一文了解高斯滤波器，附原理及实现过程

`本文主要介绍了高斯滤波器的原理及其实现过程

高斯滤波器是一种线性滤波器，能够有效的抑制噪声，平滑图像。其作用原理和均值滤波器类似，都是取滤波器窗口内的像素的均值作为输出。其窗口模板的系数和均值滤波器不同，均值滤波器的模板系数都是相同的为1;而高斯滤波器的模板系数，则随着距离模板中心的增大而系数减小。所以，高斯滤波器相比于均值滤波器对图像个模糊程度较小。
什么是高斯滤波器
既然名称为高斯滤波器，那么其和高斯分布(正态分布)是有一定的关系的。一个二维的高斯函数如下：

其中(x,y)(x,y)为点坐标，在图像处理中可认为是整数;σσ是标准差。要想得到一个高斯滤波器的模板，可以对高斯函数进行离散化，得到的高斯函数值作为模板的系数。例如：要产生一个3×33×3的高斯滤波器模板，以模板的中心位置为坐标原点进行取样。模板在各个位置的坐标，如下所示(x轴水平向右，y轴竖直向下)

这样，将各个位置的坐标带入到高斯函数中，得到的值就是模板的系数。对于窗口模板的大小为(2k+1)×(2k+1)，模板中各个元素值的计算公式如下：

这样计算出来的模板有两种形式：小数和整数。

小数形式的模板，就是直接计算得到的值，没有经过任何的处理;
整数形式的，则需要进行归一化处理，将模板左上角的值归一化为1，下面会具体介绍。使用整数的模板时，需要在模板的前面加一个系数，系数为
- 也就是模板系数和的倒数。
高斯模板的生成

知道模板生成的原理，实现起来也就不困难了
1. void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
2. {
3. static const double pi = 3.1415926;
4. int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐标的原点
5. double x2, y2;
6. for (int i = 0; i < ksize; i++)
7. {
8. x2 = pow(i - center, 2);
9. for (int j = 0; j < ksize; j++)
10. {
11. y2 = pow(j - center, 2);
12. double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
13. g /= 2 * pi * sigma;
14. window[i][j] = g;
15. }
16. }
17. double k = 1 / window[0][0]; // 将左上角的系数归一化为1
18. for (int i = 0; i < ksize; i++)
19. {
20. for (int j = 0; j < ksize; j++)
21. {
22. window[i][j] *= k;
23. }
24. }
25. }
需要一个二维数组，存放生成的系数(这里假设模板的最大尺寸不会超过11);第二个参数是模板的大小(不要超过11);第三个参数就比较重要了，是高斯分布的标准差。
生成的过程，首先根据模板的大小，找到模板的中心位置ksize/2。然后就是遍历，根据高斯分布的函数，计算模板中每个系数的值。
需要注意的是，最后归一化的过程，使用模板左上角的系数的倒数作为归一化的系数(左上角的系数值被归一化为1)，模板中的每个系数都乘以该值(左上角系数的倒数)，然后将得到的值取整，就得到了整数型的高斯滤波器模板。下面截图生成的是，大小为3×3,σ=0.83×3,σ=0.8的模板

对上述解结果取整后得到如下模板：

这个模板就比较熟悉了，其就是根据σ=0.8的高斯函数生成的模板。至于小数形式的生成也比较简单，去掉归一化的过程，并且在求解过程后，模板的每个系数要除以所有系数的和。具体代码如下：
1. void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
2. {
3. static const double pi = 3.1415926;
4. int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐标的原点
5. double x2, y2;
6. double sum = 0;
7. for (int i = 0; i < ksize; i++)
8. {
9. x2 = pow(i - center, 2);
10. for (int j = 0; j < ksize; j++)
11. {
12. y2 = pow(j - center, 2);
13. double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
14. g /= 2 * pi * sigma;
15. sum += g;
16. window[i][j] = g;
17. }
18. }
19. //double k = 1 / window[0][0]; // 将左上角的系数归一化为1
20. for (int i = 0; i < ksize; i++)
21. {
22. for (int j = 0; j < ksize; j++)
23. {
24. window[i][j] /= sum;
25. }
26. }
27. }
3×3,σ=0.8的小数型模板。

σσ值的意义及选取

通过上述的实现过程，不难发现，高斯滤波器模板的生成最重要的参数就是高斯分布的标准差σσ。标准差代表着数据的离散程度，如果σσ较小，那么生成的模板的中心系数较大，而周围的系数较小，这样对图像的平滑效果就不是很明显;反之，σσ较大，则生成的模板的各个系数相差就不是很大，比较类似均值模板，对图像的平滑效果比较明显。

