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如参考文献中所描述，可采用标准过程来确定锁相环(PLL)中二阶环路滤波器的R0、C0 和CP 数值。它采用开环带宽(ω0)和相位裕量(ϕM)作为设计参数，并可扩展至三阶环路滤波器，从而确定R2 和C2（图1）。该过程可直接解出CP，然后推导出其余数值。 
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2 可能是集成在PLL内的固定值元件，因此仅有R0 和C0 用来控制环路响应。这便使得上述过程无效，因为无法调节CP。本文提出一种替代过程，可在CP 数值固定时使用，突破了无法控制CP 值造成的限制。
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假设条件
本环路滤波器设计方法基于两个假设，在三阶无源滤波器设计中，通过调节R0 和C0来补偿R2 和C2，可以将一个二阶环路滤波器设计扩展为三阶设计，此时通常会采用这两个假设条件。
二阶环路滤波器有两个时间常数（T1 和T2）与元件有关： 图2 中的小信号模型为PLL响应的等式化提供了一种途径，并为分析输入端相位干扰所造成的输出端相位变化提供了模板。注意，压控振荡器(VCO)作为一个频率源，表现为理想的相位积分器，因而其增益(KV)系数为1/s（对积分进行等效拉普拉斯变换）。因此，PLL的小信号模型是复频率s的函数（s = σ + jω）。 PLL的闭环传递函数(HCL)定义为：θOUT/θIN。开环传递函数(HOL)定义为：θFB/θIN，与闭环传递函数相关。建议以HOL 来表示HCL，因为开环传递函数包含闭环稳定性的线索： 检查等式5，可以发现潜在的环路稳定性问题。由于HOL 是复数频率s = σ + jω的函数，它必然具有取决于频率的幅度和相位分量。因此，对于任意的s 值，如果HOL 同时表现出单位增益和零点相移特性（或2π 弧度的整数倍），则HCL 分母为零，闭环增益再次变为未定义，系统变得极不稳定。这意味着稳定性受依赖于频率的HOL 幅度和相位特性所控制。事实上，在使得HOL 为单位幅度的频率处，HOL 相位必须离开零（或离开2π 任意整数倍）足够远，才能避免等式5 中的分母为零。 使HOL 为单位幅度处的频率ω0 非常重要。ω0 处的HOL 相位决定了系统的相位裕量ϕM。ω0 和ϕM 都可由HOL 推导得出。 根据ω0 和ϕM 定义R0 和C0 |
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0 和C0
使用设计参数ω0 和ϕM 来确定R0 和C0 值要求表达式包含这四个变量，以及其它常数项。可以从等式4 入手，因为等式4 定义了HOL。这样便将HLF 加入其中，进而通过T1 和T2 加入R0 和C0。由于HOL 具有幅度和相位，因此原则上ω0 和ϕM 也能加入其中。将等式3 代入等式4，重新排列各项可得等式6；等式6 以T1 和T2 以及常数K、N 和CP 来表示HOL： 将等式3 代入等式4，重新排列各项可得等式6；等式6 以T1 和T2 以及常数K、N 和CP 来表示HOL： 同时求解我们所得到的等式中的R0 和C0 很困难。MathCad®提供的符号处理器可求解这两个联立方程，但必须以arctan 代替arccos。进行变换后，符号处理器便可求解R0 和C0，得到下列解集（R0A、C0A；R0B、C0B；R0C、C0C；以及R0D、C0D）。有关对等式12 进行变换以便使用arccos 函数的详细信息请参见附录。 注意，就PLL 建模而言，上述等式中的所有变量都具有正值，包括cos(ϕM)；这是因为，ϕM 的范围限制在0 和π/2 之间。因此，C0A和R0B 显然是负数。由此可知，R0A、C0A 和R0B、C0B 可立即加以排除，因为元件值不可能为负，但需进一步分析R0C、C0C 和R0D、C0D。 注意，包含R0C、C0C 和R0D、C0D 在内的四个等式有公因数： 虽然等式15 和等式16 有可能是等式11 和等式12 的公共解，但它们仅在R0 和C0 均为正时才有效。仔细检查R0 可知其为正——它的分子为正，因为cos2(x)范围为0 到1，且它的分母与等式13相同，由前文可知其为正。C0 分子同样与等式13 相同，因此只要分母满足下列条件，C0 就为正： |
