FPGA设计中必须掌握的Cordic算法

大多数工程师在碰到需要在 FPGA 中实现诸如正弦、余弦或开平方这样的数学函数时，首先会想到的是用查找表，可能再结合线性内插或者幂级数（如果有乘法器可用）。不过对这种工作来说，CORDIC 算法是工具库中最重要的工具之一，只是鲜有工程师知晓。

CORDIC 的意思是坐标旋转数字计算机，是 JackVolder 在 1959 年为康维尔公司 (Convair) B-58A“盗贼”项目设计新的导航计算机时发明的。这是一种设计用于计算数学函数、三角函数和双曲函数的简单算法。

这种算法的真正优势在于只需要采用极小型的 FPGA封装就可以实现它。CORDIC 只需要一个小型查找表，加上用于执行移位和加法的逻辑。重要的是这种算法不需要专门的乘法器或除法器。

这种算法是 DSP 以及工业与控制应用最有用的工具之一，其最为常见的用途是实现如表 1 所示的传统数学函数，可在器件缺少专用乘法器或 DSP 模块的情况下提供器件所需的乘法器、除法器或更有意义的函数。举例来说，设计人员在众多小型工业控制器中使用 CORDIC 来实现数学传递函数和真正的 RMS 测量。工程师也在生物医学应用中使用 CORDIC 来进行快速傅里叶变换 (FFT) 计算，以分析多种生理信号的频谱。在本应用中，结合传统的数学函数，设计人员使用 CORDIC 实现 FFT 旋转因子。

CORDIC 详解
CORDIC 算法可以采用线性、圆或双曲线三种配置中的任何一种进行运算。而对于每种配置，算法又可以在旋转或向量任一模式下执行。在旋转模式下，输入向量按一定的角度旋转，而在向量模式下，算法将输入向量旋转到 X 轴，同时记录旋转角度。

另外，可以从 CORDIC 的输出求出其它函数。许多情况下，甚至可以使用另一个配置截然不同的 CORDIC来实现这些函数，如下所示：

下面的统一算法涵盖了 CORDIC 的所有三种配置。该算法有 X、Y 和 Z 三种输入。表 2 是根据配置预先计算的查找表值，表 3 则是根据运算模式（向量或旋转）在启动时的初始化方式。

其中m表示双曲线（m=-1），线性（m=0）或旋转（m=1）配置。ei 值则为不同配置下的对应的旋转角度。ei 值一般在FPGA 中通过小查找表实现，如表 2 所示。

在这个等式中，di 为旋转方向，这取决于运算模式。在旋转模式下，如果 Zi < 0，则 di = -1，否则 di = +1；在向量模式，如果 Yi < 0，则 di = +1，否则 di = -1。

在圆函数旋转模式或双曲线旋转模式下，输出结果将有增量，这部分增量可以通过下面等式中定义的旋转次数来预先求得。

这部分增量一般反馈到算法的初始设置中，以免对结果进行后缩放。

设计人员在工作时必须牢记 CORDIC 算法只能在严格收敛域内运算。可能需要进行一定的预缩放，以确保其能够按预期执行。需要指出的是，决定执行的迭代（串行）或级数（并行）的次数越多，得到的运算结果就越准确。经验法则告诉我们，如果需要 n 位的精度，就需要进行 n 次迭代或 n 个级数。不过在横切代码前，所有这些都可以采用诸如 Excel 或 matlab® 等简易工具轻松完成建模，从而确保能够用选定的迭代次数得到精确的结果。

根据定义，CORDIC 算法只能在有限的输入值范围内收敛（工作）。对采用圆函数配置的 CORDIC 算法而言，只要角度不大于查找表中的角度之和（即在 -99.7°到99.7°之间）即可保证收敛。对大于这个范围的角度，必须使用三角恒等式将其转换为这个范围内的角度。采用线性配置时，其收敛亦如此。但是，要实现双曲线配置下的收敛，必须重复进行一定数量的迭代（4、13、40、K…3K+1）。在这种情况下最大输入值 θ 约为 1.118 弧度。

CORDIC 应用

在横切代码前，建立 CORDIC 算法模型最直观的方法之一是填制简单的Excel 数据表。这样可以先用浮点数系统，再用可扩展的定点数系统为迭代次数和增量（An）建模，以便为仿真过程中的代码验证提供参考。

从表 4 的 Excel 模型中可以看到，将初始的 X 输入设为 An，可以减少结果后处理工作量。初始自变量设为 Z，单位为弧度，和结果一样。

实现 CORDIC
如果没有其他更好的选择，在 FPGA中实现 CORDIC 算法的最简单方法就是使用像赛灵思 CORE Generator®这样的工具。CORE Generator 提供了全面的接口，供用户定义 CORDIC的确切功能（旋转、向量等），如图1 所示。

