世界经典量子力学则二，原子的量子力学理论小结（续完）

        世界经典量子力学则二，原子的量子力学理论小结（续完）
                                  （内容原文见附图页码）
          世界经典量子力学节选，薛定谔方程（量子力学的数学基础）， 一维量子力学应用（则一，经典应用实例一），和原子的量子力学理论（则二，经典理论一）小结（续完）如下。
第七章 原子的量子理论          115页
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1. 汤姆森和卢瑟福的原子模型  
已经怀疑了很久很久原子里的物质是由电性的力保持在一起的，而且十九世纪的科学家为此概念添加了越来越多的证据。汤姆森于1897年发现了电子，并且确定了电子电荷及其质量确认了至少一个原子构建模块的身份。这些实验在较早的章节中谈论过。电子是所有原子的成分的假设是来至大量的实验,这些实验从简单的一件物体摩擦带电到更为复杂的放电管里的气体电离，x-射线轰炸，光电效应，以及辐射衰减时的贝塔（b？）放射。可是，一个难题仍然存在，当一位学者企图设计一个稳定的原子会包含电子和正电荷足以使原子的电气为中性。
早在1815年普劳特提议元素都是由氢原子组成。可是，原子数和大多数原子的质量数之间纯在的差异是这种方法的一块绊脚石。后来有点复兴，结果来至汤姆森的正离子束的实验。汤姆森能够确定粒子束中电荷对质量（e/m?）的比值，并且他发现带有一个正电荷的一个粒子的质量等于电荷的幅度对应于一个离子化的氢原子的质量。建议是不会不合理即所有的元素包含有一个合适数量的氢离子和电子用以解释质量数和原子数两者。
早在1898年，汤姆森提出了一个原子模型，电子嵌入连续的环中，在一个电荷规模矩阵中，
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第七章 原子的量子理论                 116页
认为其占有大约一个原子直径的体积。已知很久原子的直径必须在1和10埃单位之间，一个事实参考摩尔体积和阿佛加德罗数。汤姆森的这种模型称为“李子布丁”模型因为可以想象模型里的电子的排列类似一个布丁里的葡萄干。大约仅十来年之后出现了这种模型的一个确定性测试。
由于没有一个直接的方法找到一个原子是如何构建的，必须使用一个间接的方法。一个不合理的间接方式会是确定一条树林地带里的树的位置，通过认真标记系统地打出的数千颗高尔夫球出现的轨迹，一致地到了树林。即一位学者可以在树林里进行一项散射试验，假设仅仅出现的相互作用是当一颗球击中一颗树的一种弹性碰撞。在原子散射试验中我们关心的是一个电荷的位置，所以明显地“高尔夫球”本身应该是一个带电的粒子。这里的相互作用会是哥伦布力在飞球与带电的原子之间。由卢瑟福德和他的同伴发现的阿尔法（a？）粒子提供了“高尔夫球。”一个阿尔法粒子是一个氦核；即它具有质量数4和一个+2的电荷.
由卢瑟福德建议，进行了大量的实验，从薄的金箔散射已知能量的阿尔法粒子。从下述讨论中可以估算一个汤姆森原子会照成一个阿尔法粒子偏斜。在一次正对的碰撞中它的动量传输多少给一个质量为m0？的电子？简单地从能量守恒和线性动量，传输给电子的最大动量会是？2m0v？。那么一个阿尔法粒子偏斜的最大可能的角度由于与一个电子碰撞会如下列出
       。。。？VU/max=2m0v/Mv~~10**-4角度，？。。。   （7.1）
由于给于电子的动量代表了阿尔法粒子动量的变化。类似地，一位学者可以估算由于原子内的连续电荷的偏斜通过计算总的冲击由哥伦布力给予阿尔法粒子，在它通过正向"布丁"的过渡中。所以，
                       。。。？AU/max=(Ft)max/Mv.？。。。   （7.2）
现在，如果R是原子的半径而Z是它的原子系数，？（Ft）max？会是冲击给予一个阿尔法粒子沿着直径方向进入电荷。
那么，
             。。。？（Ft）max=（积分方程推导）=？。。。  
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2. 横截面的经典散射                            117页
那么，         。。。?AU/max=2Ze2k/MRv2.?。。。   (7.3)
取？R=~1A0？，v=2X10**7m/s？，M=~6X10**-27kg？，Z=~10**2？，及k=9X10**9N-m**2/库尔**2？，我们得到
                         ？A=~10**-4？角度。
由于在单一的原子中多于一个电子的散射的概率相当小，每个原子的散射会是方程式7.1和7.3之和，即大约1X10**-4角度.来至许多原子的多重散射当然可能发生，但是它们是完全随机的它们遵循关系式
                      。。。？AU/-=N**-1/2.AU/max,?。。。   （7.4）
这里N是贡献散射的的原子个数而？AU/-是阿尔法粒子的总的偏斜。盖革找到阿尔法粒子穿过一个0.5微米的金泊的平均偏斜大约是1度？. 对于上述讨论这是相当合理的，由于一个微米的膜大约是10**4？个原子的厚度，以及对于随机散射的平均偏斜从方程7.4会是
             。。。？AU/-=10**4-1/2?.10**-4角度？=~10**-2角度=~1度.？。。。
到此为止，汤姆森模型与实验一致，但是现在让我们检验它的对于大角度散射的预测.结果大角度的散射变成了指数?[-(AU/AU/)**2-]?. 特别地， 仅仅在？e**8100=10**3518？中一个粒子会通过一个90度角散射！这里汤姆森模型会出现严重的麻烦，因为盖革和马斯登显示几乎一个阿尔法粒子在？10**4？散射90度或者更多! 虽然这好像是一个小数目， 与基于汤姆森的原子模型的任何预测相比，确是一个巨大数字。
为了解释无法期望的爱尔法粒子的大角散射，卢瑟福德提议了一个原子核模型，其中大多数原子质量和所有的正电荷集中在原子核很小，初次认为是一个点的质量。仅仅考虑哥伦布作用在入射爱尔法粒子和目标核之间，卢瑟福德计算了散射横截面并且获得结果明显与实验的相符。在简单讨论了散射的基本原理之后，显示了它的计算.
2. 经典散射横截面   
一个简单的散射试验示意图如图7-1. 校准发来的粒子它们组成一均匀的束据有单一的能量抛射体. 我们定义束强度I为
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第七章 原子的量子理论                  118页
每单位面积垂直于束的粒子数每秒. 考虑以若没有偏斜的粒子的轨迹没有击中散射中心差距s. 这个"误中"距离已知为冲击参数。注意抛射体和目标之间的作用散射粒子一个0/？角。由于对粒子束轴有圆锥对称。所有的入射粒子具有冲击参数小于s会在圆锥之外.任何实际的检测器必须有角宽度d0/？，以致它实际地计数颗粒进入边界0/？和0+d0/？的圆锥楔形。这些粒子来自束有冲击数在s？和s-ds.？之间. 即，所有的粒子穿越垫圈形的面积定义为db？=2paids？散射如圆锥楔形边界为0/?+d0?. 面积db？称为散射横截面，相关于dN（0/）？, 没秒散射的粒子数到由0/？和0/+d0/？定义的圆锥楔子形内，由
                 。。。？dN（0/）=..=ds.?。。。   （7.5）
从方程7.5我们见到可以通过实验确定，简单地把检测计数每秒除以粒子束密度。但是dN（0/）？明显地取决于检测器的角的大小，所以不同的检测器对横截面给出不同的值。为了避免这种模糊，我们有意规范所有的计数通过把方程7.5的两边除以包在检测器里的固态角度，即dM？=sin0/d0d0/？. 则，
         。。。？（常微分方程），？。。。  （7.6）
这里我们定义db/dm/?为微分散射横截面.
       粒子束强度I？    散射   检测器
       图7-1
       散射实验的示意图.
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2. 典型的散射横截面                         119页
使用方程7.5的右手边我们可以列出
      。。。？db？/dM?=2paisds/2paisinsin0/d0/?=s/sin0/.ds/s0.?。。。（7.7）
方程7.7告诉我们的是我们可以计算微分散射横截面给一种特殊的作用在弹射体和目标之间，条件是我们可以得到一种关系在冲击参数s和散射角0/？之间。然后我们从方程7.6和7.7得到的值的比较获得了验证理论与实践的方法。
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例7-1
考虑一个半径a的硬球从一个半径b的固定球散射。入射球会回弹从正切平面角度等于它的入射角如图7-2所示。显示？？db/dm?=1/4(a+b)**2?并找到？b？.小球从左面入射且散射角是?2a?.
                            正切平面
      图7-2
      硬球的经典散射.
解答
             。。。？s=（a+b）cos0/2
             。。。？|ds/d0/?|=1/2(a+b)sin0?//2?。。。
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第七章 原子的量子理论                  120页
        。。。？db？/dM=(微积分方程组推导)=1/4（a+b）**2。。。
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在例7-1中我们考虑散射情形粒子的相互作用仅仅是排斥力，当质量接触时发展。现在建议两个粒子都充了电它们通过很长距离的哥伦布力作用。在这种情形下无论质量有无接触散射发生。实际上，一旦每个粒子“感觉”了另一个的电场散射随即发生，并且延续到距离足够大此时哥伦布力作用可以忽略。特别地考虑两个正电荷的粒子，一个轻的弹射体质量m？带电荷ze？，和一个固定（重的）散射中心电荷Ze.由于z？和Z？均为正的，哥伦布力是排斥的而且散射粒子会有一个抛物线轨迹如图7-3和7-4所示。对于这种散射作用冲击参数和散射角之间的重要关系在附录B中推导. 它们是
                       。。。？s=D/2cot0/?/2。。。          （7.8）
和                     。。。？ds/d0/=D/4csc**20/2,?。。。  （7.9）
这里D列为
                       。。。？D=kzZe**2/1/2mv0**2=kzZe**2/T0?。。。 （7.10）
这里T0？单纯是入射粒子的经典动能。量化D已知为碰撞直径。在一种正撞得情形下两个粒子的距离最短.D是从目标的距离此处所有弹射体的动能转换为静电势能。这类似于寻找一个棒球的最高距离的问题，通过设定它的初始动能等于棒球的最大重力势能。为了寻找哥伦布散射的微分散射横截面，我们把方程7.8和7.9代入方程7.7得到