来看下一维高斯分布的概率分布密度图：

横轴表示可能得取值x，竖轴表示概率分布密度F(x)，那么不难理解这样一个曲线与x轴围成的图形面积为1。σσ(标准差)决定了这个图形的宽度，可以得出这样的结论：σσ越大，则图形越宽，尖峰越小，图形较为平缓;σσ越小，则图形越窄，越集中，中间部分也就越尖，图形变化比较剧烈。这其实很好理解，如果sigma也就是标准差越大，则表示该密度分布一定比较分散，由于面积为1，于是尖峰部分减小，宽度越宽(分布越分散);同理，当σσ越小时，说明密度分布较为集中，于是尖峰越尖，宽度越窄!

于是可以得到如下结论：

σσ越大，分布越分散，各部分比重差别不大，于是生成的模板各元素值差别不大，类似于平均模板；

σσ越小，分布越集中，中间部分所占比重远远高于其他部分，反映到高斯模板上就是中心元素值远远大于其他元素值，于是自然而然就相当于中间值得点运算。

基于OpenCV的实现

在生成高斯模板好，其简单的实现和其他的空间滤波器没有区别，具体代码如下：
1. void GaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)
2. {
3. CV_Assert(src.channels() || src.channels() == 3); // 只处理单通道或者三通道图像
4. const static double pi = 3.1415926;
5. // 根据窗口大小和sigma生成高斯滤波器模板
6. // 申请一个二维数组，存放生成的高斯模板矩阵
7. double **templateMatrix = new double*[ksize];
8. for (int i = 0; i < ksize; i++)
9. templateMatrix[i] = new double[ksize];
10. int origin = ksize / 2; // 以模板的中心为原点
11. double x2, y2;
12. double sum = 0;
13. for (int i = 0; i < ksize; i++)
14. {
15. x2 = pow(i - origin, 2);
16. for (int j = 0; j < ksize; j++)
17. {
18. y2 = pow(j - origin, 2);
19. // 高斯函数前的常数可以不用计算，会在归一化的过程中给消去
20. double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
21. sum += g;
22. templateMatrix[i][j] = g;
23. }
24. }
25. for (int i = 0; i < ksize; i++)
26. {
27. for (int j = 0; j < ksize; j++)
28. {
29. templateMatrix[i][j] /= sum;
30. cout << templateMatrix[i][j] << " ";
31. }
32. cout << endl;
33. }
34. // 将模板应用到图像中
35. int border = ksize / 2;
36. copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT);
37. int channels = dst.channels();
38. int rows = dst.rows - border;
39. int cols = dst.cols - border;
40. for (int i = border; i < rows; i++)
41. {
42. for (int j = border; j < cols; j++)
43. {
44. double sum[3] = { 0 };
45. for (int a = -border; a <= border; a++)
46. {
47. for (int b = -border; b <= border; b++)
48. {
49. if (channels == 1)
50. {
51. sum[0] += templateMatrix[border + a][border + b] * dst.at(i + a, j + b);
52. }
53. else if (channels == 3)
54. {
55. Vec3b rgb = dst.at(i + a, j + b);
56. auto k = templateMatrix[border + a][border + b];
57. sum[0] += k * rgb[0];
58. sum[1] += k * rgb[1];
59. sum[2] += k * rgb[2];
60. }
61. }
62. }
63. for (int k = 0; k < channels; k++)
64. {
65. if (sum[k] < 0)
66. sum[k] = 0;
67. else if (sum[k] > 255)
68. sum[k] = 255;
69. }
70. if (channels == 1)
71. dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]);
72. else if (channels == 3)
73. {
74. Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) };
75. dst.at(i, j) = rgb;
76. }
77. }
78. }
79. // 释放模板数组
80. for (int i = 0; i < ksize; i++)
81. delete[] templateMatrix[i];
82. delete[] templateMatrix;
83. }
只处理单通道或者三通道图像，模板生成后，其滤波(卷积过程)就比较简单了。不过，这样的高斯滤波过程，其循环运算次数为m×n×ksize2，其中m，n为图像的尺寸;ksize为高斯滤波器的尺寸。这样其时间复杂度为O(ksize2)，随滤波器的模板的尺寸呈平方增长，当高斯滤波器的尺寸较大时，其运算效率是极低的。为了，提高滤波的运算速度，可以将二维的高斯滤波过程分解开来。

