MATLAB的线性代数和矩阵

在本节中，我们将介绍符号矩阵和matlab提供的工具，它用线性代数求解问题。

符号矩阵

符号矩阵和向量是数组，其元素为符号表达式，可用函数sym来产生。

>> A=sym( ' [a，  b，  c；  b，  c，  a；  c，  a，  b] ' )

A=

              [ a，   b，  c]

              [ b，   c，  a]

              [ c，   a，  b]

>> G=sym( ' [cos(t)， sin(t)；-sin(t)，cos(t)] ' )

G=

              [ cos(t)，  sin(t)]

              [-sin(t)，  cos(t)]

函数sym也可以扩展成定义各元素的公式。注意，只有在这种情况下，i，j分别表示行列的位置；且不影响i，j的缺省值(它代表 )。下面的例子建立了3×3的矩阵，其元素依赖于行和列的位置。

>> S=sym(3，3，' (i+j)+(i-j+s) ')  %  create a matrix using a formula

S=

  [      2/s，    3/(-1+s)，      4/(-2+s)]

  [1/(1+s)，           4/s，      s/(-1+s)]

  [4/(2+s)，     5/(1+s)，             6/s]

>> S=sym(3， 3， ' m '， ' n '， ' (m-n)/(m-n-t) ')  %  use m and n in another formula

S=

       [        0，     -1/(-1-t)，    -2/(-2-t)]

       [1/(1-t)，               0，    -1/(-1-t)]

       [2/(2-t)，       1/(1-t)，               0]

函数sym也可以把数值矩阵转换成符号形式

>> M=[1.1， 1.2， 1.3； 2.1， 2.2， 2.3； 3.1， 3.2， 3.3]  %  a numeric matrix

M=

       1.1000    1.2000    1.3000

       2.1000    2.2000    2.3000

       3.1000    3.2000    3.3000

>> S=sym(M)  %  convert to symbolic form

S=

    [11/10，    6/5，   13/10]

    [21/10，   11/5，   23/10]

    [31/10，   16/5，   33/10]

如果数值矩阵的元素可以指定为小的整数之比，则函数sym将采用有理分式表示。如果元素是无理数，则在符号形式中sym将用符号浮点数表示元素。

>> E=[exp(1) sqrt(2)]

E=

       2.7183    1.4142

>> sym(E)

ans=

       [3060513257434036*2^(-50)，      3184525836262886*2^(-51)]

用函数symsize可以得到符号矩阵的大小(行，列数)。函数返回数值或向量，而不是符号表达式。symsize的四种形式说明如下：

>> S=sym(' [a，b，c；d，e，f] ')  %  create a symbolic matrix

S=

     [a，b，c]

     [d，e，f]

>> d=symsize(S)  %  return the size of S as the 2-element vector d

d=

     2    3

>> [m，n]=symsize(S)  %  return the number of rows in m， and column in n

m=

     2

n=

     3

>> m=symsize(S，1)  %  return the number of rows

m=

     2

>> n=symsize(S，2)  %  return the number of columns

n=

     3

数值数组用N(m，n)形式来访问单个元素，但符号数组元素必须用函数如sym(S，m，n)来获取。若能用相同的句法当然好，但MATLAB符号表达式的表示不方便。在内部，符号数组表示成一个字符串数组；而S(m，n)返回单个字母。所以，符号数组的各个元素，必须由符号函数，如sym，来指定,而不是直接指定。

>> G=sym(' [ab，cd；ef，gh] ')  %  create a 2-by-2 symbolic matrix

G=

  [ab， cd]

  [ef ， gh]

>> G(1，2)  %  this is the second character of the first row of G

ans=

  a

>> r=sym(G，1，2)  %  this is the second expressinon in the first row of G

r=

  cd

记住，在上例中的符号矩阵G，实际是以2×7字符数组存储在计算机中。第一行为' [ab，  cd] '，所以第二个元素是' a '。

最后，sym可以用于改变符号数组的一个元素。

>> sym(G，2，2，' pq ')  %  change the (2，2) element in G from  ' gh '  to  ' pq '

ans=

  [ab，  cd]

  [ef，   pq]

代数运算

用函数symadd，symsub，symmul和symdiv，对符号矩阵可以执行许多通用的代数运算，用sympow可计算乘幂，用transpose计算符号矩阵的转置。

>> G=sym(' [cos(t)，sin(t0；-sin(t0，cos(t)] ')  %  create a symbolic matrix

G=

  [ cos(t)，  sin(t)]

  [ -sin(t)， cos(t)]

>> symadd(G， ' t ' )  %  add  ' t '  to each element

ans=

  [ cos(t)+t，     sin(t)+t]

  [ -sin(t)+t，    cos(t)+t]

>> symmul(G，G)  %  multiply G by G； Synpow(G，2) does the same thing

ans=

  [cos(t)^2-sint(t)^2，       2*cos(t)*sin(t)]

  [ -2*cos(t)* sin(t)，     cos(t)^2-sin(t)^2]

>> simple(G)  %  try to simplify

ans=

  [cos(2*t)，  sin(2*t)]

  [-sin(2*t)， cos(2*t)]

下面通过证明G的转置是它的逆来证明G是正交阵。

>> I=symmul(G，transpose(G))  %  multiply G by its transpose

I=

  [cos(t)^2+sin(t)^2，                        0]

  [                       0， cos(t)^2+sin(t)^2]

>> simplify(I)  %  there appears to be a trig identity here

ans=

  [1， 0]

  [0， 1]

正如所期望的那样，这是单位阵。

线性代数运算

用函数inverse和determ，可计算符号矩阵的逆阵以及行列式。

>> H=sym(hilb(3))  %  the symbolic form of the numeric 3-by-3 Hilbert matrix

H=

  [   1， 1/2， 1/3]

