LPDA密切相关的电磁工程经典论题四则（待续i）

                  LPDA密切相关的电磁工程经典论题四则（待续i）
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                                                                              2020-10-22
电磁工程学原理 章回 10 特殊论题          Pg.379
在第一章回中我们学习了向量和场的基础数学工具和物理概念。在第二和第三章回中我们学习了电磁学的基本定律，如麦克斯韦方程，首先以积分形式，然后以微分的形式。之后在第四章到第九章回中我们研究学习了它们的工程应用的理论，其中包含的论题有传播，传输，和电磁波的辐射，以及静电和类静电场等。最后本章致力于七个独立的论题依次以章回4至章回9为基础。开始的六个论题可以分别依照章回分别研究学习。论题七接着章回8和章回9研究学习。这些特殊的论题，虽然相互独立，具有扩充知识的共同目标，来源于之前对应的章回，以演示一种相关的现象，或者应用，或者技巧为目的。
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章回10.1 波在离子化介质中的传播         Pg.380
在第四章中 我们研究学习了自由空间的均匀平面的波的传播。在本回中我们将延伸探讨一下离子化介质中的波的传播。一种离子化介质的例子是地球的电离层，其区域为大气层上面的区域，在地球上面从50公里延伸到1000公里之外。在这个区域中气体的成分是电离的，大多是由于来至太阳的紫外线辐射，结果产生正离子和电子自由移动，受到一种波入射的介质的场的影响。可是正离子比电子重，所以它们是相对固定的。电子的运动产生了一个电流其影响了波的传播。事实上在章回1.5,我们认为一种电子云的运动，均匀的密度N，在时变电场的影响下。？（E=E0coswtix）？。（10.1）并且找到造成的电流密度为 。。。？（J=积分算式）？。。。（10.2）这里？e和？m是电子电荷和质量，对应地。 这一结果的机理是基于电子的连续加速，通过施加的电场的力。可是，在离子化介质的情形下，电子的运动阻碍于电子与重粒子和其它电子的碰撞。我们将忽略这些碰撞以及与波相关的磁场的可忽略的影响。考虑一下均匀的平面波传播在？z方向在一种没有边界的离子化介质中，并且电场的方位在x方向， 那么我们有。。。？（一次多变量偏导等式算式）？。。。（10.3a）。。。？（一次多变量偏导积分算式）？。。。（10.3b）对？z微分（10.3），然后从（10.3b）代替？（偏导数Hyz）， 我们得到了波的方程式
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章节10.1 离子化介质中波的传播           Pg.381
  。。。？（二次偏导积分算式）？。。。 （10.4）
代替   。。。？（算式）？。。。        （10.5）
对应于均匀的平面波解答入（10.4），并简化， 我们得到
。。。？（算式）？。。。 （10.6）所以得到离子化介质中传播的相常数为  。。。？（等式）？。。。（10.7）这一结果指出离子化介质的行为好像通过自由空间的介电常数，为乘以系数。。。？（算式）？。。。.所以我们会列出。。。？（等式）？。。。 （10.8）这里。。。？（等式）？。。。 （10.9）是离子化介质的“有效介电常数”。我们注意到对于。。。？（算式12）？。。。，并且介质的行为刚好如自由空间。这是所期望到的，由于（10.2）指出对于。。。？（算式）？。。。.当？w从无穷大减少，？eeff变小，小到？w等于？（算式）？，？eeff变为零。 所以对于？w>(算式)，？eeff是正， ？B是实数，且电场的解答保持为一种传播的波。对于？（w算式）？，?eeff是负，？B成为虚数，且解答电场对应于没有传播。所以波的频率？f>(算式)？，传播在离子化的介质中，而？f<(算式)？不传播。量？（算式）已知为“离子束频率”，且由符号？fN标记。替换值？e，？m和？e0， 我们得到。。。？fN=（算式）Hz？。。。  （10.10）
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章回10. 特殊论题                 Pg.382
这里？N是每立方米的电子数。 我们现在可以列出？eeff为。。。？（算式）？。。。   （10.11）