分离实现高斯滤波

由于高斯函数的可分离性，尺寸较大的高斯滤波器可以分成两步进行：首先将图像在水平(竖直)方向与一维高斯函数进行卷积;然后将卷积后的结果在竖直(水平)方向使用相同的一维高斯函数得到的模板进行卷积运算。具体实现代码如下：
1. // 分离的计算
2. void separateGaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)
3. {
4. CV_Assert(src.channels()==1 || src.channels() == 3); // 只处理单通道或者三通道图像
5. // 生成一维的高斯滤波模板
6. double *matrix = new double[ksize];
7. double sum = 0;
8. int origin = ksize / 2;
9. for (int i = 0; i < ksize; i++)
10. {
11. // 高斯函数前的常数可以不用计算，会在归一化的过程中给消去
12. double g = exp(-(i - origin) * (i - origin) / (2 * sigma * sigma));
13. sum += g;
14. matrix[i] = g;
15. }
16. // 归一化
17. for (int i = 0; i < ksize; i++)
18. matrix[i] /= sum;
19. // 将模板应用到图像中
20. int border = ksize / 2;
21. copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT);
22. int channels = dst.channels();
23. int rows = dst.rows - border;
24. int cols = dst.cols - border;
25. // 水平方向
26. for (int i = border; i < rows; i++)
27. {
28. for (int j = border; j < cols; j++)
29. {
30. double sum[3] = { 0 };
31. for (int k = -border; k <= border; k++)
32. {
33. if (channels == 1)
34. {
35. sum[0] += matrix[border + k] * dst.at(i, j + k); // 行不变，列变化；先做水平方向的卷积
36. }
37. else if (channels == 3)
38. {
39. Vec3b rgb = dst.at(i, j + k);
40. sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0];
41. sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1];
42. sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2];
43. }
44. }
45. for (int k = 0; k < channels; k++)
46. {
47. if (sum[k] < 0)
48. sum[k] = 0;
49. else if (sum[k] > 255)
50. sum[k] = 255;
51. }
52. if (channels == 1)
53. dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]);
54. else if (channels == 3)
55. {
56. Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) };
57. dst.at(i, j) = rgb;
58. }
59. }
60. }
61. // 竖直方向
62. for (int i = border; i < rows; i++)
63. {
64. for (int j = border; j < cols; j++)
65. {
66. double sum[3] = { 0 };
67. for (int k = -border; k <= border; k++)
68. {
69. if (channels == 1)
70. {
71. sum[0] += matrix[border + k] * dst.at(i + k, j); // 列不变，行变化；竖直方向的卷积
72. }
73. else if (channels == 3)
74. {
75. Vec3b rgb = dst.at(i + k, j);
76. sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0];
77. sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1];
78. sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2];
79. }
80. }
81. for (int k = 0; k < channels; k++)
82. {
83. if (sum[k] < 0)
84. sum[k] = 0;
85. else if (sum[k] > 255)
86. sum[k] = 255;
87. }
88. if (channels == 1)
89. dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]);
90. else if (channels == 3)
91. {
92. Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) };
93. dst.at(i, j) = rgb;
94. }
95. }
96. }
97. delete[] matrix;
98. }
代码没有重构较长，不过其实现原理是比较简单的。首先得到一维高斯函数的模板，在卷积(滤波)的过程中，保持行不变，列变化，在水平方向上做卷积运算;接着在上述得到的结果上，保持列不边，行变化，在竖直方向上做卷积运算。这样分解开来，算法的时间复杂度为O(ksize)O(ksize)，运算量和滤波器的模板尺寸呈线性增长。

在OpenCV也有对高斯滤波器的封装GaussianBlur，其声明如下：
1. CV_EXPORTS_W void GaussianBlur( InputArray src, OutputArray dst, Size ksize,
2. double sigmaX, double sigmaY = 0,
3. int borderType = BORDER_DEFAULT );
二维高斯函数的标准差在x和y方向上应该分别有一个标准差，在上面的代码中一直设其在x和y方向的标准是相等的，在OpenCV中的高斯滤波器中，可以在x和y方向上设置不同的标准差。

下图是自己实现的高斯滤波器和OpenCV中的GaussianBlur的结果对比

上图是5×5,σ=0.8的高斯滤波器，可以看出两个实现得到的结果没有很大的区别。
总结高斯滤波器是一种线性平滑滤波器，其滤波器的模板是对二维高斯函数离散得到。由于高斯模板的中心值最大，四周逐渐减小，其滤波后的结果相对于均值滤波器来说更好。
高斯滤波器最重要的参数就是高斯分布的标准差σσ，标准差和高斯滤波器的平滑能力有很大的能力，σσ越大，高斯滤波器的频带就较宽，对图像的平滑程度就越好。通过调节σσ参数，可以平衡对图像的噪声的抑制和对图像的模糊。