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量子力学经典基础数学一则薛定谔波的方程求解

2020-7-27 08:22:05 3761 量子力学

0 本帖最后由 ygpotsyyz 于 2020-7-27 09:51 编辑量子力学经典基础数学一则薛定谔波的方程求解世界经典引用的数学原理为多变量齐次偏微分方程，即描述波的时空函数的薛定谔方程，其求解为特色解法，按变量数，利用分开因子把其分解为此数个的常微分方程即可，各个独立解出。（内容原文页码附图如下，参照一致。） 11. 量子力学在原子理论中的应用 Pg. 187 虽然上一章讨论的一维问题是有指导意义的，而且往往是有用的例子，但人们会期望量子力学在三维世界中找到它最广泛的应用。在这里，重要的是确定相互作用的对称性，因为这是决定特定问题的“空间”的原因。通过选择合适的坐标系统，可以使问题的数学复杂性最小化。例如，对于线性链分子，人们期望使用上一章的一维方法；圆柱形波导器通常用圆柱坐标处理；具有球形符号的原子最好用球面坐标来描述。 1. 氢原子氢原子是一个双体问题，在一个“缓和坐标系中具有球形对称性，其原点固定在其中一个物体上。唯一的是库仑力，它是物体之间距离的函数。第7章（见问题7-10）指出，对于较轻的物体，即电子的质量，用方程7.31中给出的约化质量可以忽略较重的物体，质子在这种情况下的运动。由于我们只考虑氢原子的束缚态（能级），而不是整个原子的动能，所以我们将在整个讨论中使用减少的质量。要解决的本征能量方程是。。。？(-h2/2uv-2+V)u/=eu/，？。。。（11.1）这是简单的方程9.17推广到三维。这里V是库仑势能，。。。？V=-ke2/r（11.2）？。。。（11.2）如方程7.23所示。但是，现在必须表达拉普拉斯操作符V-2 ********************* Pg.188 在球面坐标中如下：。。。？v-2=(d2/dr2+2/rd/dr)+1/r2[1/sinod/do(sinod/do)+1/sin2od2/do/2]。？。。。（11.3）乍一看，这似乎是一种不必要的复杂情况，但学者应该记住，这将有助于分离为获得解决方案所需的变量。如果？V-2以方程9.3的简单形式保留，那么方程11.2中的？r将不得不写为。。。？r=(x2+y2+z2)*-1/2？。。。，并且变量不可分离。为了分离问题的径向和角部分，让我们写一个解，作为角和径向函数乘积的形式。。。？U/(r，o/，o/)=R(r)Y(0/，o/)。？。。。（11.4）此外，让我们用？R表示拉普拉斯算子的径向部分，用？L2表示角部分，从而方程11.3成为。。。？V/2=R+1/r2L2？。。。（11.5）使用方程11.4和11.5，方程11.1可分如下：。。。？r2RR(r)/R(r)+2ur2/h2(E+ke2/r)=-L2Y(o，o/)/Y(o/，O/)？。。。（11.6）如果用？A表示分离常数，我们得到以下两个方程：。。。？RR(r)+2u/h2(E+ke2/r)R(r)=A/r2R(r)？。。。（11.7）和。。。？L2Y(o/，O/)=-AY(o/，O/)。？。。。（11.8）由于我们知道微分算子？L2和？R，这两个方程可以用常微分方程的标准技术求解。径向方程的解有形式. 。。。？~rnl(r/na0)le-r/na0ln+l2l+1，？。。。（11.9）其中？Ln+l2l+1是相关的拉盖尔多项式。这里n和L是叫做量子数的整数. 主量子数n表示壳，对应于初等玻尔理论中的轨道。量子数n的积分值为1,2,3.. 分离常数?A结果由L(L+1)表示，其中L称为角动量量子数。它之所以得名，是因为？L(L+1)h2是电子总轨道角动量的平方。允许的L值为L=0，1，2，...，n-1。方程11.9中的常数？ao是方程7.21给出的玻尔半径。方程11.8的解是称为球面谐波的函数。他们有表格 ************************* Pg.189-1 2. 氢原子中的能量级和电子概率密度。。。？Ylm~Pl*m(coso/)eimo/，?。。。（11.10）这里？Plm（cos 0/）是关联的勒让德函数。注意量子数？l再次出现，同时一个新的量子数？m。后者称为磁量子数，并且其取值为?0，+-1，+-2，...+-l?. 现在可能列出氢原子的一个通解，其格式明显出现三个量子数（n,l,m）: 。。。？U/n,l,m~(r/na0)*le*-2...(算式)eimo/.?。。。（11.11）氢的少数规范化波函数列表如下：。。。？（算式1，2，3，4，5）？。。。（11.12) *************************** 原文页码附图如下：（上述内容符合国际标准）。大湾区 2020-7-27 0
2020-7-27 08:22:05　　评论淘帖0 举报相关推荐 • 量子力学经典术语一则光电子效应 2135 • 量子力学经典理论则五量子力学的原子理论应用 2264 • 世界经典量子力学则二，原子的量子力学理论小结（续完） 1706 • 量子力学经典之光子的波粒子性质 7373 • 量子力学原理下载 5694 • 量子力学经典量子力学的原子理论应用之空间量化 2954 • 量子力学发展应用前沿探讨数则 859 • 什么是量子力学?什么叫量子力学? 27746 • 量子力学和物质波 19 • 量子力学三大定律量子力学的作用 18361