进一步前进，我们得到传播频率范围的相速度，即，对于？f>fN,为。。。？（算式）？。。。  （10.12）这里？（c=算式）？是光在自由空间的光速。从（10.12），我们观察到？vp>c?，且是波频率的一个函数。 ？vp>c?的事实不是违背了相对论的原理，由于介质的发散特性，结果来自？vp取决于？f保证信息的旅行速度总是小于？c（见章回7.4）。关于地球的电离层中离子化介质只能够的传播如上所述来应用我们所学的，首先给电离层给出一个简单的描述。 一个典型的分布电离层电子的密度比地球上的高度如图10.1所示。电子      高度公里 电子密度    电子数/立方米   
  。。。？（示意图）？。。。10.1. 地球上空电离层电子密度比高度的一个典型分布。
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章回 10.1 离子化介质的波的传播       Pg.383
密度存在于已知的几个层中，？D，？E和？F，其中电离化的改变随着每天的小时数，季节，阳光斑点周期，和地理位置。指定层次的字母背后的术语命名法是由于英格兰的阿普尔顿于1925年，几乎同时美国的普赖顿和图夫从实验里演示了地球电离层的无线电波的发射。在这项早期的工作中，普赖顿习惯于用E来列出电场他认为是反射波的第一层。之后，当他认识了第二层时，在更高的高度， 他列出F为从它反射波的电场。还在之后他关联到可能会有第三层低于开始的两层之一，所以他决定命名这一可能的较低层位D，所以预留了字母表中先些的字母给其它可能还没有发现的，还是较低的层次。后来电子确实在？D却检测到了。？D区扩展高度范围从50公里到90公里。 由于在这个区域电子和重粒子的碰撞不可能被忽略，它主要是一个吸收区。E区域从大约90公里延伸到大约150公里。E层电子的密度的白天和季节变化与太阳极点角度强烈地相关。在F区域的较低的两个层次，标记为F1层和较高的，更强度离子化的底层标记为F2层。F1层通常位于160公里到200公里。在这一区域之上的F2层电子的密度隋高度增加，达到一个峰值，高度一般处于250公里和400公里之间。在这一峰值之上，电子密度随高度单纯地减少。F1暗层仅仅在白天纯在。在晚上F1和F2层被辨认为一个单F层。从无线电通讯的观点F2层最重要，由于它包含了最大的电子密度。可笑的是它还展示出几种异常。
在电离层中波的传播由于地球的电磁场的存在而复杂。如果我们忽略地球的磁场，那么对于一个频率f的垂直波入射到电离层，从一个在地面上的发射器，从传播条件？f>fN，明显波传播上至高度，？f=fN，并且它不能传播超出那个高度，它在那个高度得到反射。所以波频少于最大的等离子体频率对应于F2层的峰值不能穿越大气层。为此对于卫星轨道在电离层峰值之上的通讯，频率大于这个最大的等离子体频率，还已知为“临街频率”，必须采用。而这个临界频率是一个每天时间，季节，太阳黑子周期，以及地理位置的函数，它不大于大约15MHz（兆赫兹），可以低至几个兆赫。对于一个波斜着入射的电离层，反射是可能的对于频率
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章回10 特殊论题                                   Pg.384
大于临界频率，上至大约它的值的三倍。所以对于地球至卫星的通讯，采用的频率一般超过大约40MHz（兆赫）。较低的频率允许长距离，地面对地面通讯，通过电离层的反射。 这种传播模式熟悉为传播的“天空波模式”。对于很低的几个千赫兹的次数和更小的，电离层的较低的边缘和地球形成一个波导，所以允许传播的波导模式。
在章回4.5我们学习了频率的多普勒相移发生在源或者观察者移动时。多普勒相移也可以发生于固定的源和观察者的情形，如果波传播的介质随时间改变。电离层提供了这种现象的一个例子。为了简单，让我们考虑一下一种假设的电离层平面层，厚度s，并具有均匀的电子密度N。那么对于均匀的平面波频率？w法相传播至该层，在层的厚度经历相移的波给出为
      。。。？（算式）？。。。              （10.13）
现在如果电子的密度随着时间变化，相随时间的变化率给出为
      。。。？（一次微分方程式）？。。。    （10.14）
所以频率中的多普勒相移是      
      。。。？（？wD=一次微分算式）？。。。
或者  。。。？（fD=一次微分算式）？。。。   （10.15）
由于变化的电离层引入的多普勒相移可能是卫星导航系统的一个错误的根源，其基于卫星移动而来的多普勒相移。可是它是研究学习电离层的工具之一。
在本章回中我们学习了在一种离子化的介质中，波传播仅仅发生于频率超出等离子频率对应于电子的密度。 应用此于地球电离层的情况，我们发现这施加了一个较低的极限于通讯频率与
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章回10.1 离子化介质中波的传播                Pg.385
卫星。我们还扩展了对多普勒相移的探讨，至一种时变传播介质的情形。
