如何轻松地理解傅立叶变换

2014-5-13 16:22:56 7609 过滤器滤波器

0 本帖最后由 gk320830 于 2015-3-5 13:18 编辑大家都学过傅立叶变换，但是你真的能很好的理解他吗？现在你还能回忆起傅立叶变换是咋回事不？下面一篇文章帮你更轻松的理解傅立叶变换傅立叶变换是有史以来最重要的发现之一。不幸的是，由于其公式的复杂，大部分人并不能理解其含义。那么，抛开枯燥难懂的数学符号，让我们用一种新方法来试着理解。这是一个纯中文的阐述：傅立叶变换有什么用？拿一杯慕斯，用它能找出配方。该怎么做呢？把慕斯放进过滤器（滤波器），然后萃取每一种成分。为什么呢？因为配方比慕斯本身更容易用来分析、比较和定义。我们怎么能拿回原本的慕斯呢？混合所有的成分。然后，类似于“数学-中文”模式：基于时域的傅立叶变换会检测每一种“周期成分”（周期长度，补偿，和转速），返回完成的“周期配方”（频率图谱）现在要上公式了？当然不是！让我们自己动手，进行一次生动的模拟。要是一切顺利的话，你会惊奇的发现，你已经直观的明白了为什么傅立叶变换能够实现。我们用下列步骤替代了所有的数学分析。这并不是一次紧张的实验，而是一次舒心的体验。让我们开始吧！由慕斯得到配方数学变换的实质是变量关系的改变。根据所算之物，把我们对数量的认知从“单一物体”（沙里的线条，计数系统）变成“许多10”（小数）。游戏得分？继续计数。乘法？拜托，是小数。傅立叶变换把我们的视角由消费者变成了生产者，从“我看到了什么？”变成“这是怎么发生的？”。换句话说：拿一个慕斯，我们要找出它的配方。为什么呢？好吧，配方是饮料的最佳描述。你并不会跟人一滴一滴分析饮料，只会说“我有一杯橘子或是香蕉慕斯”。配方比事物本身更易于归类、比对和定义。那么……拿一杯慕斯，到底怎么找到配方呢？嗯，想象一下你周围有很多过滤器（滤波器）：把慕斯倒进“香蕉”过滤器（滤波器）里。提取出了1盎司香蕉。倒进“橘子”过滤器（滤波器）里。提取出了2盎司橘子。倒进“牛奶”过滤器（滤波器）里。提取出了3盎司牛奶。倒进“水”过滤器（滤波器）里。提取出了3盎司水。我们可以通过混合每种成分得到原先的慕斯。懂了么？过滤器（滤波器）必须是相互独立的。香蕉过滤器（滤波器）只滤出香蕉，没有其它的任何成分。再多的橘子也不能影响香蕉的读数。过滤（滤波）必须是彻底的。如果我们遗漏了一个过滤器（滤波器），就永远也得不到真正的配方（天哪！那还有个芒果过滤器（滤波器）！）。我们的过滤器（滤波器）必须能确定每种成分的含量。不同成分之间必须是可合成的。慕斯必须能被分离并重制(饼干？没那么夸张。谁有想要一堆碎屑呢？).不同成分在分离和结合的时候必须是线性的。周期看世界傅立叶变换持有一种特别的观点：要是每一种信号都是周期性的呢（周期性重复）？哇塞。这个假设太让人着迷了，可怜的约瑟夫·傅立叶首先提出了这个假设。（现实里约瑟夫，楼梯能做成环状的么？）忽略数学界持续数十年的争论，我们希望学生们可以直观的理解这个概念。额……让我们略过直观的部分。就像我们分析慕斯成分一样，傅立叶变换可以分析出信号的成分：开始时，是一个时域信号用滤波器来测定每种可能的“周期信号成分” 完整的“配方”需要列出所有的“周期信号成分”的数值完成。这就是大部分教程要教给你的东西。别被吓到了；想想这个例子“天哪，过五关斩六将，我们终于得到源代码（DNA）了”。要是地震波（不同强度和速度的震动）能被分离成几种成分，建筑就能被设计成免于地震威胁的高强度结构。要是声波（高低不同的频率）能被分成几种成分，我们就能增强想要的部分，削弱不想要的部分。随机噪声引起的噼啪声可以被滤除。