        。。。？（微分方程式推导）？。。。         （7.11）
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2. 经典散射横截面                                   121页
          ?p->=mv0->    ze   Ze   r  0/
      图 7-3
      一个粒子电荷ze从一个核子电荷Ze的哥伦布散射.

      冲击参数   0/？  散射中心   
      图7-4 哥伦布散射的冲击参数对散射角的关系.
那么入射粒子通量I的部分会在一个角度0/？散射对于一个单独的散射中心是，来自方程7.6，
     。。。？dN（0/）？/I=?db/dmdm=D**2/16.2paisin0/d0/sin**40//2.?。。。（7.12）
这里我们列出dM？为2pai？sin0d0/？，由于我们假设了关于粒子束的值的圆锥性对称.如果每目标单位面积有C散射中心，那么我们列出
              。。。？dN（0/）/I=paiCD**2/8.sin0/d0//sin**40/2.?。。。  （7.13）
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第7章 原子的量子理论                122页
由于用于测试方程7.13的实验采用了金属箔作为目标，让我们首先计算C，每单位金属箔面积的原子数目。如果我们假设箔足够薄以防止那些接近箔内表面的原子模糊，那么C单纯是没单位体积原子数和箔厚度的积. 即，
               。。。?C=nt.?。。。   （7.14）
没单位体积的原子数的找到是通过每摩尔的原子数（阿伏伽德罗数）除以摩尔体积（原子重量除以密度）. 所以，  
                             。。。？n=pN0/A,?。。。   （7.15）
这里p？是金属的密度，A是它的原子重量，且N0/？阿伏伽德罗数。 则，
                            。。。？C=pN0t/A?。。。    （7.16）
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例7-2
找到每单位体积原子数目（a）金，（b）银，和（c）白金。
解答
（a）金的密度是19.3g/cm**3和它的原子重量是197. 那么对于金，
            。。。？n=19.3X6.02X10**23/197=5.90X10**22？原子/cm**3？。。。
（b）银有一个密度10.5g/cm**3和原子重量107.9. 所以，
            。。。？n=21.45X？。。。。原子/cm**3.?。。。
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例7-3
当阿尔法？粒子有5MeV？的动能从金散射出时碰撞直径是多少？
解答
    对于5MeV阿尔法？粒子在金上，z=2和Z=79.那么，
       D=kzZe**2/T0
        =...=4.55X10**-12cm.
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例7-4
阿尔法a?粒子具有5MeV的动能闪射出一块一微米厚的金箔。多少部分的粒子会散射入圆锥楔形边界0/?=90度？和0/=90度+d0/？
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2. 经典散射横截面                                  123页
解答
使用例7-2中得到的n值，和一个箔的厚度t=1X10**-4厘米，我们找到
        。。。？C=nt=5.90X10**18原子/厘米平方.？。。。
使用这个和D的值给例7-3中的5MeV阿尔法a？粒子，我们得到
   。。。？paiCD**2/8=？。。。
则，
      。。。？dN（90度）/I=4.8X10**-5X（微分方程推算）.?。。。
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例7-5
例7-4中多少部分的阿尔法a？粒子会散射过60度？角或者更大？
解答
                 。。。？dN（0/>60度）/I=4.8X10**-5(常积分方程)？。。。
很容易如下估算积分：
         。。。？（常积分方程式推算）？。。。
那么，
                  。。。？dN（0/？>60度）/I=2.9X10**-4.?。。。
下列的另一种解答不要一个积分。冲击参数s的值对应于60度散射由方程式7.8给出如下
          。。。？s=4.6X10**-12/2cot30度=4.0X10-12厘米？。。。
所有冲击参数小于该值会造成大于60度角的散射。即粒子流量部分的散射由单一的散射粒子单纯的部分会通过一个半径s的盘子。那么，
         。。。？（微分方程推算）？。。。
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第七章  原子的量子理论           124页
卢瑟福德和它的伙伴的散射实验有两个重要的结果。首先对于一个原子模型证据确凿，其中所有的正电荷都集中在一个小的圆心或者核子上。第二，得到了大约10**-12？的上限给原子核的大小。发现对于冲击参数小于这个值，轻的元素散射的阿尔法粒子显示异常仅仅基于哥伦布力无法解释。 所以提议了一种新的力，原子核力，当原子核相互之间的距离接近10**-13？时变得很重要。这种力很强，吸引，距离短，后面的经典内容会进一步提到。
3. 波尔的原子波谱理论
卢瑟福德提出的原子核原子解决了阿尔法粒子的散射问题，但是没有解释原子的稳定性。由于不可能配置稳定的电荷仅仅受到了静电力，提出了一个动态系统，类似于行星系统。这样的系统解决了事实原子核的直径仅为1X10**-12cm（厘米）？次数而原子总的来讲有一个有效地直径次数为1X10**-8cm（厘米）?.可是出现了一个有关电磁理论的严重问题，即，一个电荷连续经历向心加速会连续地辐射。并且行星电荷旋转到核子在一个标称的寿命大约10**-8秒?.这种承受对大多数基础原子的无限寿命，及对它们的辐射谱的特性不发生。原子不放射除非激发；并且当放射发生时，它的频谱包含离散的频率而不是经典放射理论要求的连续频率.
有关氢的光学光谱已经知道了许多，因为早在十九世纪许多专家做了很深的研究。例如，很好的成立当氢合适激化时放射强的紫外谱线同时有许多可见区域的光线。
进一步，发现线的一定的组具有相关的波长仅有简单的数学式表达。每个这样的组成为已知的一个频谱系列，后来以发现者命名。所以，对于氢李曼系列，巴尔莫系列，和后来的帕申系列在1913年之前就知道了，而布拉克特和普丰德系列在它们之后。巴尔莫系列包含有可视的波长，是首先发现的（见图7-5）；后来由莱德伯格显示数学表达如下：
                。。。？1/拉姆达r=Ry（1/2**2-1/n**2）？，。。。（7.17）
这里n=3,4,5，...,并且Ry是一个实验确定的常数。 目前最佳的莱德伯格常数实验值是？109.677.576+-0.012cm**-1.?
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3. 波尔的原子波谱理论                      125页

