时间？t1。那么在一维空间定义为-00 ******************************************** 章回8 粒子的波性质 Pg.8150 ?\|U/(x,t)\|2对于所有的空间。所以沿x轴某处寻找电子的总概率是。。。？（算式）？。。。（8.10）若在空间有一个单独的电子这个总概率应该是单位。当然若空间没有电子它会是零，由于在那种情况下波的幅度？U/0将会是零。若方程式8.10的积分结果为一些有限数目N不等于单位，那么？U/的幅度应该乘以系数1/N0.5,为了保证总概率确实是单位。系数1/N0.5已知为法定系数，且？U/的幅度的纠正过程以使？P=1，单纯地称为波函数的法定。在由于方程式8.10中的积分离散（成为无限），波函数不能够法定的情况下，那么必须验证它是否适合来表达一个电子。若波函数本身是离散的，称为“行为不良”且它拒绝作为一个可能的波函数。干扰效应的解释演示如图8-9，关联到叠加原理的有效性的假设。当我们应用这一原理到光学的一致性光，我们增加幅度在一个点上在屏幕的垂直方向。那么合成幅度的平方是那一点的强度。所以，。。。？（算式），？。。。（8.11）这里I表示了一个完整的周期的强度的时间平均值。另一方面，当光不一致不同源的相对相淘汰掉且合成强度刚好变成和。。。？（算式）.？。。。（8.12）即干扰项？2A1->.A2->消失以致强度上没有最小或者二次最大。应用实验8-9的叠加原理，我们列出。。。？（算式）.?。。。（8.13）这里，最后两项是干扰项，其取决于两种波的相对相。波函数？U/A和？B中的相系数扮演了角色模拟光学上上例的向量相加，所以指出选择复数波函数的重要性。通过总结，我们见到 de Broglie假设的实验上的认证导致了一个波函数代表一个电子（或者任何其它原子的粒子）。任何良好行为的复数函数可以认为是一种可能的波函数。“良好行为”要求函数有限，连续，且在整个空间为单值，为了如前回所讲它会被法定。后者的要求是必要的为了保证波函数的平方（模数的平方）确实是在一个已知的定位寻找粒子的概率。我们也接受有效性 **************************************************** 章回8.4 波包表示粒子 Pg.8151 的叠加原理。即我们可以研究学习两个或者更多个的波函数，通过考虑每一个瞬间幅度和相，当在空间的一个点寻找它们的组合效应。叠加原理还允许我们组合两个或者更多的波函数来获得另一个函数。可以显示这样的良好行为的函数一个和它本身是一个良好行为的函数。所以，叠加原理为我们提供了一个非常重要的理念，即，一个粒子的更一般更有用的表达的获得是通过大量数目的独特波函数的组合。我们现在将使用这一理念来开发波包的概念。 4. 波包表示粒子在章回6.4我们学习了波包的概念如何解决了光子的情形中的波-粒子双重性。肯定是合理的扩展这个概念到原子和基本粒子，其还申明了波和粒子特性两者。实验取决于类似粒子的特性可以认为是总体上观察波包的行为，而取决于干扰和衍射的实验是观察波包的独立的波长成分。不使用两个波函数稍微有点相差，如方程式6.15所推导的，我们将累加无限数目的波具有无限小的相差。这些波的间隔如此接近，我们可以假设它们的频率和？k值形成一个连续统，所以可以通过一个积分来替代累加。积分由傅里叶积分定理的方式来完成，其在附录C中讨论。这有产生一个真正定位的波包优点具有零幅度除了空间的一个区域之外，如图8-11所示。通过比较的方式，回顾任何波的有限的和其频率差别离散量可以产生一个调制包络类似于一个包（见图6-6）,但是这个波的形式在整个空间重复它本身。为了避免没有必要的数学复杂性，我们将仅仅思考两种基本的而重要的波包。本质的物理理念可以从下列例子提取，而无需详细理解傅里叶积分定理。。。。？（示意图）？。。。图8-11 定位在空间的特征波。 ******************************************* 章回8 粒子的波性质 Pg.8152 ----------------------------------------------- 例8-5 一个振荡器输出产生的一个纯正弦波，频率为？？开关（即键入或者斩波），以使它“开”27秒。输出相的频率分布是什么？