相似的“声谱”可以被比对（音乐识别服务比对的是声谱而不是原始音频）。要是电脑数据能被周期性的描述，那些不重要的信息就能被滤除。这种“有损压缩”可以急剧减小文件的大小（这就是为什么JPEG和MP3文件要比原始的.bmp或.wav文件要小得多的原因）。要是我们的信号是无线电波，我们可以通过滤波器来听确定的频段。在慕斯的世界里，想象每个人都注意着不同的成分：亚当在寻找苹果，鲍勃在寻找香蕉，查理想要花椰菜（兄弟，对不住了）。傅立叶变换在工程领域运用广泛，但事实上，它是个寻找现象根源的象征。多想想周期信号，而不是正弦曲线我最大的困惑在于“正弦曲线”和“周期信号”的定义区分。 “正弦曲线”意味上下运动模式（正弦或余弦函数），99%的场合里，都指的是发生在象限里的运动周期信号是一种循环的，包含了两个d形物的图案。要你愿意用10块钱的话来描述10分钱的主意，你可以把一个周期的路径称作一个“完整正弦曲线”。把一个周期的路径称作一个“完整正弦曲线”，就像你把一个谚语叫做“汉字的集合”。你选择了错误的细节级别。谚语包含了复杂的含义，而不是可以拆分的汉字！傅立叶变换是关于周期（不是含有一个D形的正弦曲线）和欧拉公式的变换：我们必须用虚数做周期运动么？当然不。即使那么做既方便又简洁。我们把信号分成实数和虚数的部分，但别忘了前提是：我们在做周期运动。沿着周期路径我们一边用电话聊天，一边在脑海里画圆（你答应了的！）。我该说什么呢？这个圈儿该有多大呢？（幅度，半径范围的大小）我们要画得多快？(频率。1周期/秒=1赫兹=2π弧度/秒) 从哪里开始呢？（相位角，0度对应x轴）我可以说“2英寸，起始于45度，1圈儿每秒，开始吧！”。半秒之后，我们应该到达了同一点：起始位置+经过角度=45+180=225度（2英寸半径）。每个圆周路径都需要设定大小、速度和起始角度（幅度/周期/相位）。我们还可以把它们合到一块：想象用不同速度绕圈儿跑的小摩托车。所有周期的位置信息加到一起就是原本的信号，一如所有的成分混合就得到了原本的慕斯一样。周期的时间顺序显示，开始于0Hz。周期[0 1]的含义是 0的意思是0Hz周期（0Hz=开始于x轴，0度相位的连续周期） 1的意思是1Hz周期（每个时间间隔完成一个周期）现在是棘手的部分：蓝色图像表示周期的实数部分。另一个可爱的数学问题：我们常用水平轴来表示每个周期的实轴，其数值在数值轴上显示。你也可以把坐标轴旋转90度。时间点间隔按照最高频率设定。1Hz信号需要两个时间点来表示，分别记录起始和终止时刻（一个信号值是没有频率的。）。时间值[1 -1]对应着这些等间隔点的幅度。然后呢？[0 1]是1Hz周期. 现在加入2Hz周期，并叠加。[0 1 1]意味着“0Hz值为零，1Hz时值为1，2Hz时值为1”。哇塞。我们的小摩托车越跑越快了：绿线代表了1Hz和2Hz，蓝线是叠加后结果。点选绿色复选框可以让结果看起来更清晰。混合好的“味道”是一个倾斜的函数，从最大值开始，降到最低值。黄点是我们测量信号的时刻。已经确定了3个周期信号（0Hz, 1Hz, 2Hz），每个点为信号值的1/3.在这个例子里，周期[0 1 1]生成了时间量[2 -1 -1],从最大值（2）开始，然后降到最低（-1）. 哦！刚才忘了考虑相位角了，现在我们要把它加上！加上数值：相位角。[0 1:45]是从45度开始的，1Hz的周期函数。它是[0 1]的进阶版本。时域上，我们用[.7 -.7]替换[1 -1]。因为我们的周期函数并不是沿着我们的测量时方向上，它们是还在运动的点（这是可被设置的）。通过改变周期信号的频率，强度和相位，傅立叶变换可以匹配任何时域信号。信号所谓“时域观测”或是“频域成分”已成为一种抽象的概念。