      系列极限   
      图7-5 氢波谱中的巴尔莫系列线
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第七章 原子的量子理论                      126页
  早在1913年，波尔提出了一种理论成功地解释了单电子原子谱的辐射，虽然它直接反对了经典的辐射理论.波尔的假设总结如下：
（1）一颗行星式电子上的库仑力提供了其动态稳定圆形轨道所需的向心加速度.  
（2）仅允许的轨道是那些在离散集里的，其中电子的角动量等于一个整数乘以h/?, 这里h/?=h/2pai?.
(3) 一个在这些稳定轨道中移动的电子不辐射。
（4）辐射的放射和接收仅仅发生在一个电子从一个轨道向另一个轨道过渡时.
从第二个假设， 注意我们现在具有的角动量（以及电荷和能量）在原子系统中量化。第三条假设排斥了麻烦的声明，即一个加速的电荷必须在原子系统中辐射，除了它在宏观世界的有效性。第四点假设提供了普朗克理论的链接，由于发射和吸收的光子的频率的给出是通过两个状态之间的能量差除以h/?.
我们可以很快给氢获得波尔的结果，通过使用第一条假设列出
                           。。。？mv**2/r=ke**2/r**2，？。。。   （7.18）
这里？k=1/4paie0？且有大约值？9X10**9N-m2-库尔**-2. 这里我们忽略了原子核的任何运动. 从第二条假设我们有关系式
                           。。。？mvr=nh/,?。。。         （7.19）
这里整数n称为轨道量子数. 结合7.18和7.19， 我们推导出第n个轨道的半径，
                          。。。rn=n**2h/**2/mke**2=n**2a0.?。。。   （7.20）
a0/？量常常简单地参照为波尔半径. 它的值是
        。。。？a0？=h/2/mke**2=5.29X10**-11m=~0.53A0./?。。。       （7.21）
它是氢原子的第一个轨道的半径， 为一个刚性的原子核计算，并且是一个常常出现在原子核物理里的一个量。注意方程式7.20指定氢的轨道半径确实是离散的，并且以整数的平方增加.
使用方程式7.18，我们会列出电子的动能如下
        。。。？T=1/2mv**2=ke**2/2r.?。。。                   （7.22）
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3.波尔的原子频谱理论                 127页
由于电子在原子核的库仑场的势能量是
       。。。？V=-ke**2/r，？。。。                        （7.23）
那么总能量是
       。。。？E=T+V=-ke**2/2r.?。。。                     （7.24）
使用r值对应于允许的轨道的离散集，我们发现轨道能量是
        。。。？En=-ke2/2n2a0=（公式推算）？。。。         （7.25）
这里w0？列出为
              。。。？mk**2e**4/2h/**2=13.6eV？。。。       (7.26)
方程式7.25表示了重要结果即原子的能量的量化.即一个已知氢原子的能量限制到值的集合其对应于允许的电子的辐射状态.一个电子能够改变它的状态吗？是的，如果它获得足够的能量准确地把它带到一个较高的能量状态，那么他可以做出到那个状态的转化.它可以从热获取必要的能量（碰撞），从一个电或者磁场，或者从普朗克假设的光子的假设。类似地，一个到较低能量态的转化会发生如果过多的能量会由光子发射或者其它过程移除.
假定从第n到第k级发生转化， 这里n>k. 发射的光子的频率列出为
               。。。？hv=En-Ek=w0（1/k**2-1/n**2）.?。。。   （7.27）
由于光学光谱学家通常使用波数（波长的倒数）而不是频率，让我们把方程式7.27转化为这个单位，其标记为v./-. 那么，
                    。。。？hv=hc（1/拉姆达r）=hcv-，？。。。  （7.28）
及                  。。。？v-=w0/hc（推导）.？。。。          （7.29）
符号Ry00？代表对一个固定的原子核的雷德伯格常数.它的值是
                 。。。？Ry00=w0/hc=109,737.31cm**-1.？。。。  （7.30）
注意方程式7.29对k=2等同于雷德伯格方程（7.17）。结果所有已知的氢的光谱系列可以由方程式7.29满足。所以获得莱曼系列如果我们设定
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第七章 原子的量子理论                           128页
k=1?，并且允许n?取值n=2,3,4，...?;巴尔莫系列对应于k=2，n=3,4,5，...; ，帕邢，布拉克特和芬德系列相应地对应于k=3,4，和5，这里n在整个整数中大于k。这些系列如图7-6示意如下。
                                  能量（eV）
                                        正能量离子化状态的连续
            帕邢系列 布拉克特系列
            巴尔莫系列
            莱曼系列                      半径， r
图7-6
波尔半径和允许的氢能量。氢的几个频谱系列的期初几条显示在左侧。
方程式7.27也能用于计算氢的离子化能量，其从实验获得大约是13.6eV。由于当电子从原子核逃逸时发生了离子化，这个过程类似于让n-->00.那么对于k=1，我们见到波尔理论预测了离子化能量w0？，其值在方程式7.26计算为13.6。  
这种波尔理论和雷登伯格常数的实验值的优秀的一致，离子化势能，和氢的发射频谱是该理论上的一次伟大的胜利。如果纠正一下一致性会更好，对于运动的原子核，而不是简单地假设电子会围绕它们的共同的质量中心转动。所以，在方程式7.22中电子属性的动力能是太大，由于一部分
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3. 原子频谱的波尔理论                        129页
它是关联与原子运动。容易显示对于移动的原子核正确的电子能量可以通过使用获得，而不是电子质量，减少的质量
                     。。。？u/=mM/M+m,?。。。     （7.31）
这里m是电子质量及M是原子质量。
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例7-6
使用方程式7.17，找到巴尔莫线的波长对n=3。
解答
        。。。1/r拉姆达？=109,677cm**-1（1/2**2-？推算）=15,233cm**-1？。。。
         。。。？拉姆达r=6.56X10**-5cm=6560A0?.。。。
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例7-7
（a）一个氢的电子在第n波尔轨道的旋转频率是什么？
（b）比较这个结果与氢发射的频率在从第n到（n-1）状态转化，当n>=1.
解答
（a）条件为轨道速度和半径，频率是
           。。。？v=w/2pai?=v/2pairn.?。。。
使用方程7.19的v和方程7.20的rn，
      。。。？v=nh？/2paimrn**2?(推导)？。。。
（b）从方程式7.26和7.27，
      。。。？v=（w0/h）[推导]？。。。
对于n》1，
      。。。？（2n-1）/n**2(推算)？。。。
则，
            。。。？v=mk**2e**4/2pain**3h**3.？。。。
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例7-8
使用波尔理论获得允许的半径和能量给单个离子化的氦中的电子。
解答
从先前的推导可以理解到Z=1。为了明显地包括Z，我们必须写出方程式7.18为
      。。。？mv**2/r=kZe**2/r**2.?。。。
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第七章 原子的量子理论                    130页
      从此接着
            。。。？rn=（推导）=/Z,？。。。
及          。。。？En=（推导）=/n**2.?。。。
   在单个离子化的氦Z=2，所以允许的能量和半径（忽略原子运动）是：
                   。。。？rn=1/2n**2a0？。。。
及
                   。。。？En=-4w0/n2.？。。。
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例7-9
使用波尔理论计算允许的圆形轨道和能量给u？（μ子素）。u?是一种类氢的原子包含有一个质子质量为1836和一个u？它的电荷是-e和它的质量是207m，这里m是电子质量。
解答
u？减少的质量是
        。。。u？=（计算）=186m.?。。。
则，    。。。rn=（计算）=？/186,。。。
和      。。。En=（计算）=？/n**2. 。。。
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4. 法兰克-赫兹实验
早在1914年的法兰克和赫兹实验给波尔理论预期的离散能量态提供了附加的确认。在这个实验中水银蒸汽受到了已知能量的轰击。当这个动能少于原子水银的起初激发态的能量时，唯一的碰撞电子丢失的能量是动能的一小部分（大约10**5？的一部分），它可以传输到大量的水银原子，通过一次弹性碰撞。可是当入射电子的动能刚好超过水银激发的初始态能量，那么在一次非弹性碰撞中电子几乎消耗了所有的它的动能给水银原子。所以，比较碰撞前后的电子的动能您可以确定多少能量传输给了目标原子。
法兰克和赫兹使用了一个简单的实验装置包括有一个水银管装有一个阴极，一块板，和一个加速栅，位置上接近板（见图7-7）。板和栅两者保持比栅的势能底。这个小的在板上减少的势能具有效果防止供给板电流具有可忽略的能量。这里，如果电子丢失了大多数它们的动能在水银原子的非弹性碰撞中ing，减少的势能会防止它们到达板而且造成板电流下降。 这样的一个板电流的下降发现发生在4.9伏，如图7-8。 更进一步,
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5. x-射线频谱和波尔理论                  131页