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章回10 特殊论题                              Pg.386
10.2 各向异性介质中波的传播
在章回5.2中，我们学习了一定的介电材料已知为“各向异性节点材料，”D一般不平行于E，而且D和E之间的关系的表达方式为一个介电常数张量含有一个3X3矩阵。类似地，在5.3章回我们学习了一定的电磁材料的各向异性的特性。基于各向异性材料中波的传播有几种重要的应用。可是一种一般的处理是非常复杂的。为此我们将考虑两种简单的情况。
例一，我们考虑一种各向异性介电介质的特性关系式D到E为
                。。。？（矩阵算式）？。。。    （10.16）
并且具有介电常数？u0。这一简单形式的介电常数张量可以实现于一定的各向异性液体和晶体，通过适当选择坐标系统。显而易见本情形的特性极性化都是线性指向坐标轴，并具有效的介电常数？exx，eyy，和？ezz对于x-，y-和z-向的极性，对应地。让我们考虑一下一种z方向的均匀平面波。波将一般包含场的x和y两种分量。它可以分解为两种波，一种具有x向电场，而另一个具有y向电场。这些分量波单独在各向异性介质中传播犹如它是等方向的，但是具有不同的相速度，由于有效的介电常数是不同的。鉴于此，这两种波之间的相，以及由此的成分波的极性，沿着传播方向随距离改变。
为了演示进一步的量化探讨，让我们考虑一下波的电场在z=0，线性极化，给出为
                        。。。？（算式）？。。。            （10。17）
然后仅仅假设（+）波，在一个任意z值的电场是
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章回10.2 各向异性介质中波的传播              Pg.387
给出为  
    。。。？（算式1）？。。。             （10.18）
这里   。。。？（等式1,2）？。。。        （10.19a），（10.19b）
是相常数对应于x和y极化分两波。所以场的x和y分量相差给出为
         。。。？（算式）？。。。         （10.20）
当合成波沿z方向行进，？AO/从零变化在z=0，到π/2在？z（等式）到π在？z=（等式），等等。所以合成波的极性从在z=0的线性变成在z>0的椭圆，再变成线性在？z=π（算式）？，但是旋转一个？2tan-1（项）？角度，如图10.2。所以，它再次变成椭圆，在？z=（数项）？返回到原始的线性极化，等等。
                  。。。？（z=数项123）（示意图）？。。。
图10.2 如方程式（10.16）特性化的各项异性介电媒体只能够一个波传播场的极性的变化。
对于第二个例子，我们考虑一下一种铁氧体媒体。铁氧体是一类磁性材料，当其承受一个支流电磁场时呈现出各向异性的电磁特性。由于有相差关联与B和H分量由于这种各向异性，很方便使用相量标记并列出波相量分量的关系，
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章回10 特殊论题                               Pg.388
其假设为z向，该关系式给出为
           。。。？（矩阵表达式）？。。。  （10.21）
这里？u和？k取决于材料，直流磁场的强度，和波的频率。
为了寻找特性极化，我们首先从（10.21）标记，
           。。。？（算式1）？。。。       （10.22a）
           。。。？（算式2）？。。。       （10.22b）
设定？Bx/By？等于？Hx/Hy?,则我们有
             。。。？（算式）？。。。
其求解？Hx/Hy？，给出
             。。。？（算式）？。。。       （10.23）
这一结果对应于相同幅度的Hx和，及+-90度的相差。所以特征极性沿z向看既是圆的又是旋转的反方向。
铁氧体媒体的有效导磁率对应于特征极化是
     。。。？（算式，对于）？。。。         （10.24）
关联于特性波的传播的相常数是
       。。。？（等式）？。。。             （10.25）
这里字符+和-参照为？（数项1）？和？（数项2）？，对应地。 我们从（10.25）注意到？B+可以成为虚数，如果？（算式）？。当此发生时，波传播不发生对于特性
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章回10.2 各向异性介质中波的传播                  Pg.389
极化. 接着我们将假设波频率是两种特性波都传播。
让我们考虑波的电磁场线性极化沿x方向在z=0，即，