令人遗憾的是，CORE Generator 不提供 CORDIC 在线性模式下工作的选项（该工具确实提供有执行这些功能的独立内核）。不过只需要几行就可以编写出实现该算法：

LIBRARY ieee;
USE ieee.std_logic_1164.all;
USE ieee.numeric_std.all;
ENtiTY synth_cordic IS PORT(
clk : IN std_logic;
resetn : IN std_logic;
z_ip : IN std_logic_vector(16 DOWNTO
0); --1,16
x_ip : IN std_logic_vector(16 DOWNTO 0);
--1,16
y_ip : IN std_logic_vector(16 DOWNTO 0);
--1,16
cos_op : OUT std_logic_vector(16 DOWNTO
0); --1,16
sin_op : OUT std_logic_vector(16 DOWNTO
0)); --1,16
END ENTITY synth_cordic;
ARCHITECTURE rtl OF synth_cordic IS
TYPE signed_array IS ARRAY (natural RANGE
<> ) OF signed(17 DOWNTO 0);
--ARCTAN Array format 1,16 in radians
CONSTANT tan_array : signed_array(0 TO 16)
:= (to_signed(51471,18),
to_signed(30385,18),
to_signed(16054,18),to_signed(8149,18),
to_signed(4090,18), to_signed(2047,18),
to_signed(1023,18), to_signed(511,18),
to_signed(255,18), to_signed(127,18),
to_signed(63,18), to_signed(31,18),
to_signed(15,18),
to_signed(7,18),to_signed(3,18),
to_signed(1,18), to_signed(0, 18));
SIGNAL x_array : signed_array(0 TO 14) :=
(OTHERS => (OTHERS =>'0'));
SIGNAL y_array : signed_array(0 TO 14) :=
(OTHERS => (OTHERS =>'0'));
SIGNAL z_array : signed_array(0 TO 14) :=
(OTHERS => (OTHERS =>'0'));
BEGIN
--convert inputs into signed format
PROCESS(resetn, clk)
BEGIN
IF resetn = '0' THEN
x_array <= (OTHERS => (OTHERS =>
'0'));
z_array <= (OTHERS => (OTHERS =>
'0'));
y_array <= (OTHERS => (OTHERS =>
'0'));
ELSIF rising_edge(clk) THEN
IF signed(z_ip)< to_signed(0,18)
THEN
x_array(x_array'low) <=
signed(x_ip) + signed('0' & y_ip);
y_array(y_array'low) <=
signed(y_ip) - signed('0' & x_ip);
z_array(z_array'low) <=
signed(z_ip) + tan_array(0);
ELSE
x_array(x_array'low) <=
signed(x_ip) - signed('0' & y_ip);
y_array(y_array'low) <=
signed(y_ip) + signed('0' & x_ip);
z_array(z_array'low) <=
signed(z_ip) - tan_array(0);
END IF;
FOR i IN 1 TO 14 LOOP
IF z_array(i-1) < to_signed(0,17)
THEN
x_array(i) <= x_array(i-1) +
(y_array(i-1)/2**i);
y_array(i) <= y_array(i-1) -
(x_array(i-1)/2**i);
z_array(i) <= z_array(i-1) +
tan_array(i);
ELSE
x_array(i) <= x_array(i-1) -
(y_array(i-1)/2**i);
y_array(i) <= y_array(i-1) +
(x_array(i-1)/2**i);
z_array(i) <= z_array(i-1) -
tan_array(i);
END IF;
END LOOP;
END IF;
END PROCESS;
cos_op <=
std_logic_vector(x_array(x_array'high)(16
DOWNTO 0));
sin_op <=
std_logic_vector(y_array(y_array'high)(16
DOWNTO 0));
END ARCHITECTURE rtl;

在 FPGA 中实现 CORDIC 有两种基础拓扑，一种是状态机法，一种是流水线法。
如果对处理时间要求不是特别严格，可以使用状态机实现该算法，每周期计算一次 CORDIC 迭代，直到完成要求的周期次数。如果需要高计算速度，并行架构则更合适。上述代码采用15 级并行旋转模式 CORDIC 计算。它使用如表 2 所示的简单圆函数模式 ArtTan(2-i) 查找表，结合简单的阵列结构实现并行级。

在五花八门的各种方法中，CORDIC 算法证明自己是一种简单且功能强大的算法，值得所有 FPGA 设计人员关注。更值得一提的是，使用内核生成工具或手动编码可以轻松实现 CORDIC。