            气体输入
       灯丝          栅  板

       图7-7
       法兰克-赫兹实验装置.
法兰克和赫兹注解到在此电压下2536A./?水银频谱线出现在发射的蒸汽上。一个简单的计算显示2536A./?线的光子能量对应于4.86电子伏特！在较高的电压下发生板电流有大的下降，而且有新的线出现在水银蒸汽的发射频谱中。这种现象在4.9伏特重复多次。如图所示。我们必须在此总结波尔的离散能量态的概念的量化是正确的。
        板电流（任意单位）
                    板电压，伏特
        图7-8
        电流对电压，在法兰克-赫兹实验中。
5. X射线频谱和波尔理论
当高能量电子用以轰炸重金属制成的一个目标时，电子减少并且会辐射。辐射的结果会产生一个连续的频谱称为轫致辐射，其特性为在短波长端有尖锐的截止。一个典型的频谱显示在图7-9。这种连续频谱可以由经典的电磁辐射理论解释或者量子力学，通过唤起
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5. X-射线和波尔理论                            133页
        强度（任意单位）

            波长单位（A0/？）
      图7-9
      钼的X-射线频谱。连续的频谱是轫致辐射。

光电效应。即，动能的变化给光子的频率提供上限，而在光电效应光子频率提供动能的变化提供一个上限。由于一个电子的初始动能的确定是由x-射线管上的电压，短波长截止列出为
           。。。？拉姆达（算式）=12,400/V，？。。。   （7.32）
这里V单位是伏特，而拉姆达r？是A0/？。 所以一个12千伏特的x-射线管具有一个大约1A0/？的截止频率。没有许多具有波长拉姆达r？的光子发射出来，因为大量的电子当停止在目标上时做了机械功，而且它们的动能的一大部分转换成了热量。方程式7.32提供了一种准确的方法来确定比值e/h?,由于绘出的图是vc？比V？是一条斜率为e/h？的直线。
叠加在连续频谱上的是少数几个离散尖峰其波长是目标材料的特性。这些的几个显示在示意图中。许多元素的特征x-射线频谱由摩斯利研究，他显示了一条已知线的频率从元素到元素变化为原子序数的平方。摩斯利的一些绘图数据显示在图7-10中。这种结果您会从波尔理论期望，如果原子序数Z包括在方程式7.18的哥伦布力项中。（见问题7-13.）
波尔理论解释了离散性和特征频谱的光子能量的幅度次数，通过假设这些光子的发射是内层电子壳转化的结果。如果，例如一粒高能量电子从一个目标的首层壳破壳而出，空缺会由第二个壳的一个转化过渡填充，或者第三层，或者更高层的壳。由于首层的电子通常称为
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第七章 原子的量子理论                       134页  
K？-电子，从第二层壳转化过渡到K？壳而发射的光子称为Ka？辐射，而由第三壳到K壳的转化过渡称为Kb？辐射，等等等等。第二层壳标记为L壳，第三M，等等类推，这样La？，Lb？,...,Ma?,Mb?,...辐射以类似的形式定义。
由于图7-10显示光子的能量正比于Z**2？，从第二到第一的铜（Z=29）的过渡转化会形成光子的发射具有能量大约为841次的氢的莱曼系列的最长线。这个估算给出了1.44A/0?为铜的Ka？线，而正确的值是1.54A/0?.由于波尔理论的缺陷对于包含较高层壳的过渡转化一致性不是很好，以及由于最内层壳的电子的原子电荷的重要的过滤效应。
一种通常与x-射线发射对比的过程是内部的光电效应或者螺旋钻效应。这里，x-射线的光子实际上不出现，但是相当数量的动能给了较外层的电子，其结果从原子弹射出去。
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例7-10
一根30,000伏特的x-射线管可以产生最短的波长是什么？
解答
  由方程式7.32给出最短的截止波长单位A0/?,拉姆达rc=12,400/v=12,400/30,000=0.41A0/.?
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例7-11
显示波尔的理论预测摩斯利的结果，即一条x-射线的特征频率正比于原子序数的平方。
解答
   如例7-8所示，如果Z？包含在波尔的一个参数内
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第七章 原子的量子理论                       136页
理论，那么方程式7.27成为
             。。。？hv=Z，？。。。
这里 n>k. 所以，
                    。。。？V=Z？。。。
如图7-10所示。
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小结 卢瑟福德和他的伙伴的工作积累在一个原子模型上其中原子的所有正电荷和大多数质量集中在直径为10**？？倍的原子直径上. 电气中性的达到是通过把的电子放在原子核外面的数量和原子核内部的质子数相同，并且这些电子的移动必须迅速以使原子稳定.波尔建议每个行星式移动的电子的轨迹是圆形的，其向心力是通过原子核与电子之间的库仑引力提供。或许波尔假设的最惊奇的之处是一个电子的相关的轨道角动量被量化单位为？h/=h/2pai?, 这里h/?是普朗克量子常数. 这个对于角动量可能值的限制导致原子能量的量化. 即角动量的离散级限制了离散值的轨道半径和能量.
波尔理论预测了氢和类氢的原子相当好，虽然对于非氢性的原子出现了严重缺陷.
另外有名的波尔假设，一个原子吸收或者发射一个光子发生的时间是一个电子在两个原子能量等级之间发生了过渡，这是一种辐射量子理论和物质量子理论之间的重要链接.           
        第七章 原子的量子理论          115页
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1. 汤姆森和卢瑟福的原子模型  
已经怀疑了很久很久原子里的物质是由电性的力保持在一起的，而且十九世纪的科学家为此概念添加了越来越多的证据。汤姆森于1897年发现了电子，并且确定了电子电荷及其质量确认了至少一个原子构建模块的身份。这些实验在较早的章节中谈论过。电子是所有原子的成分的假设是来至大量的实验,这些实验从简单的一件物体摩擦带电到更为复杂的放电管里的气体电离，x-射线轰炸，光电效应，以及辐射衰减时的贝塔（b？）放射。可是，一个难题仍然存在，当一位学者企图设计一个稳定的原子会包含电子和正电荷足以使原子的电气为中性。
早在1815年普劳特提议元素都是由氢原子组成。可是，原子数和大多数原子的质量数之间纯在的差异是这种方法的一块绊脚石。后来有点复兴，结果来至汤姆森的正离子束的实验。汤姆森能够确定粒子束中电荷对质量（e/m?）的比值，并且他发现带有一个正电荷的一个粒子的质量等于电荷的幅度对应于一个离子化的氢原子的质量。建议是不会不合理即所有的元素包含有一个合适数量的氢离子和电子用以解释质量数和原子数两者。
早在1898年，汤姆森提出了一个原子模型，电子嵌入连续的环中，在一个电荷规模矩阵中，
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第七章 原子的量子理论                 116页
认为其占有大约一个原子直径的体积。已知很久原子的直径必须在1和10埃单位之间，一个事实参考摩尔体积和阿佛加德罗数。汤姆森的这种模型称为“李子布丁”模型因为可以想象模型里的电子的排列类似一个布丁里的葡萄干。大约仅十来年之后出现了这种模型的一个确定性测试。
由于没有一个直接的方法找到一个原子是如何构建的，必须使用一个间接的方法。一个不合理的间接方式会是确定一条树林地带里的树的位置，通过认真标记系统地打出的数千颗高尔夫球出现的轨迹，一致地到了树林。即一位学者可以在树林里进行一项散射试验，假设仅仅出现的相互作用是当一颗球击中一颗树的一种弹性碰撞。在原子散射试验中我们关心的是一个电荷的位置，所以明显地“高尔夫球”本身应该是一个带电的粒子。这里的相互作用会是哥伦布力在飞球与带电的原子之间。由卢瑟福德和他的同伴发现的阿尔法（a？）粒子提供了“高尔夫球。”一个阿尔法粒子是一个氦核；即它具有质量数4和一个+2的电荷.