                。。。？（等式）？。。。     （10.26）
那么我们可以表达（10.26）为两个圆形极化场的叠加，极性相反在xy平面旋转的方式
            。。。？（算式）？。。。         （10.27）
在（10.27）右边的第一对括号内的圆形极化场对应于
           。。。？（算式1）？。。。
而第二对括号内对应于
           。。。？（算式2）？。。。
假设以+z向传播，在一个任意z值的场则给出为
         。。。？（算式12345）？。。。  （10.28）
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章回10. 特殊论题                            Pg.390
（10.28）给出的结果指出场的x和y的分量在任何已知z值同相。所以对于所有的z值场是线性极化的。可是极化的方向是z的函数，由于
        。。。？（算式）？。。。         （10.29）
所以由场向量与x轴形成的角是？（算式）？。所以极化旋转的方向与z成线性速率为？（算式）？。这一现象已知为“法拉第旋转”并且如示意图10.3帮助演示。示意图中任意已知列对应于z的一个固定值，而一个已知行的示意对应于t的一个固定的值。在？z=0，场以x方向线性极化，并且叠加为两个逆向旋转的圆形极化场如首列中的时间系列所示。如果媒体是各向异性，两个逆时针旋转的圆形极化场经历了相同量的相延时与z，且场保持x方向线性极化，如第二和第三列的虚线所示。对于各向异性介质的情况，两个圆形极化场与z经历了不同量的相延迟。所以它们的叠加造成一种线性极化与x向形成一个角度，并且与z线性增加，如第二和第三列的实线所示。   
一种铁氧体介质中的法拉第旋转现象，如刚才所讨论的，形成了微波场中数个器件的基础。现象本身并不局限于铁氧体。例如，例如离子化介质浸入一个直流电磁场拥有各向异性特性，其增加了沿直流磁场一个线性极化波传播的法拉第旋转。这一自然的例子是在电离层中沿地球的磁场传播。可是，一个简单的法拉第旋转的现代化应用是由磁光开关所示。 事实上，法拉第旋转原来是在光学领域发现的。
磁光开关是这样的一种器件，通过开关一个电流来调节一束激光。电流产生一个磁场以磁化向量旋转，在石榴石层的一个磁铁石榴石膜中，在膜的平面上，一束光波穿越其中。当它进入膜时，光波场线性极化法向于膜的平面。如果电路的电流切断，
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章回10                                       Pg.391
        。。。？（示意图）？。。。
图10.3 演示了法拉第旋转的现象
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章回10 特殊论题                              Pg.392
磁化向量法向于波的传播方向，并且波从膜出现而不改变极性，如图10.4（a）所示。如果电路电流接通，磁化向量平行于波的传播方向，光波经历了法拉第旋转并从膜中出现它的极化旋转90度，如图10.4（b）所示。在它从膜中出现之后i，光束通过了一个极化器，其具有原始极化的吸收光的特性，但是通过光90度旋转极化。
      （a），（b）
       图10.4. 演示了磁光开关的工作原理。
所以光束的开关由电路的电流开关来进行。以这种方式，任何编码的信息可以制作成用光束进行运载。
本回中我们探讨了波传播在一种各向异性的媒体中。特别地，我们学习了一种铁氧体介质，一个线性极化波沿施加的直流电磁场传播，经历了法拉第旋转。然后我们简单地提到了几个介质中发生法拉第旋转的其它几个例子，并最后探讨了磁光开关的工作，一种器件应用了法拉第旋转来调制一个光束。
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章回10.6 一个平行线形线的电容                Pg.417
在章回9.3中我们演示了拉普拉斯方程式的解答给平行板的情况，并且探讨了静电场技巧的可应用性
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章回10 特殊论题                              Pg.418
在传输线的参数的确定中。本回我们将使用技巧获得一种解析表达式给一种平行线形线的电容，含有两种无限长，直，平行，圆锥形的线。
让我们首先考虑一下一条无限长，直的均匀电荷密度的线，？pL0C/m,位置沿？z轴，如图10.20（a）所示，且由于线电荷获得了电势能。 问题的对称性指出势能仅仅依赖于圆柱坐标r。注意从附录B圆柱坐标中，
