如何利用FFT运算去恢复原来的信号呢

　　说明：利用FFT运算实现信号的
　　一、信号建模
　　% Use Fourier transforms to find the frequency components of a signal buried in noise.
　　% Specify the parameters of a signal with a sampling frequency of 1 kHz and a signal duration of 1.5 seconds.
　　Fs = 1000; % Sampling frequency
　　T = 1/Fs; % Sampling period
　　L = 1500; % Length of signal
　　t = （0:L-1）*T; % Time vector
　　Form a signal containing a 50 Hz sinusoid of amplitude 0.7 and a 120 Hz sinusoid of amplitude 1.
　　S = 0.7*sin（2*pi*50*t） + sin（2*pi*120*t）;
　　% Corrupt the signal with zero-mean white noise with a variance of 4.
　　X = S + 2*randn（size（t））;
　　% Plot the noisy signal in the time domain. It is difficult to identify the frequency components by looking at the signal X（t）。
　　plot（1000*t（1:50），X（1:50））
　　title（‘Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise’）
　　xlabel（‘t （milliseconds）’）
　　ylabel（‘X（t）’）
　　二、利用FFT恢复信号
　　% Compute the Fourier transform of the signal.
　　Y = fft（X）;
　　% Compute the two-sided spectrum P2. Then compute the single-sided spectrum P1 based on P2 and the even-valued signal length L.
　　P2 = abs（Y/L）;
　　P1 = P2（1:L/2+1）;% 取右半部分
　　P1（2:end-1） = 2*P1（2:end-1）;% 除掉两头的乘2倍
　　% Define the frequency domain f and plot the single-sided amplitude spectrum P1. The amplitudes are not exactly at 0.7 and 1， as expected， because of the added noise. On average， longer signals produce better frequency approximations.
　　f = Fs*（0：（L/2））/L; % 频率范围
　　plot（f，P1）
　　title（‘Single-Sided Amplitude Spectrum of X（t）’）
　　xlabel（‘f （Hz）’）
　　ylabel（‘|P1（f）|’）
　　% Now， take the Fourier transform of the original， uncorrupted signal and retrieve the exact amplitudes， 0.7 and 1.0.
　　% 无噪声干扰条件恢复原来信号
　　Y = fft（S）;
　　P2 = abs（Y/L）;
　　P1 = P2（1:L/2+1）;
　　P1（2:end-1） = 2*P1（2:end-1）;
　　plot（f，P1）
　　title（‘Single-Sided Amplitude Spectrum of S（t）’）
　　xlabel（‘f （Hz）’）
　　ylabel（‘|P1（f）|’）
　　获取信号的频率和频率
　　
　　信号的功率谱信息（周期图求PSD）
　　功率谱应用与幅度变换之间的关系
　　具体的步骤是：
　　信号经过FFT变换，再除N，取左半部分，即1：N/2+1 ;
　　（1）对其进行取取，
　　然后一点点保持不变，对中间部分乘以2（因为性），即得到的幅频部分；
　　（2）对等进行取吸收，并进行适当的运算，因为再除以中间速率乘法，
　　然后端几乎保持不变，对以2（对偶性），即得到的谱图速度部分；
　　对应的频率范围为 f = Fs*（0：（L/2））/L; 即 freq = 0:Fs/length（S）：Fs/2;
　　2.1 对2中对应的功率谱图数值取对数，即为周期图Periodogram求PSD
　　N = length（S）;
　　xdft = fft（S）; % FFT变换
　　xdft = xdft（1:N/2+1）;% 取右半部分
　　%% 求幅度
　　xx = （1/（N）） * abs（xdft）;% 右半部分幅度平方除以N的功率，再除以Fs，得到功率谱
　　xx（2:end-1） = 2*xx（2:end-1）;
　　%% 求得PSD 对数值取对数即得到对应的周期图
　　psdx = （1/（Fs*N）） * abs（xdft）.^2;% 右半部分平方除以N的功率，再除以Fs，得到功率谱
　　psdx（2:end-1） = 2*psdx（2:end-1）;% 出去两端，中间部分放大2倍，信号对称
　　freq = 0:Fs/length（S）：Fs/2;
　　% plot（freq，10*log10（psdx））
　　plot（freq，（psdx））
　　figure
　　plot（freq，xx）
　　grid on
　　title（‘Periodogram Using FFT’）
　　xlabel（‘Frequency （Hz）’）
　　ylabel（‘Power/Frequency （dB/Hz）’）
　　
　　重新整理：
　　rng default
　　clear
　　Fs = 1000;
　　t = 0:1/Fs:10-1/Fs;
　　x = 100*cos（2*pi*100*t） ;
　　%%
　　N = length（x）;
　　xdft = fft（x）;
　　xdft = xdft（1:N/2+1）;
　　psdx = （1/（Fs*N）） * abs（xdft）.^2;
　　psdx（2:end-1） = 2*psdx（2:end-1）;
　　xx = （1/（N）） * abs（xdft）;
　　xx（2:end-1） = 2*xx（2:end-1）;
　　freq = 0:Fs/length（x）：Fs/2;
　　plot（freq，10*log10（psdx））
　　grid on
　　title（‘Periodogram Using FFT’）
　　xlabel（‘Frequency （Hz）’）
　　ylabel（‘Power/Frequency （dB/Hz）’）
　　figure（2）
　　periodogram（x，rectwin（length（x）），length（x），Fs）
　　figure（3）
　　plot（freq，xx）
　　figure（4）
　　plot（freq，（psdx））
　　scope = dsp.SpectrumAnalyzer（‘SampleRate’，Fs）;
　　scope（x‘）
　　补充：
　　
　　数字角频率和模拟频率之间的关系