四元数复数向量分析概念及其在四轴机飞控上的应用实例示意

本帖最后由 ygpotsyyz 于 2020-8-4 08:54 编辑

四元数复数向量分析概念及其在四轴机飞控上的应用实例示意
向量和向量分析的历史梗概之一，二：四元数即复数的定义及其发展应用
在数学的历史上，针对哲学以及数学难题,复数起了重要的作用。
它们的必要性出现在求解例如X2+1=0 的方程式; 但是一个“数”
的平方是负值的思想，非常的令人不合口味。当用几何法解释时，复
数会更变得更容易接受。
卡斯帕·韦塞尔(Caspar Wessell) (1745-1818),一位挪威勘测
员，吉恩-罗伯特·阿甘(Jean-Robert Argand)（1768-1822)，一位
瑞士图书管理员， 和卡尔· 弗里德里希· 高斯
(Karl Friedrich Gauss)（1777-1855），一直是一位伟大的数学
家，给了复数几何解释。一个复数x+iy 可以想象为平面中的一个点
（现在常常被称作阿甘（Argand）平面）。乘以i 对应于逆时针旋转
90°，由于i(x+iy)=-y+ix 与（-y，x）匹配，如图215 所示。为此，
纯实数绘画在水平（实数）轴上，纯虚数（实数的乘数i）画在垂直
（虚）轴上，并且数字a+ib 做为点（a，b）， 或者是从（0,0）到
（a，b）的箭头。不久就发现这样的设置在一个平面里表示向量很有
用，同时，事实上，复数可以通过平行四边形法则相加。
        。。。 ？（示意图）？。。。
        图215。乘以i 做90°旋转。
在1830 年代初，向量通常用复数表达。这里，“向量”表示力。
可是由于，力不一定局限在一个平面内，如何常规化到三维空间的问
题出现了。
由于历史背景，重点放在了数字方面，以及问题成为常规化复数
到三维空间。这个问题被威廉· 卢云· 哈密顿
（William Rowan Hamilton)（1805-1865）求解，他提出了一种四
元数形式的答案。
一个四元数的“数”的格式是
a+bi+cj+dk
(使用现代的表达法）。可以明显地把四元数相加； 例如，
（2+3i+4j-6k)+(-1+2i-8j+16k)=1+5i-4j+10k.
可是，在做四元数的“乘法”时，哈密顿使用了规则
jk=i, ki=j, ij=k, kj=-i, ik=
-j, ji= -k,
以及i2=j2=k2= —1.
今天我们认为这些为单位向量的叉积项,除了最后三项之外它反
映了方程i2=-1, 为虚数单元i.
哈密顿相信四元数最终会给物理法则的数学表达提供自然的交
通工具。在这一点上结果他是不对的，而且今天四元数基本上是用在
抽象的代数里。
在哈密顿开始公开他的四元数观点不久，有关哈密顿对它们的主
张，在科学家们之间引发了争议。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦
（James Clerk Maxwell)（1831-1879），英国剑桥大学的一位物
理学教授， 他推导出了电磁场的基础方程，在他的思想中分离了四
元数中的尺度和向量部分。因此，注意力集中在了表达式ai+bj+ck,
或者向量式象我们所了解它们的一样。
麦克斯韦是首位使用了术语一个向量的旋转（rotation（curl）），
与流体运动中的旋涡（swirl）关联。他还介绍了他称作的拉普拉斯
运算符，
        。。。？(偏微分方程运算符)。？。。。
麦克斯韦进一步注释了恒等式（散度（盘旋））（div（curl））=0，
及盘旋（刻度）（curl（grad））=0）.
英国伦敦皇后学院的威廉· 金顿· 克利福德
（William Kingdon Clifford)（1845-1879），明显地创始了一个
向量的散度（divergence)的术语。
有关四元数对向量的争议结果的疑问一直提到美国耶鲁大学的
约西亚?威拉德?吉布斯（Josiah Willard Gibbs)（1839-1903）出
版的著作为止。他的书向量分析（Vector Analysis），于1901 年
由埃德温· 比德威尔· 威尔逊（ Edwin Bidwell Wilson )
（1839-1903）书写，但是基于吉布斯的讲义，有助于向量表达和代
数的流行。对建立向量的使用有影响的第二本书是奥利弗·黑维塞
（Oliver Heaviside）的电磁理论（Electromagnetic Theory），
书的第一卷包含有向量代数。黑维塞(1850-1925)起先是一位电气工
程师，但是他还帮助开发了拉普拉斯变换（Laplace transform）。
今天我们认为在积分定理中的向量微积分的主要成果是以高斯
(Gauss)，格林(Green)，和斯托克斯(Stokes)命名的。散度定理
（divergence theorem），流行由高斯命名，几乎同时独立地由俄
国人米歇尔·奥斯特格拉茨基(Michel Ostrogradsky)（1801-1861）
于1831 年出版发行。在俄国，该定理被称为奥斯特格拉茨基定理。
斯托克斯勋爵（Lord Stokes）的定理明显地首次出现于1850
年， 一封由开尔文勋爵(Lord Kelvin)( 威廉· 汤普森
（William Thompson）爵士（1824-1907）， 以他的静电学和热传
导著称）,写给斯托克斯的信中。英国剑桥大学数学教授乔治·加百
利·斯托克斯（Sir George Gabriel Stokes（1819-1903）爵士，
把这个以他的名字命名的公式作为一个考试中的问题放入了史密斯
奖（Smith Prize）。为此，定理不一定总是命名给它们的发现者，