由卢瑟福德建议，进行了大量的实验，从薄的金箔散射已知能量的阿尔法粒子。从下述讨论中可以估算一个汤姆森原子会照成一个阿尔法粒子偏斜。在一次正对的碰撞中它的动量传输多少给一个质量为m0？的电子？简单地从能量守恒和线性动量，传输给电子的最大动量会是？2m0v？。那么一个阿尔法粒子偏斜的最大可能的角度由于与一个电子碰撞会如下列出
       。。。？VU/max=2m0v/Mv~~10**-4角度，？。。。   （7.1）
由于给于电子的动量代表了阿尔法粒子动量的变化。类似地，一位学者可以估算由于原子内的连续电荷的偏斜通过计算总的冲击由哥伦布力给予阿尔法粒子，在它通过正向"布丁"的过渡中。所以，
                       。。。？AU/max=(Ft)max/Mv.？。。。   （7.2）
现在，如果R是原子的半径而Z是它的原子系数，？（Ft）max？会是冲击给予一个阿尔法粒子沿着直径方向进入电荷。
那么，
             。。。？（Ft）max=（积分方程推导）=？。。。  
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2. 横截面的经典散射                            117页
那么，         。。。?AU/max=2Ze2k/MRv2.?。。。   (7.3)
取？R=~1A0？，v=2X10**7m/s？，M=~6X10**-27kg？，Z=~10**2？，及k=9X10**9N-m**2/库尔**2？，我们得到
                         ？A=~10**-4？角度。
由于在单一的原子中多于一个电子的散射的概率相当小，每个原子的散射会是方程式7.1和7.3之和，即大约1X10**-4角度.来至许多原子的多重散射当然可能发生，但是它们是完全随机的它们遵循关系式
                      。。。？AU/-=N**-1/2.AU/max,?。。。   （7.4）
这里N是贡献散射的的原子个数而？AU/-是阿尔法粒子的总的偏斜。盖革找到阿尔法粒子穿过一个0.5微米的金泊的平均偏斜大约是1度？. 对于上述讨论这是相当合理的，由于一个微米的膜大约是10**4？个原子的厚度，以及对于随机散射的平均偏斜从方程7.4会是
             。。。？AU/-=10**4-1/2?.10**-4角度？=~10**-2角度=~1度.？。。。
到此为止，汤姆森模型与实验一致，但是现在让我们检验它的对于大角度散射的预测.结果大角度的散射变成了指数?[-(AU/AU/)**2-]?. 特别地， 仅仅在？e**8100=10**3518？中一个粒子会通过一个90度角散射！这里汤姆森模型会出现严重的麻烦，因为盖革和马斯登显示几乎一个阿尔法粒子在？10**4？散射90度或者更多! 虽然这好像是一个小数目， 与基于汤姆森的原子模型的任何预测相比，确是一个巨大数字。
为了解释无法期望的爱尔法粒子的大角散射，卢瑟福德提议了一个原子核模型，其中大多数原子质量和所有的正电荷集中在原子核很小，初次认为是一个点的质量。仅仅考虑哥伦布作用在入射爱尔法粒子和目标核之间，卢瑟福德计算了散射横截面并且获得结果明显与实验的相符。在简单讨论了散射的基本原理之后，显示了它的计算.
2. 经典散射横截面   
一个简单的散射试验示意图如图7-1. 校准发来的粒子它们组成一均匀的束据有单一的能量抛射体. 我们定义束强度I为
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第七章 原子的量子理论                  118页
每单位面积垂直于束的粒子数每秒. 考虑以若没有偏斜的粒子的轨迹没有击中散射中心差距s. 这个"误中"距离已知为冲击参数。注意抛射体和目标之间的作用散射粒子一个0/？角。由于对粒子束轴有圆锥对称。所有的入射粒子具有冲击参数小于s会在圆锥之外.任何实际的检测器必须有角宽度d0/？，以致它实际地计数颗粒进入边界0/？和0+d0/？的圆锥楔形。这些粒子来自束有冲击数在s？和s-ds.？之间. 即，所有的粒子穿越垫圈形的面积定义为db？=2paids？散射如圆锥楔形边界为0/?+d0?. 面积db？称为散射横截面，相关于dN（0/）？, 没秒散射的粒子数到由0/？和0/+d0/？定义的圆锥楔子形内，由
                 。。。？dN（0/）=..=ds.?。。。   （7.5）
从方程7.5我们见到可以通过实验确定，简单地把检测计数每秒除以粒子束密度。但是dN（0/）？明显地取决于检测器的角的大小，所以不同的检测器对横截面给出不同的值。为了避免这种模糊，我们有意规范所有的计数通过把方程7.5的两边除以包在检测器里的固态角度，即dM？=sin0/d0d0/？. 则，
         。。。？（常微分方程），？。。。  （7.6）
这里我们定义db/dm/?为微分散射横截面.
       粒子束强度I？    散射   检测器
       图7-1
       散射实验的示意图.
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2. 典型的散射横截面                         119页
使用方程7.5的右手边我们可以列出
      。。。？db？/dM?=2paisds/2paisinsin0/d0/?=s/sin0/.ds/s0.?。。。（7.7）
方程7.7告诉我们的是我们可以计算微分散射横截面给一种特殊的作用在弹射体和目标之间，条件是我们可以得到一种关系在冲击参数s和散射角0/？之间。然后我们从方程7.6和7.7得到的值的比较获得了验证理论与实践的方法。
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例7-1
考虑一个半径a的硬球从一个半径b的固定球散射。入射球会回弹从正切平面角度等于它的入射角如图7-2所示。显示？？db/dm?=1/4(a+b)**2?并找到？b？.小球从左面入射且散射角是?2a?.
                            正切平面
      图7-2
      硬球的经典散射.
解答
             。。。？s=（a+b）cos0/2
             。。。？|ds/d0/?|=1/2(a+b)sin0?//2?。。。
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第七章 原子的量子理论                  120页
        。。。？db？/dM=(微积分方程组推导)=1/4（a+b）**2。。。
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在例7-1中我们考虑散射情形粒子的相互作用仅仅是排斥力，当质量接触时发展。现在建议两个粒子都充了电它们通过很长距离的哥伦布力作用。在这种情形下无论质量有无接触散射发生。实际上，一旦每个粒子“感觉”了另一个的电场散射随即发生，并且延续到距离足够大此时哥伦布力作用可以忽略。特别地考虑两个正电荷的粒子，一个轻的弹射体质量m？带电荷ze？，和一个固定（重的）散射中心电荷Ze.由于z？和Z？均为正的，哥伦布力是排斥的而且散射粒子会有一个抛物线轨迹如图7-3和7-4所示。对于这种散射作用冲击参数和散射角之间的重要关系在附录B中推导. 它们是
                       。。。？s=D/2cot0/?/2。。。          （7.8）
和                     。。。？ds/d0/=D/4csc**20/2,?。。。  （7.9）
这里D列为
                       。。。？D=kzZe**2/1/2mv0**2=kzZe**2/T0?。。。 （7.10）
这里T0？单纯是入射粒子的经典动能。量化D已知为碰撞直径。在一种正撞得情形下两个粒子的距离最短.D是从目标的距离此处所有弹射体的动能转换为静电势能。这类似于寻找一个棒球的最高距离的问题，通过设定它的初始动能等于棒球的最大重力势能。为了寻找哥伦布散射的微分散射横截面，我们把方程7.8和7.9代入方程7.7得到