说够了，就让我们把它讲明白吧！你可以选择模拟器里任何时间或类型的周期函数。如果它是时间表示的，你看到的许多构成所要周期函数的点（其集合被称为波）。但是——难道在黄色的时间间隔里不包括任何特殊的点么？当然包括。但是我们怎么知道没有测量的时候，信号是按照直线，曲线还是折线穿入另一象限呢？它在我们所需的等间隔时刻出现在我们希望的位置。创造一个脉冲信号我们可以用周期函数制造出一个脉冲信号么，像是(4 0 0 0)？（用括号表示时间点）尽管脉冲看起来很烦人（难道只是烦人？），还是要考虑周期函数的复杂性。我们的周期成分必须对齐（最大值为4），然后向外传播，每个周期函数都有其它函数可与其抵消。每个显示为0的点，都是因为多个周期函数在此获得平衡（你并不能关掉某个函数）。让我们看看每个时间点：在0时刻，每个周期函数都处于最大值，（4？？？）由4个周期函数(0Hz 1Hz 2Hz 3Hz)叠加而成，每个函数的幅值都是1，而相位角都为0(换言之, 1 + 1 + 1 + 1 = 4)。在之后的时刻(t = 1, 2, 3)，所有周期函数的幅值必须相互抵消。下面是数值为0的秘诀：当周期函数的值处于对称轴的两端（南和北，东和西，等等。），它们的和为0（要是3个周期函数均匀的分布在0，120和240度，它们就能相互抵消）。想象许多绕圈旋转的点。先面试每个点在每个时刻的位置：时刻 0 1 2 3 ------------ 0Hz:0 0 0 0 1Hz:0 1 2 3 2Hz:0 2 0 2 3Hz:0 3 2 1 要注意，3Hz的周期信号从0开始，然后到了3，然后到了6（只有4个位置，6Mod，然后是9（9Mod4=1）。每个周期长度为4个单位，周期函数在2个单位时的位置既不在一条线上（不同于0, 4, 8…），也不再相反的位置（不同于2, 6, 10…）。好了。让我们看看每个时间点的情况：时刻 0：所有的周期函数都处于最大值（其和为4）时刻 1：1Hz和3Hz函数值相互抵消（位置1和3是相反的值），0Hz和2Hz函数值相互抵消。最后结果为0. 时刻 2：在0时刻，1Hz和3Hz函数值相等，在2时刻，0Hz和2Hz函数值相等（相反的值）。相加结果还是0. 时刻 3：0Hz和2Hz函数值相互抵消.1Hz和3Hz函数值相互抵消. 时刻4（重复时刻0的情况）：所有函数值相等。秘诀在于让相互独立的函数相互抵消(0Hz 和 2Hz, 1Hz 和 3Hz)，或是让同方向上数值和相互抵消（0Hz + 2Hz 和 1Hz + 3Hz）。当每个周期属性相等，相位为0时，就可以对齐并消去后面的值。（我并不能很好的证明这一点——有人能吗？——但你可以自己看到其发生。试试[1 1], [1 1 1], [1 1 1 1]，你会注意到一个脉冲波峰：(2 0), (3 0 0), (4 0 0 0)). 这里直观的显示了怎么对齐，接下来是消去相反值：改变峰值时间 t=0时，什么都没有发生。接下来换到(0 4 0 0)？应该和(4 0 0 0)看起来差不多，但是周期函数必须在t=1时（当前时刻的1s后）对齐。然后要考虑相位。想象有4个人参与的赛跑。赛跑开始时，4个人都在起跑线上，（4 0 0 0）。没意思。怎么能让每个人都同时到达终点呢？很简单。只要让他们不停的你追我赶就行了。也许奶奶在终点线前两英尺，Usain Bolt离线还有100米，他们可以拉着手一起穿过终点线。相位变化，起始角度就是周期信号世界里的延迟。接下来要说怎么调整起始位置，来者每个周期都延迟1秒： 0Hz周期函数不发生移动，所以它已经对齐了 1Hz函数在4秒完成一次往复，所有延时一秒意味着1/4轮。