控制系统的数学模型

第二章   控制系统的数学模型
2-1   引言
2-2   微分方程的建立及线性化
2-3   传递函数
2-4   结构图
2-5   信号流图
2-1  引言
一.数学模型
1.定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。
2.为什么要建立数学模型：我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。

    另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。
     比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。

3.表示形式   a.微分方程
                           b.传递函数
                           c.频率系统

    同一个系统，可以选用不同的数学模型，研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。
4.建立方法
    目前工程上采用的方法主要是
   a.分析计算法
     分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型——适用于简单的系统。

b.工程实验法
     工程实验法：它是利用系统的输入--输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的 情况下，采用这种建模方法。

     化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。
二.线性系统
1.定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统。
     线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。

    非线性元件：不具有迭加性和齐次性的元件称为非线性元件。
    如果元件输入为r（t）、r1（t）、r2（t），对应的输出为c（t）、c1（t）、c2（t）
     如果r（t）=r1（t）+r2（t）时，c（t）=c1（t）+c2（t）    满足迭加性
    如果r（t）=a·r1（t）时，c（t）=a·c1（t）   满足齐次性
    满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。

     线性系统重新定义：若组成系统的各元件均为线性元件，则系统为线性系统。
     线性方程不一定满足迭加性和齐次性。
      例如y=kx是线性元件
       输入x1?y1输出
                x2?y2
          输入x1 ＋x2 ? 对应输出y1 ＋ y2 ?满足迭加性
       k为常数， kx1?ky1 ?满足齐次性

    y=kx+b(b为常数?0)?线性方程，所表示的元件不是线性元件.
     为什么呢？
      输入x1?y1输出      y1＝kx1+b
                x2?y2                   y2 =kx2+b
       输入x1 ＋x2?输出y=k(x1 ＋x2)+b
                   =k x1 +kx2+b? y1 +y2不满足迭加性
       k为常数:kx1?输出y=k(kx1)+b=k2x1+b
       ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb

?y?ky1不满足齐次方程。
?所表示的元件不是线性元件。
又例如：元件的数学模型为：  

2.重要特点：对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。
    迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。
    齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。
2-2  微分方程的建立及线性化
一.微分方程的建立
    微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。

例1.机械平移系统   求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。

首先确定：输入F(t),输出x(t)
其次：理论依据
1.牛顿第二定律    物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积   
2.牛顿第三定律    作用力等于反作用力,现在我们单独取出m进行分析，这里不考虑重力的影响。