迈入量子力学大门之前
进一步温习先驱大师给出的计算公式和图表（四（续））
（注1：此文本内容中的所有特殊的字符号算式图表编号以下附原文图表为准，所引用的意思及其读音，参照国际标准。）
先驱大师们设立了量子力学为当今的量子计算和通讯奠定了基础指明了方向。
附录 A 极坐标里的速度与加速度
考虑一下如图A-1所示中一个粒子沿一条轨迹运动。当粒子在点P的瞬间，它的位置可以用位置向量标记，r->=rr>,从选为坐标原点的如何点画到点P（r，o-）.
图A-1
极坐标中的位置向量。
这里r<是在r->f方向的一个单位向量，并且0《是一个单位向量垂直于r-》在增加的极坐标角0-方向。由于r-《会随时间在幅度和反方向上都变化，则r《和0-《会随时间变化反方向。 为了找到这些时间导数，让我们看一下图A-1。 在（a）中我们看到r《的变化可以写为|dr<|=|r<|d0-=d0-. (A.1)
由于dr《明显是在0-《方向，我们则得到
和 （A.2）
(a) (b)
图A-2 单位向量方向的无限小变化。
从（b）我们写出
|d0<|=|0-<|d0-=d0-. (A.3)
但是d0-<如图示指向原点。 所以，
和 （A.4）
现在我们准备好获得r->的时间导数。所以
r=rr<,
r= ,..... (A.5)
这里使用了方程式A.2. 方程式A.5的第一项是位置向量r->的径向速度，而第二项是角速度。
如果我们现在取位置向量的二次时间导数， 我们得到
（A.6）
方程式A.6的第一和第二项是径向和角加速度，相对于位置向量r->.
原文278，279页如下图所示：
附录 B 卢瑟福散射方程式
图B-1
卢瑟福散射.
卢瑟福散射是一种散射发生时粒子有相同的符号轨迹和散射中心都在变化。即，粒子之间的相互作用单纯是哥伦布排斥力。 由于这个原因“哥伦布散射”和“卢瑟福散射”术语交替使用。
考虑质量m和电荷ze的一个轨迹作用在一个固定的散射中心，例如电荷为Ze的一个原子核。对于z和Z都是正的，哥伦布排斥会散射作用粒子沿一条双曲线的轨迹，如图B-1.所示。由于对于一个中心力关于任何点的角动量是常数， 我们列出
mv0s=mr20-=常数， （B.1）
这里原子核选为参考点。从B.1我们得到
r0-2=s2v02/r3. （B.2）
运动方程式的径向部分是
F(r)=m（r..-r0-.2）, (B.3)
这里我们使用了方程式A.6的径向项。中心力单纯是哥伦布力，所以方程式B.3成为
kzZe22/r2=m（r..-r0-.2）. (B.4)
原文280页如下图所示：
通过替代r=1/u方便地改变变量。然后，从方程式B.1,
0-.=sv0u**2. (B.5)
使用微分的链式规则，
。。。。。。。。。。 （B.6）
和 。。。。。。。。。。 （B.7）
替代这些表达式到方程式B.4, 我们得到
kzZe**2/ms**2v0**2=-u-d**2u/d0-**2. （B.8）
在正撞得碰撞情形下习惯性地定义碰撞半径D为接近的最近距离。即，D是从目标的距离，此时所有的轨迹动能都转变为静电势能。 然后， D=2kzZe**2/mv0**2，
并且轨迹的方程式成为
d**2u/d0-**2+u=-D/2s**2. (B.9)
这个方程式的解答是
u=Acos0-+Bsin0--D/2s**2, (B.10)
但是为了估算未知参数我们必须使用问题的边界条件。这些边界条件是：
（1） 。。。。。。。
（2） 。。。。。。。
（3） 。。。。。。。
把第一替代到方程式B.10，我们得到
0=Acospai+Bsinpai-D/2s**2,
或者 A=-D/2s**2. (B.11)
把第二个条件替代到方程式B.6,告诉我们是
（du/d0-)0-=pai=-1/s. (B.12)
把这些结果放入方程式B.10的导数， 我们得到
（du/d0-)0-=pai=-Asinpai+Bcospai=-B=-1/s,
或者 B=1/s. （B.13)
原文281页如下图所示：
如果我们联合方程式B.11和B.13在B.10方程式中，我们的答案成为
u=1/s sin0--D/2s**2(1+cos0-). (B.14)
现在我们会使用第三个边界条件，它包含散射角0-。把它替代到B.14,
0=1/s sin0--D/2s**2(1+cos0-),
从此我们见到是
s=D/2 ........... (B.15)
方程式B15是我们要找的结果，由于它给出了关系参数s和散射角0-**1之间。如章节7所示，从这里是如何得到微分散射截面的。
附录C 傅里叶积分和变量增量函数
任何周期性函数，例如f（t+T）=f（t），可以用正弦和余弦项扩展，条件是f（t）在整个扩展区间是分段连续并接可微分。如果扩展的区间包括周期的端点，那么我们还要另外假设在每个端点的f（t）值是左右端点值的算术平均值。 那么， 在区间-（T/2）<=t<=T/2,
f(t)=。。。。。。。。。。。。（C.1）
这里 an=2/T。。。。。。。，
bn=。。。。。。。。，
wn=2pain/T.