相位延迟90度（-90），然后它在t=1时刻到达相位0，其最大值。 2Hz函数的变化速度是1Hz函数的两倍，所以要两倍的角度来满足要求（-180或180，分别沿着不同的方向）。 3Hz函数的速度是1Hz函数的3倍，所以要有3倍的移动距离（-270或90度的相位改变）如果时间点(4 0 0 0)是由函数[1 1 1 1]产生，那么（0 4 0 0）则是由[1 1:-90 1:180 1:90]产生。（注意：此处用1Hz来表示一个周期运动经过的时间）。天呐——我们在脑子里算出了周期函数！干扰可视化是与之类似的，除了要在t=1时刻进行对齐。试一下这个：你能想象出（0 0 4 0），即2秒延时时候的情况么？0Hz没有相位。1Hz是180度，2Hz是360度（也就是0度），3Hz是540度（即180度），结果为[1 1:180 1 1:180]. 完整的傅立叶变换事实上：我们的信号只不过是一大堆脉冲信号的叠加！只要得到每个时刻组分，你就能知道整个信号的成分。傅立叶变换通过频率得到“配方”：把连续的信号（a b c d）分成不同的时刻：(a 0 0 0) (0 b 0 0) (0 0 c 0) (0 0 0 d) 任意频率（例如2Hz），试验配方是“a/4 + b/4 + c/4 + d/4"（每个尖峰的强度被除以频率数目）等等！还要对每个脉冲设置延时（每一秒延时的角度取决于频率）。每个频率真正的配方=a/4 (无延时) + b/4 (1秒延时) + c/4 (2秒延时) + d/4 (3秒延时)。遍历每个频率就能得到完整的变换结果。这就是从“数学文字”到真正数学的过程：几个要点： N=时间样本的数量 n=当前运算的样本编号(0 .. N-1) xn=n时刻信号值 k=当前频率（0Hz到N-1Hz） Xk=信号中频率k的值（幅度和相位，一个复数） 1/N被用于反变换（从时域信号转化为频域信号）。这是可以实现的，尽管我更喜欢用1/N进行正变换，它表示了脉冲信号的正真大小。你也在变换过程（正反变换中仍含有1/N）中使用1/sqrt(N)。 n/N是我们经过的时间比例。2πk是单位为弧度/秒的速度，e^-ix是反向经过的路径。合起来就是以当前时间和速度经过的实际路程。傅立叶变换的原始方程只告诉你“加上复数”。很多变成语言并不支持直接使用复数，因此要把它们转化成直角坐标系，然后相加。让我们开始吧这是我遇到的最有挑战性的课题。傅立叶变换涵盖了几个要点（离散/连续/有限长/无限长）的高深数学（狄拉克δ函数），很容易遗漏掉一些细节。这真的很挑战我的认知。但仍有简单的类比来说明这些——我拒绝用别的方式思考。无论是慕斯还是Usain Bolt & Granny穿过终点线，都能让我们轻易的理解这一点。这个比喻是有缺陷的，但不算坏：它是一个木筏使用，一旦我们过河就把它们留下。我意识到我自己的理解是如何薄弱，我没办法在自己的脑海里想出（1 0 0 0 ）的变换。对我来说，就像，我懂加法。但是，“1+1+1+1”到底等于几呢？为什么不呢？难道这些最简单的运算不该有个直观的展示么？ 0
2014-5-13 16:22:56　　评论淘帖0 举报相关推荐 • 傅立叶变换是怎么变换的傅立叶的理解 4884 • 傅立叶变换的条件的理解 7125 • 傅立叶变换的基本概念傅立叶变换在信号处理中的应用 213 • 傅立叶变换.ppt 0 • 快速傅立叶变换 18 • labview短时傅立叶变换 2849 • 傅立叶变换.ppt 2880 • 傅立叶变换的matlab实现 0 • 离散傅立叶变换 19 • DSP的傅立叶变换性质教程 6 1 个讨论