      。。。？（一次偏微分算式）？。。。
我们从拉普拉斯方程式有
。。。？（偏微分算式，对于r不等于0）？。。。（10.62）
经两次积分，我们得到了（10.62）的解答为
。。。？（V=算式）？。。。      （10.63）
这里A和B是任意常数。 我们可以任意设置势能
     （a）         （b）
      。。。？（示意图）？。。。
图10.20.（a）一根无限长的线电荷均匀密度沿z轴方向。（b）一对平行的，无限长的线电荷相等而密度均匀反向。
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章回 一个平行线形线的电容                    Pg.419
为零在一个参考值？r=r0，我们得到
            。。。？（算式1或者2）？。。。
和          。。。？（算式3）？。。。   （10.64）
为了评估（10.64）中的任意常量A，我们找到由于线电荷的电场强度给出为
           。。。？（一次偏微分方程）？。。。
所以电场径向指向线电荷。让我们现在考虑一下圆柱盒子半径r长度l于线电荷同轴，如图10.20（a）所示，并应用高斯定律给盒子的表面以积分形式的电场。对于圆柱表面，
           。。。？（积分算式）？。。。
对于表面的顶部和底部，？（积分算式）？由于场平行于表面。包含在盒子内的电荷是？（表达式）。所以我们有
           。。。？（算式1）？。。。或者。。。（算式2）。。。
替代这一结果到（10.64），我们得到了由于线电荷的势能场为
           。。。？（算式）？。。。       （10.65）
现在让我们考虑两个无线长，直的，线电荷相等反向均匀电荷密度？（表达式）和？（表达式），平行于z轴并通过x=b和x=-b，对应地，如图10.20（b）所示。应用叠加和使用（10.65），我们列出由于双线电荷为
           。。。？（算式）？。。。       （10.66）
这里r1和r2是从感兴趣的线电荷的点距离和r01和r02是到参考点的距离，其势能
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章回10 特殊论题                              Pg.420
是零。通过选择从两条线电荷等距离的参考点，即，？（等式）？，我们得到
               。。。？（算式）？。。。    （10.67）
从（10.67），我们注意到线电荷对子的势能场的等势面给出为
               r2/r1=常数，即，k           （10.68）
这里k处于0和无穷大之间。 以直角坐标的形式，（10.68）可以列为
               。。。？（算式）？。。。    （10.69）
重新变形（10.69），我们得到
           。。。？（算式1,或者2）？。。。 （10.70）
方程式表示圆柱它们的轴沿着
           。。。？（算式）？。。。，y=0
且半径等于？（算式）？。对应的势能是？（表达式）？。
等势面的横截面如图10.21所示。
我们现在完全可以把导电圆柱放入任何两个等势面而不干扰场的布局，如图所示，例如，由图10.21中的厚圆环，而得到了一个平行线形的线。 让它们的中心距为2d，且它们的半径是a， 我们有
           。。。？（算式）？。。。            （10.71a）
           。。。？（算式）？。。。            （10.71b）   
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章回10.6 一个平行线形线的电容                Pg.421
求解（10.71a）和（10.71b）的k，并且仅仅接受那些处于0和无穷大之间的， 我们得到
           。。。？（算式）？。。。  （10.72）
图10.21 对于线电荷对子如图10.20（a），等势面的横截面。厚的圆代表平行线形线的横截面。
右边（k>1）和左边（k<1）导体的势能相应地给出为，
                   。。。？（算式1）？。。。     （10.73a）
                   。。。？（算式2）？。。。     （10.73b）
导体之间的势能差是
                   。。。？（算式3）？。。。     （10.74）
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章回10 特殊论题                              Pg.422