        。。。？（微分方程式推导）？。。。         （7.11）
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2. 经典散射横截面                                   121页
          ?p->=mv0->    ze   Ze   r  0/
      图 7-3
      一个粒子电荷ze从一个核子电荷Ze的哥伦布散射.

      冲击参数   0/？  散射中心   
      图7-4 哥伦布散射的冲击参数对散射角的关系.
那么入射粒子通量I的部分会在一个角度0/？散射对于一个单独的散射中心是，来自方程7.6，
     。。。？dN（0/）？/I=?db/dmdm=D**2/16.2paisin0/d0/sin**40//2.?。。。（7.12）
这里我们列出dM？为2pai？sin0d0/？，由于我们假设了关于粒子束的值的圆锥性对称.如果每目标单位面积有C散射中心，那么我们列出
              。。。？dN（0/）/I=paiCD**2/8.sin0/d0//sin**40/2.?。。。  （7.13）
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第7章 原子的量子理论                122页
由于用于测试方程7.13的实验采用了金属箔作为目标，让我们首先计算C，每单位金属箔面积的原子数目。如果我们假设箔足够薄以防止那些接近箔内表面的原子模糊，那么C单纯是没单位体积原子数和箔厚度的积. 即，
               。。。?C=nt.?。。。   （7.14）
没单位体积的原子数的找到是通过每摩尔的原子数（阿伏伽德罗数）除以摩尔体积（原子重量除以密度）. 所以，  
                             。。。？n=pN0/A,?。。。   （7.15）
这里p？是金属的密度，A是它的原子重量，且N0/？阿伏伽德罗数。 则，
                            。。。？C=pN0t/A?。。。    （7.16）
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例7-2
找到每单位体积原子数目（a）金，（b）银，和（c）白金。
解答
（a）金的密度是19.3g/cm**3和它的原子重量是197. 那么对于金，
            。。。？n=19.3X6.02X10**23/197=5.90X10**22？原子/cm**3？。。。
（b）银有一个密度10.5g/cm**3和原子重量107.9. 所以，
            。。。？n=21.45X？。。。。原子/cm**3.?。。。
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例7-3
当阿尔法？粒子有5MeV？的动能从金散射出时碰撞直径是多少？
解答
    对于5MeV阿尔法？粒子在金上，z=2和Z=79.那么，
       D=kzZe**2/T0
        =...=4.55X10**-12cm.
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例7-4
阿尔法a?粒子具有5MeV的动能闪射出一块一微米厚的金箔。多少部分的粒子会散射入圆锥楔形边界0/?=90度？和0/=90度+d0/？
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2. 经典散射横截面                                  123页
解答
使用例7-2中得到的n值，和一个箔的厚度t=1X10**-4厘米，我们找到
        。。。？C=nt=5.90X10**18原子/厘米平方.？。。。
使用这个和D的值给例7-3中的5MeV阿尔法a？粒子，我们得到
   。。。？paiCD**2/8=？。。。
则，
      。。。？dN（90度）/I=4.8X10**-5X（微分方程推算）.?。。。
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例7-5
例7-4中多少部分的阿尔法a？粒子会散射过60度？角或者更大？
解答
                 。。。？dN（0/>60度）/I=4.8X10**-5(常积分方程)？。。。
很容易如下估算积分：
         。。。？（常积分方程式推算）？。。。
那么，
                  。。。？dN（0/？>60度）/I=2.9X10**-4.?。。。
下列的另一种解答不要一个积分。冲击参数s的值对应于60度散射由方程式7.8给出如下
          。。。？s=4.6X10**-12/2cot30度=4.0X10-12厘米？。。。
所有冲击参数小于该值会造成大于60度角的散射。即粒子流量部分的散射由单一的散射粒子单纯的部分会通过一个半径s的盘子。那么，
         。。。？（微分方程推算）？。。。
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第七章  原子的量子理论           124页
卢瑟福德和它的伙伴的散射实验有两个重要的结果。首先对于一个原子模型证据确凿，其中所有的正电荷都集中在一个小的圆心或者核子上。第二，得到了大约10**-12？的上限给原子核的大小。发现对于冲击参数小于这个值，轻的元素散射的阿尔法粒子显示异常仅仅基于哥伦布力无法解释。 所以提议了一种新的力，原子核力，当原子核相互之间的距离接近10**-13？时变得很重要。这种力很强，吸引，距离短，后面的经典内容会进一步提到。
3. 波尔的原子波谱理论
卢瑟福德提出的原子核原子解决了阿尔法粒子的散射问题，但是没有解释原子的稳定性。由于不可能配置稳定的电荷仅仅受到了静电力，提出了一个动态系统，类似于行星系统。这样的系统解决了事实原子核的直径仅为1X10**-12cm（厘米）？次数而原子总的来讲有一个有效地直径次数为1X10**-8cm（厘米）?.可是出现了一个有关电磁理论的严重问题，即，一个电荷连续经历向心加速会连续地辐射。并且行星电荷旋转到核子在一个标称的寿命大约10**-8秒?.这种承受对大多数基础原子的无限寿命，及对它们的辐射谱的特性不发生。原子不放射除非激发；并且当放射发生时，它的频谱包含离散的频率而不是经典放射理论要求的连续频率.
有关氢的光学光谱已经知道了许多，因为早在十九世纪许多专家做了很深的研究。例如，很好的成立当氢合适激化时放射强的紫外谱线同时有许多可见区域的光线。
进一步，发现线的一定的组具有相关的波长仅有简单的数学式表达。每个这样的组成为已知的一个频谱系列，后来以发现者命名。所以，对于氢李曼系列，巴尔莫系列，和后来的帕申系列在1913年之前就知道了，而布拉克特和普丰德系列在它们之后。巴尔莫系列包含有可视的波长，是首先发现的（见图7-5）；后来由莱德伯格显示数学表达如下：
                。。。？1/拉姆达r=Ry（1/2**2-1/n**2）？，。。。（7.17）
这里n=3,4,5，...,并且Ry是一个实验确定的常数。 目前最佳的莱德伯格常数实验值是？109.677.576+-0.012cm**-1.?
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3. 波尔的原子波谱理论                      125页

