陷波器设计

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陷波器设计
陷波器是无限冲击响应(IIR)数字滤波器，该滤波器可以用以下常系数线性差分方程表示：
ΣΣ==???=MiNiiiinybinxany01)()()( (1)
式中： x(n)和y(n)分别为输人和输出信号序列；和为滤波器系数。 iaib
对式(1)两边进行z变换，得到数字滤波器的传递函数为： ΠΠΣΣ===?=???==NiiMiiNiiiMiiipzzzzbzazH1100)()()( (2)
式中：和分别为传递函数的零点和极点。 izip
由传递函数的零点和极点可以大致绘出频率响应图。在零点处，频率响应出现极小值；在极点处，频率响应出现极大值。因此可以根据所需频率响应配置零点和极点，然后反向设计带陷数字滤波器。考虑一种特殊情况，若零点在第1象限单位圆上，极点在单位圆内靠近零点的径向上。为了防止滤波器系数出现复数，必须在z平面第4象限对称位置配置相应的共轭零点、共轭极点。 izip?iz?ip
这样零点、极点配置的滤波器称为单一频率陷波器，在频率ωo处出现凹陷。而把极点设置在零的的径向上距圆点的距离为l-μ处，陷波器的传递函数为： ))1()()1(())(()(2121zzzzzzzzzHμμ??????= (3)
式(3)中μ越小，极点越靠近单位圆，则频率响应曲线凹陷越深，凹陷的宽度也越窄。当需要消除窄带干扰而不能对其他频率有衰减时，陷波器是一种去除窄带干扰的理想数字滤波器。
当要对几个频率同时进行带陷滤波时，可以按(2)式把几个单独频率的带陷滤波器(3)式串接在一起。
一个例子：设有一个输入，它由50Hz信号和100Hz信号组成。50Hz是一个干扰信号，要设计一个50 Hz的带陷滤波器，采样频率为400Hz。
4/400/5021ππω=×=
因此z平面上的零极点可设置为
4/14/1999.0ππjjepez±±==
展开式为 70637064)707.0707.0(999.0)4sin4(cos999.0999.0707.0707.022224sin4cos4/14/1jjjepjjjezjj±=±=±=±=±=±=±±ππππππ＝＝
它的传递函数为
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2121221111999.04126.11414.11999.04126.11414.1)7063.07063.0)(7063.07063.0()707.0707.0)(707.0707.0())(())(()(??????+?+?=+?+?=+???+???=????=zzzzzzzzjzjzjzjzpzpzzzzzzH
因此分子系数是[1 1.414 1]；分母系数是[1 1.4126 0.999]。
差分方程有
)2()3()1()2()2()3()1()2()()()2()3()1()2()()2()3()1()2()(?????+?+=∴?+?+=?+?+nyanyanxbnxbnxnynxbnxbnxnyanyany
程序清单有
% 50Hz notch filter
% sample frequency=400
%
clear all;
clc;
b=[1 -sqrt(2) 1];
a=[1 -sqrt(2)*0.999 0.999];
[db, mag, pha, grd, w]=freqz_m(b, a);
subplot(221); plot(w*200/pi, db); title(' Magnitude Response' );
xlabel('frequency in Hz'); ylabel('dB'); axis([0, 100, -200, 5]);
set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick', [0, 50, 100]);
set(gca, 'YTickmode', 'manual', 'YTick', [-200, -100, 0]); grid
title('Notch filter response');
t0=1:8000;
t=1:256;
t1=1:100;
t2=1:128;
x=sin(2*pi*50*t0/400)+0.5*sin(2*pi*100*t0/400);
x1=x(t);
y=filter(b,a,x1);
subplot(222); plot(x1);
title('Original waveform');
X=fft(x1);
subplot(223); plot(t2*400/256,abs(X(t2)));
xlabel('frequency in Hz'); ylabel('|H|'); axis([0, 200, 0, 150]);
title('Spectrum for original');
set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick', [0, 50, 100, 150]);
set(gca, 'YTickmode', 'manual', 'YTick', [50, 100]); grid
y=filter(b,a,x);
x1=y(t+7600);
X=fft(x1);
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subplot(224); plot(t2*400/256,abs(X(t2)));
xlabel('frequency in Hz'); ylabel('|H|'); axis([0, 200, 0, 150]);
title('Spectrum after filter');
set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick', [0, 50, 100, 150]);
set(gca, 'YTickmode', 'manual', 'YTick', [50, 100]); grid
figure(2);
subplot(611);plot(x(t1)); axis([1, 100, -1.5, 1.5]); ylabel('input x');
set(gca, 'YTickmode', 'manual', 'YTick', [-1,-0.5,0, 0.5,1]); grid
subplot(612);plot(y); axis([1, 100, -1.5, 1.5]); ylabel('first');
set(gca, 'YTickmode', 'manual', 'YTick', [-1,-0.5,0,0.5,1]); grid
subplot(613);plot(y); axis([401, 500, -1.5, 1.5]); ylabel('second');
set(gca, 'YTickmode', 'manual', 'YTick', [-1,-0.5,0, 0.5,1]); grid
subplot(614);plot(y); axis([1201, 1300, -1.0, 1.0]); ylabel('forth');
set(gca, 'YTickmode', 'manual', 'YTick', [-0.5,0, 0.5]); grid
subplot(615);plot(y); axis([2000, 2100, -1.0, 1.0]); ylabel('sixth');
set(gca, 'YTickmode', 'manual', 'YTick', [-0.5,0, 0.5]); grid
subplot(616);plot(y); axis([3601, 3700, -1.0, 1.0]); ylabel('tenth');
set(gca, 'YTickmode', 'manual', 'YTick', [-0.5,0, 0.5]); grid
figure(3);
subplot(611);plot(y); axis([4401, 4500, -1, 1]); ylabel('twelfth');
set(gca, 'YTickmode', 'manual', 'YTick', [-0.5,0, 0.5]); grid
subplot(612);plot(y); axis([5201, 5300, -1.0, 1.0]); ylabel('fourteenth');
set(gca, 'YTickmode', 'manual', 'YTick', [-0.5,0, 0.5]); grid
subplot(613);plot(y); axis([6001, 6100, -1.0, 1.0]); ylabel('sixteenth');
set(gca, 'YTickmode', 'manual', 'YTick', [-0.5,0, 0.5]); grid
subplot(212);plot(y); axis([7601, 7650, -1.0, 1.0]); ylabel('twentieth');
set(gca, 'YTickmode', 'manual', 'YTick', [-0.5, 0, 0.5]); grid
滤波器频响，输入和输出的谱图
滤波器的输出波形，用了20秒的时间，下图中Y轴的序数字表示第几秒的输出波形。从图中看出差不多14秒后才消除了50Hz的影响。

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