解答若我们取脉冲中心的时间是零，那么我们可以在时间上表示和谐的行为如。。。？（算式1，2）？。。。斩波（或者键入）处理过程将引入许多新的变化量的频率，由傅里叶变换给出，在附录C中的方程式C.5, 。。。？（算式1，2，3）？。。。（8.14）这个函数，称为光谱分布函数，如图8-12（a）所绘制。连续的正弦波仅仅有一个频率，？w0，但是键入过程（a），（b）。。。？（示意图）？。。。图8-12 斩一个纯无限的正弦波在时间域（a）和空间域（b）造成的频谱分布。造成一个无限数目个频率的混合。主要的贡献还在它的平率？w0。自然提供了这类斩波的例子，在原子中电子过渡时发射光子。 ================================================= 上例对等的空间会是斩光的平面波具有波长向量？k0=W0/c，通过快门的方式，这样波包在x方向的延伸是？2a。这里？2a=2cT，这里？c是 ******************************************* 章回8.4 波包表示粒子 Pg.8153 光的速度，而2T是开门开的时间间隔。我们可以通过函数从数学上表示平面波。。。？（算式1,2）？。。。那么，从附录C的方程式C.6, 。。。？（算式123）？。。。（8.15）这个函数如图8-12（b）所示。注意空间的斩平面波引入了？k值的连续统以？k0为中心。由一个单独缝隙产生的类似的光学衍射不是巧合的。在衍射中我们简单地认为？k0为一个常数，并且允许它的方向取一个值的范围。这相当于处理缝隙为慧根小波的一个源。注意图8-12（a）中的中央峰值有一半的宽度给出为。。。？Aw=2πAv=π/T,?。。。从此我们看到。。。？2TAv=1.?。。。（8.16）乘以h，且由？At/2代替T，我们陈述最小的不确定积对这类的波包是。。。？（算式）？。。。（8.17）所以我们可以表达海森堡的测不准原则，对于同时测量能量和时间给这样的一个波包为。。。？（算式）？。。。（8.18）类似地图8-12（b）的中央峰值有一半的宽度。。。？（算式），？。。。从此我们获得结果。。。？（算式）。？。。。由于？Ax=2a，在这种情况下，我们可以列出测不准原则，对于同时测量波包的位置和动量为。。。？（算式）.?。。。（8.19）对于波包形状如图8-11所示，测不准的最小值 ****************************************** 章回8 粒子的波性质 Pg.8154 乘积是h在时间t=0。可是如时间进行，波包将在坐标空间（x空间）变宽，所以对于一个已知的？Ap值，测不准乘积随时间增加。可以显示粒子的质量越重，它的波包随时间铺展越慢。这正是我们所想要的为了满足由波尔声明的对应原理。所以对于一个电子定位到？1A0，波包保持它的形式大约10-16秒，而对于一个.22口径的子弹定位到0.1毫米（mm），波包应该保持不变大约1024秒。很明显一个经典轨迹的概念，虽然对于电子毫无意义，而对于一个宏观粒子相当合适。 ----------------------------------------------- 例8-6 现在思考一个波包其？k值频谱是高斯函数（见图8-13），。。。？（算式），？。。。这里？6是分布的标准偏差。即？6是?k空间波包的铺展的测量。寻找x空间的波包的形状。。。。？（示意图）？。。。图8-13 高斯波包。每个波包是另一个的傅里叶变换。波包的宽度是任意取为其标准偏差，如图所示。解答我们使用方程式C.6给出的傅里叶变换列出。。。？（算式）.？。。。这可以首先通过完成指数的平方容易地来积分。为了这样做我们加减量？x262/2如下：。。。？（算式123）？。。。 ***************************************** 章回小结 Pg.8155 。。。？（算死45）？。。。（8.20）我们注意方程式8.20也是一个高斯曲线，而且波包在x方向的铺展给出为？1/6，？k空间的倒数。这演示了测不准原则要求的倒数性质？Ak和？Ax。 ==================================== 在我们总结我们简单介绍的波包之前，应该指出在经典极限中，粒子的速度关联与波包的小组速度。这是对应原理的另一个例子，它陈述到量子力学必须与经典力学给出相同的结果在合适的经典极限中。