原文282页如下图所示：
这可以通过欧拉恒等式的方法列出更方便的形式：
f（t）=。。。。。。。。。。。。（C。2）
这里cn=1/2（an-ibn）， cn*=c-n和wn=-w-n。
期望扩展区间从T到00,这样非周期函数也能过以正弦和余弦扩展项表示。这样做我们必须附加要求积分-00~00|f（t）|dt的存在。我们从新列出C.2方程式的格式
f（t）=。。。。。。。， （C.3）
并且在达到极限之前我们必须消掉因子1/T。由于n局限到积分值， Aw=。。。。。。。。。，
或者 1/T=Aw/2pai (C.4)
替代方程式C.4入C.3,
f(t)=1/2pai00Zn=-00。。。。。。.
在极限中如T-->00,频率连续而不是离散分布，并且
f（t）=1/2pai。。。。。。,
如果积分是绝对收敛的。 傅里叶积分列的更为接近对称的格式，通过如下定义一个函数g（w）：
f（t）=。。。。。。。。}
和 g（w）=。。。。。。。。} (C.5)
函数f（t）和g（w）称为相互的傅里叶变换。任何有理表现良好的函数f（t）可以表示为调谐函数的一个叠加具有连续的变化频率和权函数g（w）。相反地，g（w）可以用一个和谐时间函数的叠加来表示，每个函数由权因子f（t'）相乘。
原文283页如下附图所示：
上述扩展项是在时间-频率域。明显模拟的扩展可以在正-波-向量域得到，或者更便于称为坐标动量域。物理学上这意味着我们的初始点是一个空间周期函数，
u/(x+L)=u/(x),
其傅里叶扩展时是
u/（x）=00Zn=-00cneikn**r，
这里 cn=1/LL/2~-L/2u/(x')e-i。。。。。.
沿着之前相同的步骤，我们消掉因子1/L在取极限L-->00之前，通过器件Akn~2pai/L和1/L~Akn/2pai. 结果是：
u/(x)=。。。。。。。}
0/（k）=1/。。。。。} （C.6）
方程式C.6方便地普及到如何维数。 例如，
u/(r)->=(1/2pai)3/200~~~-00。。。。}
0/（k）->=(1/2pai)3/200~~~-00。。。} （C.7）
这里r->有
元件（x，y，z），k->有元件（kx，ky，kz），dr->=dx dy dz,并且dk->=dkxdkydkz.也可能结合时间因子列出u/（r->,t）=u/(r->)e-iwt,
但是可以缺省掉时间直到有特殊要求。
对狄拉克变量增量函数的需求自然来自傅里叶积分。假设我们在方程式C.6中替代0/（k）入u/(x):
u/(x)=1/2pai00~-00dk。。。。。.
互换积分的次数，
u/(x)=1/2pai00~-00dx'u/(x')。。。。.
现在定义变量增量函数，
d（x-x'）=1/2pai。。。。。. (C.8)
变量增量函数具有下列特性：
d（x-x'）=0， 如果x'=/x.
b~ad(x-x')dx'={0,如果x>b或者如果x
{1,如果a
原文284页如下附图所示：
由于变量增量函数除非在奇特点到处是零，对一个积分的唯一贡献发生在那个点上。然后，使用方程式C.8,
u/(x)=00~-00。。。。。。。。.
所以变量增量函数可以认为是一个尖状物函数具有单位但是仅仅在一点是非零幅值。当对整个空间积分时，它的效果是获得剩余的积分因子在奇特点上。
常常便于把原点置于奇特点上，在此情形下变量增量函数可以列为
d（x）=1/2pai00~-00dkeikx.
获得变量增量函数的另一种定义可以如下积分获得：
d（x）=lima->001/2pai。。。。。， （C.9）
这里a是正实数。让我们验证大小x两者对这个函数的特性。首先，考虑极限x趋于零：
limx->sinax/paix=a/pailim。。。=a/pai.
所以，d（0）=lima-00a/pai->00,或者在奇异处幅度成为无限。对于大的|x|,sinax/paix以2pai/a周期震荡，并且当1/|x|时幅度下降。 但是当极限a-->00时， 周期变得无限窄，以致函数变得到处都是零，除了在奇异点的无限尖的无限小的宽度。现在保持显示方程式C.9的积分在整个空间是统一的：
00~~-00lima->sinax/paixdx=lima->002。。。=1.
这就建立了方程式C.9的有效性做为变量增量函数的一种表达。
原文285页如下附图所示：
附录E 高斯的可能性积分和其它
原文289页如下图所示：
（注2：上述此文本内容中的所有特殊的字符号算式图表编号以下附原文图表为准，所引用的意思及其读音，均参照符合国际标准。）
从上述如此复杂程度的算式描述定义，可见一斑，现代的量子力学发展，和领略到量子通讯与计算的强大迅猛。与我们较前传统的计算与通讯模式，以单纯的布尔代数（bit（比特），位， 0，1，两态，flip-flop（翻转））为基础的逻辑数学运算有很大的不同，各有千秋！
多多赐教，指导！ 谢谢！
2020-7-3 新广州