最后，寻找电容，我们注意到由于电场线开始在正电荷终止在负电荷正交于等势线，在每个导体上电荷的幅度，其如线电荷对子产生相同的场，必须相同于线电荷本身。所以考虑线的单位长度，我们得到平行线形线的单位长度的电容为
                      。。。？（算式）？。。。  （10.75）
在本章回中我们获得了等势能电场，两个平行，无限长，直的，线电荷相同，对立均匀电荷密度，并且我们显示等势能表面是圆柱形，它们的轴具有平行的线电荷。 通过把导体放置于两个等势能面，所以就形成了一个平行线形线，我们获得了线的每单位电容的表达式。     
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章回10.7 电磁向量势能                        Pg.423
10.7 电磁向量势能
在章回9.1我们学习了由于
          。。。？（算式=0）？。。。
对于静电场，E可以表达为一个尺寸势能的梯度方式
          。。。？（算式）？。。。  
我们然后进行电尺寸势能和它的应用的探讨，来计算静电场。在本章回中我们将导论一种类似的工具用于电磁场的计算，即电磁向量势能。当延伸到时变的情况下时，电磁向量势能在确定由于天线的场具有有用的应用。
为了导论一下磁向量势能概念，我们回顾一下磁通密度向量的分散，无论是静态或者时变，是等于零，即，
                       。。。？（算式）？。。。    （10.76）
如果一个向量的分散度是零， 那么向量可以表达为另一个向量的卷曲，如直角坐标扩展所示：
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章回10. 特殊论题                              Pg.424
         。。。？（偏微分矩阵算式）？。。。
所以磁场向量B可以表达为一个向量A的卷曲，
即，
         。。。？（算式）？。。。   （10.77）
向量A已知为磁向量势能类似于电尺度势能的V。
如果我们现在可以找到由于一个无限小的元件的A，那么我们可以找到A给一个已知电流分布，并且使用（10.77）确定B。所以让我们考虑一下一个无限小的电流元件，长度？dl位于原点，方位沿z轴如图10.23所示。 首先假设电流是常数，如I安培，我们从（1.68）注意到由于电流元件在一个P点磁场给出为
        。。。？（算式）？。。。    （10.78）
        。。。？（示意图）？。。。
图10.23. 用于寻找磁向量势能由于一个无限小的电流元件。
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章回10.7 磁性向量势能                        Pg.425
这里r是电流元件到点P的距离，而i是单位向量从元件指向P。B表示为
       。。。？（算式）？。。。     （10.79）
并使用向量身份
       。。。？（算式）？。。。     （10.80）
我们得到
       。。。？（算式）？。。。     （10.81）
由于？dI是一个常数，。。。？（算式）？。。。，及（10.81）简约为
       。。。？（算式）？。。。     （10.82）
比较（10.82）与（10.77），我们现在可见向量势能由于电流元件位于原点单纯给出为
       。。。？（算式）？。。。     （10.83）
所以它具有一个幅度反比于从元件的径向距离（类似于由于一个点电荷的尺度势能的反距离依赖性），并且方向平行于元件。
若元件的电流现在假设为时变的方式
           。。。？（算式）？。。。
我们会直观地期望对应的磁向量势能也会是以时变的方式，但是包含有一个时间延时系数，如章回8.1所探讨，关系到确定由于时变电流元件（赫兹双极）的电磁场。为了验证我们的直观期望，我们从（8.23b）注意到由于时变电流元件的电磁场给出为
       。。。？（算式）？。。。
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章回10 特殊论题                             Pg.426
且以相同的方式继续如常电流的情况来获得向量势能为
        。。。？（算式）？。。。      （10.84）
比较（10.84）与（10.83），我们发现我们直觉的期望确实是正确的对于向量势能情况而不同于章回8.1中场的情况！由（10.84）给出的结果已知类似于“滞后”的向量势能，由于相滞后系数？Br包含在它内。