  [1/2， 1/3， 1/4]

  [1/3， 1/4， 1/5]

>> determ(H)  %  dind the determinant of H

ans=

  1/2160

>> J=inverse(H)  %  find the inverse of H

J=

  [   9，    -36，       30]

  [-36，   192，    -180]

  [ 30，  -180，     180]

>> determ(J)  %  find the determinant of the inverse

ans=

  2160

用函数linsolve求解齐次线性方程；这是等价于基本的MATLAB的逆斜杠算子的符号，linsolve(A，B)对X方阵求解矩阵方程A*X=B。回到以前的硬币问题：

黛安娜想去看电影，她从小猪存钱罐倒出硬币并清点，她发现：

   10美分的硬币数加上5美分的硬币总数的一半等于25美分的硬币数。

   1美分的硬币数比5美分、10美分以及25美分的硬币总数多10。

   25美分和10美分的硬币总数等于1美分的硬币数加上1/4的5美分的硬币数

   25美分的硬币数和1美分的硬币数比5美分的硬币数加上8倍的10美分的硬币数多1。。

象上次所做的那样，列出线性方程组，令p，n，d和q分别为1美分，5美分，10美分，和25美分的硬币数

重新以p，n，d，q的顺序排列表达式

p/2+n/2+d-q=0      p-n-d-q=-10         -p-n/4+d+q=0

              p-n-8d+q=1

接下来，列出方程系数的符号数组。

>> A=sym(' [1/2，1/2，1，-1；1，-1，-1，-1；-1，-1/4，1，1；1，-1，-8，1] ')

A=

       [1/2，    1/2，    1， -1]

       [   1，     -1，   -1， -1]

       [  -1，  -1/4，    1，   1]

       [   1，      -1，  -8，   1]

>> B=sym(' [0；-10；0；-1] ')  %  Create the symbolic vector B

B=

       [   0]

       [-10]

       [   0]

       [  -1]

>> X=linsolve(A，B)  %  solve the symbolic system A ' X=B for x

x=

       [16]

       [  8]

       [  3]

       [15]

结果是相同的，黛安娜有16枚1美分的硬币，8枚5美分的硬币，3枚10美分的硬币，15枚25美分的硬币。

其他特性

symop将其参量串接起来，并计算所得到的表达式。

>> f=' cos(x) '  %  create an expression

f=

       cos(x)

>> symop( ' atan( ' ，f， ' + ' ，a， ' ) ' ， ' ^2 ' )

ans=

       atan(cos(x)+a)^2

在用函数symop时，若将数组和标量混合应慎重。例如：

>> M=sym( ' [a b； c d] ' )

M=

       [a，  b]

       [c，  d]

>> symop(M， ' + ' ， ' t ' )

ans=

       [a+t，    b]

       [   c， d+t]

是把t加到M的对角线上。

函数charpoly求解矩阵的特征多项式。

>> G=sym(' [1，1/2；1/3，1/4] ')  %   create a symbolic matrix

G=

  [   1， 1/2]

  [1/3， 1/4]

>> charpoly(G)  %   find the characteristic polynomial of G

ans=

  x ' 2-5/4*x+1/12

用函数eigensys可以求得符号矩阵的特征根和特征向量

>> F=sym(' [1/2，1/4；1/4，1/2] ')  %   create a symbolic matrix

F=

  [1/2，1/4]

  [1/4，1/2]

>> eigensys(F)  %   find the eigenvalues of F

ans=

  [3/4]

  [1/4]

>> [V，E]=eigensys(F)  %   find eigenvalues E and eigenvectors v

V=

  [-1， 1]

  [ 1， 1]

E=

  [1/4]

  [3/4]

矩阵的约当(Jordan)标准型是特征值的对角矩阵；转换矩阵的列是特征向量。对于给定的矩阵A，  jordan(A)求出非奇异的矩阵V，使得inv(V)*A*V成为约当标准型，函数jordan有两种形式

>> jordan(F)  %   find the Jordan form of F ，above

ans=

  [1/4，     0]

  [   0， 3/4]

>> [V，J]=jordan(F)  %   find the Jordan form and eigenvectors

V=

  [ 1/2， 1/2]

  [-1/2， 1/2]

J=

  [1/4，     0]

  [   0，  3/4]

标准形和特征向V的列是某些F可能的特征向量。

因为F是非奇异的，F的零空间的基是空矩阵，而列空间的基是单位阵。

>> F=sym( ' [1/2，1/4；1/4，1/  2] ' )  %   recreate F

F=

       [1/2， 1/4]

       [1/4， 1/2]

>> nullspace(F)  %  the nullspace of F is the empty matrix

ans=

       []

>> colspace(F)  %  find the column space of F

ans=

       [1，  0]

       [0，  1]

用函数singvals可求解矩阵奇异值。

>> A=sym(magic(3))  %  Generate a 3-by-3 matrix

A=

       [8， 1， 6]

       [3， 5， 7]

       [4， 9， 2]

>> singvals(A)  %  find the singular expressions

ans=

       [15.00000000000000]

       [6.928203230275511]

       [3.464101615137752]

函数jacobian(w，v)可相对于v求解w的雅可比(Jacobia)值。其结果的第(i，j)项是df(i)/dv(j)。注意，当f是标量时，f的雅可比值是f的梯度。

>> jacobian( ' u*exp(v) ' ，sym( ' u，v ' ))

ans=

       [exp(v，u*exp(v)]

22.10  小结

下列各表(表22.2-表22.8)综合了符号数学工具箱的特性：

表22.2

表22.3

表22.4

表22.5

表22.6

表22.7

表22.8