      系列极限   
      图7-5 氢波谱中的巴尔莫系列线
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第七章 原子的量子理论                      126页
  早在1913年，波尔提出了一种理论成功地解释了单电子原子谱的辐射，虽然它直接反对了经典的辐射理论.波尔的假设总结如下：
（1）一颗行星式电子上的库仑力提供了其动态稳定圆形轨道所需的向心加速度.  
（2）仅允许的轨道是那些在离散集里的，其中电子的角动量等于一个整数乘以h/?, 这里h/?=h/2pai?.
(3) 一个在这些稳定轨道中移动的电子不辐射。
（4）辐射的放射和接收仅仅发生在一个电子从一个轨道向另一个轨道过渡时.
从第二个假设， 注意我们现在具有的角动量（以及电荷和能量）在原子系统中量化。第三条假设排斥了麻烦的声明，即一个加速的电荷必须在原子系统中辐射，除了它在宏观世界的有效性。第四点假设提供了普朗克理论的链接，由于发射和吸收的光子的频率的给出是通过两个状态之间的能量差除以h/?.
我们可以很快给氢获得波尔的结果，通过使用第一条假设列出
                           。。。？mv**2/r=ke**2/r**2，？。。。   （7.18）
这里？k=1/4paie0？且有大约值？9X10**9N-m2-库尔**-2. 这里我们忽略了原子核的任何运动. 从第二条假设我们有关系式
                           。。。？mvr=nh/,?。。。         （7.19）
这里整数n称为轨道量子数. 结合7.18和7.19， 我们推导出第n个轨道的半径，
                          。。。rn=n**2h/**2/mke**2=n**2a0.?。。。   （7.20）
a0/？量常常简单地参照为波尔半径. 它的值是
        。。。？a0？=h/2/mke**2=5.29X10**-11m=~0.53A0./?。。。       （7.21）
它是氢原子的第一个轨道的半径， 为一个刚性的原子核计算，并且是一个常常出现在原子核物理里的一个量。注意方程式7.20指定氢的轨道半径确实是离散的，并且以整数的平方增加.
使用方程式7.18，我们会列出电子的动能如下
        。。。？T=1/2mv**2=ke**2/2r.?。。。                   （7.22）
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3.波尔的原子频谱理论                 127页
由于电子在原子核的库仑场的势能量是
       。。。？V=-ke**2/r，？。。。                        （7.23）
那么总能量是
       。。。？E=T+V=-ke**2/2r.?。。。                     （7.24）
使用r值对应于允许的轨道的离散集，我们发现轨道能量是
        。。。？En=-ke2/2n2a0=（公式推算）？。。。         （7.25）
这里w0？列出为
              。。。？mk**2e**4/2h/**2=13.6eV？。。。       (7.26)
方程式7.25表示了重要结果即原子的能量的量化.即一个已知氢原子的能量限制到值的集合其对应于允许的电子的辐射状态.一个电子能够改变它的状态吗？是的，如果它获得足够的能量准确地把它带到一个较高的能量状态，那么他可以做出到那个状态的转化.它可以从热获取必要的能量（碰撞），从一个电或者磁场，或者从普朗克假设的光子的假设。类似地，一个到较低能量态的转化会发生如果过多的能量会由光子发射或者其它过程移除.
假定从第n到第k级发生转化， 这里n>k. 发射的光子的频率列出为
               。。。？hv=En-Ek=w0（1/k**2-1/n**2）.?。。。   （7.27）
由于光学光谱学家通常使用波数（波长的倒数）而不是频率，让我们把方程式7.27转化为这个单位，其标记为v./-. 那么，
                    。。。？hv=hc（1/拉姆达r）=hcv-，？。。。  （7.28）
及                  。。。？v-=w0/hc（推导）.？。。。          （7.29）
符号Ry00？代表对一个固定的原子核的雷德伯格常数.它的值是
                 。。。？Ry00=w0/hc=109,737.31cm**-1.？。。。  （7.30）
注意方程式7.29对k=2等同于雷德伯格方程（7.17）。结果所有已知的氢的光谱系列可以由方程式7.29满足。所以获得莱曼系列如果我们设定
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第七章 原子的量子理论                           128页
k=1?，并且允许n?取值n=2,3,4，...?;巴尔莫系列对应于k=2，n=3,4,5，...; ，帕邢，布拉克特和芬德系列相应地对应于k=3,4，和5，这里n在整个整数中大于k。这些系列如图7-6示意如下。
                                  能量（eV）
                                        正能量离子化状态的连续
            帕邢系列 布拉克特系列
            巴尔莫系列
            莱曼系列                      半径， r
图7-6
波尔半径和允许的氢能量。氢的几个频谱系列的期初几条显示在左侧。
方程式7.27也能用于计算氢的离子化能量，其从实验获得大约是13.6eV。由于当电子从原子核逃逸时发生了离子化，这个过程类似于让n-->00.那么对于k=1，我们见到波尔理论预测了离子化能量w0？，其值在方程式7.26计算为13.6。  
这种波尔理论和雷登伯格常数的实验值的优秀的一致，离子化势能，和氢的发射频谱是该理论上的一次伟大的胜利。如果纠正一下一致性会更好，对于运动的原子核，而不是简单地假设电子会围绕它们的共同的质量中心转动。所以，在方程式7.22中电子属性的动力能是太大，由于一部分
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3. 原子频谱的波尔理论                        129页
它是关联与原子运动。容易显示对于移动的原子核正确的电子能量可以通过使用获得，而不是电子质量，减少的质量
                     。。。？u/=mM/M+m,?。。。     （7.31）
这里m是电子质量及M是原子质量。
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例7-6
使用方程式7.17，找到巴尔莫线的波长对n=3。
解答
        。。。1/r拉姆达？=109,677cm**-1（1/2**2-？推算）=15,233cm**-1？。。。
         。。。？拉姆达r=6.56X10**-5cm=6560A0?.。。。
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例7-7
（a）一个氢的电子在第n波尔轨道的旋转频率是什么？
（b）比较这个结果与氢发射的频率在从第n到（n-1）状态转化，当n>=1.
解答
（a）条件为轨道速度和半径，频率是
           。。。？v=w/2pai?=v/2pairn.?。。。
使用方程7.19的v和方程7.20的rn，
      。。。？v=nh？/2paimrn**2?(推导)？。。。
（b）从方程式7.26和7.27，
      。。。？v=（w0/h）[推导]？。。。
对于n》1，
      。。。？（2n-1）/n**2(推算)？。。。
则，
            。。。？v=mk**2e**4/2pain**3h**3.？。。。
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例7-8
使用波尔理论获得允许的半径和能量给单个离子化的氦中的电子。
解答
从先前的推导可以理解到Z=1。为了明显地包括Z，我们必须写出方程式7.18为
      。。。？mv**2/r=kZe**2/r**2.?。。。
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第七章 原子的量子理论                    130页
      从此接着
            。。。？rn=（推导）=/Z,？。。。
及          。。。？En=（推导）=/n**2.?。。。
   在单个离子化的氦Z=2，所以允许的能量和半径（忽略原子运动）是：
                   。。。？rn=1/2n**2a0？。。。
及
                   。。。？En=-4w0/n2.？。。。
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例7-9
使用波尔理论计算允许的圆形轨道和能量给u？（μ子素）。u?是一种类氢的原子包含有一个质子质量为1836和一个u？它的电荷是-e和它的质量是207m，这里m是电子质量。
解答
u？减少的质量是
        。。。u？=（计算）=186m.?。。。
则，    。。。rn=（计算）=？/186,。。。
和      。。。En=（计算）=？/n**2. 。。。
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4. 法兰克-赫兹实验
早在1914年的法兰克和赫兹实验给波尔理论预期的离散能量态提供了附加的确认。在这个实验中水银蒸汽受到了已知能量的轰击。当这个动能少于原子水银的起初激发态的能量时，唯一的碰撞电子丢失的能量是动能的一小部分（大约10**5？的一部分），它可以传输到大量的水银原子，通过一次弹性碰撞。可是当入射电子的动能刚好超过水银激发的初始态能量，那么在一次非弹性碰撞中电子几乎消耗了所有的它的动能给水银原子。所以，比较碰撞前后的电子的动能您可以确定多少能量传输给了目标原子。
法兰克和赫兹使用了一个简单的实验装置包括有一个水银管装有一个阴极，一块板，和一个加速栅，位置上接近板（见图7-7）。板和栅两者保持比栅的势能底。这个小的在板上减少的势能具有效果防止供给板电流具有可忽略的能量。这里，如果电子丢失了大多数它们的动能在水银原子的非弹性碰撞中ing，减少的势能会防止它们到达板而且造成板电流下降。 这样的一个板电流的下降发现发生在4.9伏，如图7-8。 更进一步,
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5. x-射线频谱和波尔理论                  131页