为了演示（10.84）应用的一个例子，我们现在考虑一个圆环形天线具有周长小于与波长比，所以它是一个小的电气天线。 在这种情况下，在环中流动的电流可以假设为延环均匀。让我们假设环在xy平面它的中心点在原点，如图10.24所示，并且环电流是？（算式）？以？/O方向。 由于沿Z轴圆形对称，我们可以考虑一个xz平面上的点P而不丢失普及性来寻找向量势能。为了这样做，我们把环划分为一系列的无限小的元件。考虑一个这样的电流元件？（算式）？，如图10.24所示，并使用（10.84）我们得到P点的向量势能由于电流元素为
                   。。。？（算式）？。。。   （10.85）
这里               。。。？（算式）？。。。   （10.86）
        。。。？（示意图）？。。。
     图10.24. 寻找磁向量势能给一个小的圆环形天线。
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章回10.7 磁向量势能                          Pg.427
由于整个电流环在P点的向量势能然后给出为
            。。。？（积分算式）？。。。   （10.87）
可是（10.87）右边上的首次积分，是零，由于对于它的贡献与来至元件对称地位于xz平面相互抵消。替换？iy在第二项由？iO/,来通用化结果对一个任意点？P（r，O/,O/）?,我们然后得到
             。。。？（积分算式）？。。。  （10.88）
虽然在（10.88）积分估算复杂，可以做出一些近似来获得“辐射场”。对于这些场，我们可以设定量R在积分幅度系数等于r。对于积分的相系数R,我们列出
             。。。？（算式）？。。。      （10.89）
所以对于辐射场，
       。。。？（积分算式）？。。。        （10.90）
现在，由于？（算式）？，或者？（算式）？，我们可以列出
       。。。？（算式）？。。。            （10.91）
替换（10.91）如（10.90）并估算积分，我们得到
       。。。？（算式）？。。。            （10.92）
获得了要求的磁向量势能，现在我们可以确定场的辐射。所以从（10.77），
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章回10 特殊论题                              Pg.428
       。。。？（算式）？。。。           （10.93）
从。。。？（一次偏微分方程）？。。。，我们有
  。。。？（一次偏微分方程算式12）？。。。（10.94）
比较（10.94）和（10.93）与（8.25a）和（8.25b），对应地，我们注意到一种双向性存在于辐射场之间，小的电流环和那些无限小的电流元件对准沿着电流环轴。
进一步前行，我们能够找到波因廷向量，瞬间的辐射功率和时均辐射功率，由于环形天线，沿着步骤类似于那些章回8.2中赫兹双极所采用的。 所以
            。。。？（算式123）？。。。
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章回10. 问题回顾                             Pg.429
现在我们辨认小的环形天线的辐射距离为
          。。。？（一次偏微分方程式）？。。。
               。。。？（Rrad=算式）？。。。    （10.95）
对于自由空间，？n=n0=120π欧姆， 并且
               。。。？（Rrad=算式）？。。。    （10.96）
比较这一结果与（8.30）给出的赫兹双极的辐射阻力，我们注意到小的环形天线的辐射阻力正比于它的电气尺寸的四次方（圆周/波长），而赫兹双极正比于它的电气尺寸的平方（长度/波长）。可是小的环形天线的导向率与赫兹双极一样小，即1.5，如8.33给出，基于在两种情况下对？sin**2西塔O/?波因廷向量的正比性。
在本章回中，我们导论了磁向量势能做为一个工具来计算电磁场，由于电流的分布。特殊情况下，我们导出表达式给一个赫兹双极的阻碍的电磁向量势能，并演示了它的应用，通过考虑一个小的环性天线的情况。我们推导出了环形天线的辐射场，并且比较它的特性与那些赫兹双极性的。
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内容附图如下：

     lpda论题数则符合国际标准（待续）
                               粤港澳大湾区
                               2020-10-22

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