或者总会不明确哪位首先陈述了一个结果。
沿着同样的思路，格林的定理可能会命名错了。乔治·格林
（George Green）（1793-1841）原先是一位对电磁学感兴趣的自学
成才的数学家。在给这个科目应用势能理论的课程中，他开发了今天
知名的格林公式（ Green's formulas ） 或者格林恒等式
（Green's identities )（见11.11 节）。这些也是由奥斯特格拉
茨基于1828 年呈现给了俄国圣彼得堡科学院
(St. Peter***urg Academy of Sciences)。有时我们称以格林
（根据现代流行的传统）命名的定理为格林引理（Green's lemma）。
（摘自：工程应用数学（Mathematics for Engineering Application），Scotland UK）
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第十九章复数分析的一些应用应用数学， 1044 页
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一些复数分析历史的解释
接收复数作为一种代数和分析的合法工具只是在数学家们之间经过了大量的矛盾和争执之后。
例如早在1770 年,伟大的瑞士数学家雷纳德.欧拉(1707-1783)写道,“由于所有设想的数据均是或
者大于零或小于零，或等于零，那么很明确可能的数字之中的负数不能开二次方”。他继续引申到
我们所知，或幻想的负数是可能的。
可是，这样的数一直有出现在一些问题的解决方案之中； 例如，在求解多项式的根时。早在1799
年卡尔费雷德李琦高斯（1777-1855）首先给出了他的许多有关代数的基础定理的证明，并且这都
取决于多项式的复数根的存在。
这一演变慢慢地延续了许多年而且来源不断。卡斯帕韦塞尔（1745-1818）曾经是一位瑞典航海家
于1797 年，在一篇文章中写道名为“一种意图，方向的分析式表达”。于中，他抓住了在平面内
以复数表示点并且以平行法则把它们相加。这项工作被疏忽了一直到1897 年， 但是他指出这种
思想若在空间是多么的珍贵，并且它的时代即将来临。
早在1806 年， 一位图书收藏家，让-罗贝尔·阿尔冈（1768-1822），在一本小册子里写出了复数
的几何表达法。事实上虽然我们有时参照复数平面为阿尔冈示意图，主要的荣誉归功于高斯，他是
当时有名的杰出数学家。到了1815 年明确高斯彻底理解了复数的几何，并且到1830 年代可以随意
书写它了。
有关复数的函数和积分的问题开始由高斯和西莫恩·德尼·泊松（1781-1840）提出。泊松起初在
新近开发的傅里叶系列工作，但是他也是首位在复数平面延轨迹路径进行积分的。可是它留给了
柯西，至今还带有他的名字的许多复数函数和积分的公式和分析。
奥格斯丁路易斯柯西（1789-1857）出生于法国巴黎，成长为一位教授，在索邦巴黎综合理工大学，
和法兰西公学院。他做出了重要的贡献在弹性媒体和光的理论的波的力学中，但是他的最重要的工
作还是在数学，这里他写出了七百多篇的文章（仅次于欧拉）。他的个人生活收到了他的皇家的
同情者的影响，而且在一次法国政治动荡中他支持了波旁王朝。拿破仑三世在当时的所有声张中
原谅了他，可能认识到柯西当时是杰出的数学家的地位。柯西报答从索邦来的工资给贫穷的西克
丝，那是他但是居住的城镇。
早在一系列的文章中，1814 年到1840 年代早期， 柯西公式化了他的积分定理和它的一些结果，
包括轨迹路径的独立解释，并且抓住了残余定理的极和残值的思想。他还
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章节19 复数分析历史的一些解释应用数学1045页
（续1045 页）工作在指数系列和多值函数。（这时非常有意思注意到极性被认为是奇性，基础的
奇性为后来者）。   
皮埃尔·阿方斯·洛朗（1813-1854）早于1843 年开发了他的系列。由德国数学家卡尔魏尔斯特拉
斯（1815-1897）获知结果，但是他没有公开发表它。魏尔斯特拉斯研究了函数的系列表达法并注
入了他对该主题的个人特色的精力。
在此结束，我们应该提到乔治·弗里德里希·伯恩哈德·里曼（1826-1866），他可能有比所有的
其他数学家都多的名字命名数学的结果和设想。里曼的大多数工作的范围都超出了我们的基础的处
理，但是他的名字出现在与柯西的基础柯西-里曼方程式。里曼也是第一位实现代尔塔z 必须允许
接近零值，沿着任何轨迹路径逼近在极限中定义复数的微分。
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多旋翼机飞行器，四轴机飞控概念示意图，
四元数向量飞控状态流程示意图，实时输入变量：1. Gyroscopes=陀螺仪，2. Airspeed=空气速度，3. Accelerometers=加速度计，4. 实时输出变量， Quaternion=四元数，实时多变量输入前反馈复合动态控制输出模式。
飞控方位右手定律示意和无人机飞控实况示意,
Pitch=升降，Yaw=偏向，Roll=侧翻
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四轴机，



旋翼机1，

飞控方位向量，Pitch，Yoll，Roll



旋翼机2，


四元数向量飞控逻辑框图

内容与附图页码一致：

          大湾区
                     2020-8-4  

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