四元数
转自:http://www.cnblogs.com/Mrt-02/archive/2011/10/15/2213656.html
在讨论「四元数」之前,我们来想想对三维直角坐标而言,在物体旋转会有何影响,可以扩充三维直角坐标系统的旋转为三角度系统(Three-angle system),在Game Programming Gems中有提供这么一段:
Quaternions do not suffer from gimbal lock. With a three-angle(roll, pitch, yaw) system, there are always certain orientations in which there is no simple change to the trhee values to represent a simple local roation. You often see this rotation having "pitched up" 90 degree when you are trying to specify a local yaw for right.
简单的说,三角度系统无法表现任意轴的旋转,只要一开始旋转,物体本身即失去对任意轴的自主性。
四元数(Quaternions)为数学家Hamilton于1843年所创造的,您可能学过的是复数,例如:a + b i 这样的数,其中i * i = -1,Hamilton创造了三维的复数,其形式为 w + x i + y j + z k,其中i、j、k的关系如下:
i2 = j2 = k2 = -1
i * j = k = -j * i
j * k = i = -k * j
k * i = j = -i * k
假设有两个四元数:
q1 = w1 + x1 i + y1 j + z1 k
q2 = w2 + x2 i + y2 j + z2 k
四元数的加法定义如下:
q1 + q2 = (w1+w2) + (x1+x2) i + (y1+y2) j + (z1+z2) k
四元数的乘法定义如下,利用简单的分配律就是了:
q1 * q2 =
(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +
(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +
(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2) j +
(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k
由于q = w + x i + y j + z k中可以分为纯量w与向量x i + y j + z k,所以为了方便表示,将q表示为(S, V),其中S表示纯量w,V表示向量x i + y j + z k,所以四元数乘法又可以表示为:
q1 * q2 = (S1 + V1)*(S2 + V2) = S1*S2 - V1.V2 + V1XV2 + S1*V2 + S2*V1
其中V1.V2表示向量内积,V1XV2表示向量外积。
定义四元数q = w + x i + y j +z k 的norm为:
N(q) = |q| = x2 + y2 + z2 + w2
满足N(q) = 1的四元数集合,称之为单位四元数(Unit quaternions)。
定义四元数定义四元数q = w + x i + y j +zk的共轭(Conjugate)为:
q* = 定义四元数q = w - x i - y j -z k = [S - V]
定义四元数的倒数为:
1/ q = q* / N(q)
说明了一些数学,您所关心的或许是,四元数与旋转究竟有何关系,假设有一任意旋转轴的向量A(Xa, Ya, Za)与一旋转角度θ,如下图所示:
![]()
可以将之转换为四元数:
x = s * Xa
y = s * Xb
z = s * Xc
w = cos(θ/2)
s = sin(θ/2)
所以使用四元数来表示的好处是:我们可以简单的取出旋转轴与旋转角度。
那么四元数如何表示三维空间的任意轴旋转?假设有一向量P(X, Y, Z)对着一单位四元数q作旋转,则将P视为无纯量的四元数X i + Y j + Z k,则向量的旋转经导证如下:
Rot(P) = q p q*
四元数具有纯量与向量,为了计算方便,将之以矩阵的方式来表现四元数的乘法,假设将四元数表示如下:
q = [w, x, y, z] = [S, V]
两个四元数相乘q" = q * q'的矩阵表示法如下所示:
![]()
若令q = [S, V] = [cosθ, u*sinθ],其中u为单位向量,而令q'= [S', V']为一四元数,则经过导证,可以得出q * q' * q^(-1)会使得q'绕着u轴旋转2θ。
由四元数的矩阵乘法与四元数的旋转,可以导证出上面的旋转公式可以使用以下的矩阵乘法来达成:
![]()
讲了这么多,其实就是要引出上面这个矩阵乘法,也就是说如果您要让向量(x', y', z')(w'为0)对某个单位向量轴u(x, y, z)旋转角度2θ,则w = cosθ,代入以上的矩阵乘法,即可得旋转后的(x", y", z"),如果为了方便,转换矩阵的最下列与最右行会省略不写出来,而如下所示:
![]()
关于四元数的其它说明,您可以参考 向量外积与四元数 这篇文章。
关于旋转的转换矩阵导证,在Game Programming Gems第二章有详细的说明。
关于 Gimbal lock。
下面是关于四元数的一点程序的表达方法。
1: class CQuaternion 2: { 3: public: 4: CQuaternion(const float fScalar,const Vector3& rVec) 5: { 6: mVector=rVec ; 7: mScalar=fScalar; 8: } 9: 10: void FromAxisAngle (const Vector3& rAxis, const F32 Angle) 11: { 12: F32 fSin, fCos; 13: //取得一个弧度角的SIN COS值 14: SinCos( Angle*0.5f, fSin, fCos); 15: mVector = rAxis*fSin; 16: mScalar = fCos; 17: } 18: private: 19: float mScalar; 20: float mVector; 21: } 22: 23: class CMatrix44 24: { 25: public: 26: enum { _X_,_Y_,_Z_,_W_ }; 27: void QuaternionToMatrix(const CQuaternion& q) 28: { 29: F32 s,xs,ys,zs,wx,wy,wz,xx,xy,xz,yy,yz,zz; 30: s = q.Length2(); 31: s = (s>0 ? 2.f/s : 0); 32: 33: xs = q.Vect[_X_]*s; ys = q.Vect[_Y_]*s; zs = q.Vect[_Z_]*s; 34: wx = q.Scalar*xs; wy = q.Scalar*ys; wz = q.Scalar*zs; 35: xx = q.Vect[_X_]*xs; xy = q.Vect[_X_]*ys; xz = q.Vect[_X_]*zs; 36: yy = q.Vect[_Y_]*ys; yz = q.Vect[_Y_]*zs; zz = q.Vect[_Z_]*zs; 37: 38: (*this)[0].Set(1.f-(yy+zz),xy+wz, xz-wy, 0.f); // col 0 39: (*this)[1].Set(xy-wz, 1.f-(xx+zz),yz+wx, 0.f); // col 1 40: (*this)[2].Set(xz+wy, yz-wx, 1.f-(xx+yy),0.f); // col 2 41: } 42: //忽略其它无关紧要的 43: //、、、、、、、 44: };
//========================================================
不用多说,肯定有回过神来的,也有没有回过神来的。
正如上面那某位的博客里面讲到的。
![]()
对于旋转轴A,绕其旋转一定的角度,则可以表示为
x = s * Xa
y = s * Xb
z = s * Xc
w = cos(θ/2)
s = sin(θ/2)
这正是我们FromAxisAngle 所做的事情。
而QuaternionToMatrix则是对应了
![]()
我想说明的是,数学库本身并不在于代码。而是在于数学公式,代码仅是将其用另一种符号表示出来而已。只要仔细去看,定能明白其中的道理。
关于文中介绍的公式推导以及万向锁,可以GOOGLE和百度。
另外,编程中还经常用到欧拉角和矩阵的转换。
这三个的特点。
矩阵运算的数据相对来说比较直观,容易调试和诊断。但数据存储量大,特别是旋转的时候,会浪费很多空间。
欧拉角储存小,但有万向锁,并且插值不够平滑。
四元数据量介于二者之间。但插值容易。
在骨骼动画中,可以在文件中存储欧拉角,加载后将旋转数据转换为四元数。最后动画计算时统一采用矩阵运算。
要说的东西很多,一言难尽。今天就到这里吧。