对于粒子，经典极限发生为非常短的德布罗意波长。一个波包的小组速度给出在方程式6.17为。。。？（算式）.？。。。使用德布罗意关系式我们可以列出。。。？（算式）.?。。。（8.21）由于在经典极限中的一个自由粒子的能量简单地是它的动能，？？？，我们找到。。。？（算式），？。。。（8.22）这里？v是粒子的速度。任何独特分量波的速度称为它的相速度，。。。？（算式），？。。。（8.23）相速度可能大于或者小于小组速度。即一个分量波的顶部可能会可能会跑出波包的前向端头，或者在后端头退去。一个粗略而说明性的方式来可视化这一点是想象一根在空间旋转的理发店的柱子。理发店的柱子的速度可能沿着小组速度，而彩条的明显速度很像相速度。虽然彩条好像移动的比柱子块，所有的能量都由柱子承载。在波包中表示光子或者高速粒子，想速度超过光速的情况会发生。可是，由于没有能量（即，没有信号或者信息）以相速度传输，？u大于？c的事实造成特殊相对论的假设没有违背。小结德布罗意假定一个粒子具有一个波长随后实验上观察了粒子的衍射。我们不观察我们日常生活的世界里的重的目标，因为它们的波长来检测太短。若普朗克的常数？h是一个 ************************************************* 附加的学者研究项目列表 ************************************************* 章回8 粒子的波性质 Pg 8156 很大的数，那么这样的活动诸如球类游戏，桌球，和目标射击可能有衍射的特征，而不是由精准的轨迹为我们所熟悉。为了解释一个粒子的波性质，我们定义了一个波函数从数学上表示它。波函数的绝对值的平方解释为在一个已知的空间和时间寻找粒子的相对概率。结果我们可以定义测量对应于波函数的平方，虽然波幅度本身不是一个壳观察的量。波包的概念解析了经典波-粒子双重性，通过德布罗意关系式，其连接了粒子的能量和动能与波的频率和传播常数。量子力学的基本假设之一是一个波包包含有复杂波函数的叠加可以用于表示一个部分定位的粒子。由于测不准原则要求，在坐标空间上越定位的窄的波包，要求的？k值数越大来形成波包。傅里叶积分定理提供了必要构建波包的数学工具。一个完全没有定位的粒子可能表示为一个单平面波具有一个频率和一个k值；这就是说，一个无限平面波的傅里叶变换是？k空间的一个三角函数。最后，我们注意到一个波包的小组速度对应于粒子速度，而该波包的相速度没有物理意义。问题 8-1. 在什么动能下一个电子会有一个德布罗意波长等于氢原子的直径？这个能量是如何与氢的基态能量比较的？ 8-2.一个30keV（千电子伏特）的德布罗意波长是什么？ 8-3.计算一个1MeV（兆电子伏特）阿尔法（？a）粒子的德布罗意波长。 8-4.寻找具有1/40eV的动能的一个中子的德布罗意波长。这样的一个中子称为一个“热中子”，因为在室温下它与气体分子处于热平衡。 8-5.一个25伏特（v）的电子线束被银散射，其具有一个4.08埃（？A0）的原子间隔。在什么角度是一次布拉格峰值？ 8-6.一个0.025eV的中子线束投射到一个水晶上，其晶格常数是3.14埃（？A0）。一次布拉格峰值是处于什么角度？ 8-7.一个0.082eV中子线束垂直指向于一个立体水晶的表面，并且一个强的布拉格反射峰值发生在一个44度的分开角，在入射和反射线束之间。（a）原子间隔（晶格）是什么..... ************************************************* 内容附图一致符合国际标准粤港澳大湾区 2020-09-28 ` 0
2020-9-28 09:58:22　　评论淘帖0 举报相关推荐 • 量子力学经典理论则五量子力学的原子理论应用 2262 • 世界经典量子力学则二，原子的量子力学理论小结（续完） 1704 • 量子力学原理下载 5686 • 量子力学经典量子力学的原子理论应用之空间量化 2953 • 什么是量子力学?什么叫量子力学? 27739 • 量子力学和物质波 19 • 量子力学三大定律量子力学的作用 18258 • 量子力学的定义是什么量子力学三大基本原理 9461 • 量子力学经典量子力学的原子理论应用之蓝德g系数和塞曼效应 2710 • 量子力学经典之固态物理应用 1864