            气体输入
       灯丝          栅  板

       图7-7
       法兰克-赫兹实验装置.
法兰克和赫兹注解到在此电压下2536A./?水银频谱线出现在发射的蒸汽上。一个简单的计算显示2536A./?线的光子能量对应于4.86电子伏特！在较高的电压下发生板电流有大的下降，而且有新的线出现在水银蒸汽的发射频谱中。这种现象在4.9伏特重复多次。如图所示。我们必须在此总结波尔的离散能量态的概念的量化是正确的。
        板电流（任意单位）
                    板电压，伏特
        图7-8
        电流对电压，在法兰克-赫兹实验中。
5. X射线频谱和波尔理论
当高能量电子用以轰炸重金属制成的一个目标时，电子减少并且会辐射。辐射的结果会产生一个连续的频谱称为轫致辐射，其特性为在短波长端有尖锐的截止。一个典型的频谱显示在图7-9。这种连续频谱可以由经典的电磁辐射理论解释或者量子力学，通过唤起
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5. X-射线和波尔理论                            133页
        强度（任意单位）

            波长单位（A0/？）
      图7-9
      钼的X-射线频谱。连续的频谱是轫致辐射。

光电效应。即，动能的变化给光子的频率提供上限，而在光电效应光子频率提供动能的变化提供一个上限。由于一个电子的初始动能的确定是由x-射线管上的电压，短波长截止列出为
           。。。？拉姆达（算式）=12,400/V，？。。。   （7.32）
这里V单位是伏特，而拉姆达r？是A0/？。 所以一个12千伏特的x-射线管具有一个大约1A0/？的截止频率。没有许多具有波长拉姆达r？的光子发射出来，因为大量的电子当停止在目标上时做了机械功，而且它们的动能的一大部分转换成了热量。方程式7.32提供了一种准确的方法来确定比值e/h?,由于绘出的图是vc？比V？是一条斜率为e/h？的直线。
叠加在连续频谱上的是少数几个离散尖峰其波长是目标材料的特性。这些的几个显示在示意图中。许多元素的特征x-射线频谱由摩斯利研究，他显示了一条已知线的频率从元素到元素变化为原子序数的平方。摩斯利的一些绘图数据显示在图7-10中。这种结果您会从波尔理论期望，如果原子序数Z包括在方程式7.18的哥伦布力项中。（见问题7-13.）
波尔理论解释了离散性和特征频谱的光子能量的幅度次数，通过假设这些光子的发射是内层电子壳转化的结果。如果，例如一粒高能量电子从一个目标的首层壳破壳而出，空缺会由第二个壳的一个转化过渡填充，或者第三层，或者更高层的壳。由于首层的电子通常称为
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第七章 原子的量子理论                       134页  
K？-电子，从第二层壳转化过渡到K？壳而发射的光子称为Ka？辐射，而由第三壳到K壳的转化过渡称为Kb？辐射，等等等等。第二层壳标记为L壳，第三M，等等类推，这样La？，Lb？,...,Ma?,Mb?,...辐射以类似的形式定义。
由于图7-10显示光子的能量正比于Z**2？，从第二到第一的铜（Z=29）的过渡转化会形成光子的发射具有能量大约为841次的氢的莱曼系列的最长线。这个估算给出了1.44A/0?为铜的Ka？线，而正确的值是1.54A/0?.由于波尔理论的缺陷对于包含较高层壳的过渡转化一致性不是很好，以及由于最内层壳的电子的原子电荷的重要的过滤效应。
一种通常与x-射线发射对比的过程是内部的光电效应或者螺旋钻效应。这里，x-射线的光子实际上不出现，但是相当数量的动能给了较外层的电子，其结果从原子弹射出去。
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例7-10
一根30,000伏特的x-射线管可以产生最短的波长是什么？
解答
  由方程式7.32给出最短的截止波长单位A0/?,拉姆达rc=12,400/v=12,400/30,000=0.41A0/.?
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例7-11
显示波尔的理论预测摩斯利的结果，即一条x-射线的特征频率正比于原子序数的平方。
解答
   如例7-8所示，如果Z？包含在波尔的一个参数内
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第七章 原子的量子理论                       136页
理论，那么方程式7.27成为
             。。。？hv=Z，？。。。
这里 n>k. 所以，
                    。。。？V=Z？。。。
如图7-10所示。
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小结 卢瑟福德和他的伙伴的工作积累在一个原子模型上其中原子的所有正电荷和大多数质量集中在直径为10**？？倍的原子直径上. 电气中性的达到是通过把的电子放在原子核外面的数量和原子核内部的质子数相同，并且这些电子的移动必须迅速以使原子稳定.波尔建议每个行星式移动的电子的轨迹是圆形的，其向心力是通过原子核与电子之间的库仑引力提供。或许波尔假设的最惊奇的之处是一个电子的相关的轨道角动量被量化单位为？h/=h/2pai?, 这里h/?是普朗克量子常数. 这个对于角动量可能值的限制导致原子能量的量化. 即角动量的离散级限制了离散值的轨道半径和能量.
波尔理论预测了氢和类氢的原子相当好，虽然对于非氢性的原子出现了严重缺陷.
另外有名的波尔假设，一个原子吸收或者发射一个光子发生的时间是一个电子在两个原子能量等级之间发生了过渡，这是一种辐射量子理论和物质量子理论之间的重要链接.           
            上述内容原文页码如附图所示，符合国际标准。               

                                  粤港澳大湾区         2020-07-14