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补偿R2 和C2（三阶环路滤波器）
就三阶环路滤波器而言，R2 和C2 分量产生额外的相移Δϕ；该相 移与二阶环路滤波器有关： 本文演示了仅有R0 和C0 元件值可调节时，如何使用开环单位增益带宽(ω0)和相位裕量(ϕM)作为二阶或三阶环路滤波器的设计参数。采用R0 和C0 的二阶环路滤波器仿真PLL，结果与HOL 以及由此得到的相位裕量理论值完美吻合，从而验证了这些等式。根据等式19和等式18，参数ω0和ϕM 针对二阶环路滤波器分别具有上限值。 确定R0 和C0 的过程中对二阶环路滤波器进行了假设，但通过将所需的相位裕量(ϕM)根据等式21 调节为新的值(ϕM_NEW)便可扩展应用到三阶环路滤波器的设计中，进而根据等式22 得到一个新的上限值(ϕM_MAX_NEW)。 虽然使用二阶环路滤波器进行仿真可验证等式15 和等式16，但若要验证将设计过程扩展至三阶环路滤波器的等式则需对环路滤波器响应HLF(s)进行重新定义，使其包含R2 和C2，如下所示： 如前所述，R0 和C0 等式假定为使用二阶环路滤波器，但在二阶滤 波器中不存在R2和C2，因此虽然通过调节R0 和C0 可以补偿R2和C2 造成的相移，但是将它们看做二阶环路滤波器的一部分还是会构成一个误差源。然而，哪怕存在这样的误差，仿真结果也表明，使用经过调节的R0 和C0 值，但将ω0 限制在最高为等式19推导结果的¼也能获得令人满意的结果。事实上，仿真开环带宽和相位裕量的结果表明，使用三阶环路滤波器的PLL，其与设计参数（ω0 和ϕM）的偏差很小。 仿真结果 以下为针对三阶环路滤波器PLL 运行四次仿真的结果。所有仿真均采用下列固定环路滤波器元件和PLL 参数： CP = 1.5 nF R2 = 165 kΩ C2 = 337 pF KD = 30 µA KV = 3072 (25 ppm/V at 122.88 MHz) N = 100 仿真1 和仿真2 使用ω0 = 100 Hz，该值接近124.8 Hz 的计算上限值(ω0_MAX)。因此，仿真1 和仿真2 偏离设计参数值（ω0 和ϕM）约10%。另一方面，仿真3 和仿真4 使用ω0 = 35 Hz，约为上限值的¼。与预期相一致，仿真3 和仿真4 非常接近设计参数（ω0和ϕM），误差仅为1%左右。 表1 汇总了仿真结果，并囊括了给定设计参数ω0 和ϕM 的R0、C0、ω0_MAX 和ϕM_MAX计算值。注意，为了方便进行对比，建议仿真1和仿真3 都使用ϕM = 80°，但仿真1 必须满足等式22 的限制条件，即ϕM < 48°（因此，选择42°） 表1：仿真结果汇总 附录—将非连续Arctan 函数转换为连续Arccos 函数 等式10 演示了角度ϕ 等于角度θ2 和角度θ1 之差，其中θ2 =arctan(ωT2)，θ1 = arctan(ωT1)。此外，ωT2 可以表示为x/1；ωT1 可以表示为y/1： 余弦定理将三角形的某个内角(θ)与三角形的三条边（a、b 和c）相关联，关系式如下： 求解ϕ： Brennan, Paul V. 锁相环：原理与实践. McGraw-Hill, 1996. Keese, William O. AN-1001, National Semiconductor 应用笔记, 用于电荷泵锁相环的无源滤波器设计技术分析与性能评估. 1996 年 5 月。 MT-086：锁相环(PLL)基本原理 PLL 与集成VCO的PLL 关于作者 Ken Gentile 于1998 年加入ADI 公司，担任时钟与信号频率合成产品线系统设计工程师，办公地点在北卡罗来纳州格林斯博罗。他的专长是直接数字频率合成、模拟滤波器设计和编写MATLAB 中基于GUI 的工程工具。Ken 拥有10 项专利。他在各种行业杂志上发表了14 篇文章以及十几篇ADI 应用笔记，另外还出席了2001、2005 和2006 年的ADI 年度技术研讨会(GTC)。他于1996年毕业于北卡罗来纳州立大学，获得电气工程学士学位。业余时间，Ken 喜欢阅读、玩数学智力游戏，以及从事与科学、工程和"后院"天文学相关的大部分活动。 |
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