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` 本帖最后由 四有青年 于 2013-9-14 19:21 编辑 matlab/simulink/simpowersystem中连续vs离散! 本文中的一些具体数学推导见下面链接:计算机仿真技术 1.连续系统vs离散系统 连续系统是指系统状态的改变在时间上是连续的,从数学建模的角度来看,可以分为连续时间模型、离散时间模型、混合时间模型。其实在simpowersystem的库中基本所有模型都属于连续系统,因为其对应的物理世界一般是电机、电源、电力电子器件等等。 离散系统是指系统状态的改变只发生在某些时间点上,而且往往是随机的,比如说某一路口一天的人流量,对离散模型的计算机仿真没有实际意义,只有统计学上的意义,所以在simpowersystem中是没有模型属于离散系统的。但是在选取模型,以及仿真算法的选择时,常常提到的discrete model、discrete solver、discrete simulate type等等中的离散到底是指什么呢?其实它是指时间上的离散,也就是指离散时间模型。 下文中提到的连续就是指时间上的连续,连续模型就是指连续时间模型。离散就是指时间上的离散,离散模型就是指离散时间模型,而在物理世界中他们都同属于连续系统。为什么要将一个连续模型离散化呢?主要是是从系统的数学模型来考虑的,前者是用微分方程来建模的,而后者是用差分方程来建模的,并且差分方程更适合计算机计算,并且前者的仿真算法(simulationsolver)用的是数值积分的方法,而后者则是采用差分方程的状态更新离散算法。 在simpowersystem库中,对某些物理器件,既给出的它的连续模型,也给出了它的离散模型,例如: 离散模型一个很重要的参数就是采样时间sampletime,如何从数学建模的角度将一个连续模型离散化,后面会有介绍。在simpowersystem中常用powergui这个工具来将系统中的连续模型离散以便采用discrete算法便于计算机计算。 2.连续模型的数学建模vs离散模型的数学建模 Note:这里的连续和离散都是指时间上的连续和离散,无关乎现实世界的连续系统和离散系统。所谓数学建模就是用什么样的数学语言来描述模型, 连续系统的数学模型通常可以用以下几种形式表示:微分方程、传递函数、状态空间表达式,这三中形式是可以相互转换的,其中又以状态空间表达式最有利于计算机计算。 ①微分方程: 一个连续系统可以表示成高阶微分方程,即 ②传递函数 上式两边取拉普拉斯变换,假设 y 及 u 的各阶导数(包括零阶)的初值均为零,则有 于是便得微分方程的传递函数描述形式如下: ③状态空间表达式 线性定常系统的状态空间表达式包括下列两个矩阵方程:
(7-1)
(7-2) 式(7-1)由n 个一阶微分方程组成,称为状态方程;式(7-2)由l个线性代方程组称为输出方程 因此获得如下的状态方程与输出方程(令a0=1 ): 离散模型假定一个系统的输入量、输出量及其内部状态量是时间的离散函数,即为一个时间序列:
,其中T为离散时间间隔,其实T也就是上文中的sample time。 Note:再强调一次,这里的离散模型是指离散时间模型,与现实世界中的离散事件模型没有任何关系,在simpowersystem中所讲的离散都是指时间上的离散,与我们在信号中学的那个离散概念没有关系。 离散时间模型有差分方程、离散传递函数、权序列、离散状态空间模型等形式。 ①差分方程 差分方程的一般表达式为: 同样差分方程可以转换成后面那些表达形式。 3.连续模型的离散化 正如7.1.连续系统vs离散系统中截图所示的那样,如何由一个连续模型得到它的离散模型,(RMS®discrete RMS value),以及powergui是通过什么方法将连续模型离散化的,即simulator是如何将微分方程转换成差分方程的。 假设连续系统的状态方程为 现在人为地在系统的输入及输出端加上采样开关,同时为了使输入信号复员 为原来的信号,在输入端还要加一个保持器,如图所示。现假定它为零阶保持器,即假定输入向量的所有分量在任意两个依次相连的采样瞬时为常值,比如,对第n个采样周期u(t)=u(nt),其中 T 为采样间隔。 由采样定理可知,当采样频率ws和信号最大频率wmax满足ws>2wmax的条件时,可由采样后的信号唯一地确定原始信号。把采样后的离散信号通过一个低通滤波器,即可实现信号 的重构。值得注意的是,图所示的采样器和保持器实际上是不存在的,而是为了将式离散化而虚构的。 下面对上式进行求解,对方程式两边进行拉普拉斯变换,得 即
通过一系列的拉斯反变换和卷积,最终得到其差分方程(具体过程不用关心)
统称为系统的离散系数矩阵。 在转换过程中引入了一个重要参数T,即采样间隔,也就是采样时间,不管是powergui还是其他离散模型,只要涉及到离散,都必然会涉及到sample time,如下图 那么sample time 一般取多大呢,一直满足采样定理即可,即信号的采样频率大于信号本身最大频率的2倍即可。 4. simulator连续模型的仿真算法(simulatesolver,也可译成仿真解算器)和步长的概念。 连续系统的计算机仿真算法是数值积分法,即计算机用数值积分来解微分方程,从而得到其近似解。具体方法如下 ①欧拉法和改进的欧拉法: 现有微分方程如下: 上式右端的积分,计算机是无法求出的,其几何意义为曲线f(t,y)在区间(ti ,ti+1)上的面积。当(ti ,ti+1)充分小时,可用矩形面积来近似代替:
其中h即为积分步长。 Note:在simulator仿真计算时,h实际为仿真时间间隔。 因此可得下式: 因此只要知道当前状态和步长,便可得到下一状态。其几何意义如下: 分析其误差特性: 由泰勒展式可得: 可知其截断误差
是和步长h2成正比的,因此计算机在计算时,若要使近似积分精度更高,就要减小步长,但会增加截断误差。 ②改进的欧拉法(预测—校正法) 对积分公式(3.1.2)式利用梯形面积公式计算其右端积分,得到 将上式写成递推差分格式为: 从上式可以看出,在计算 yn+1中,需要知道fn+1,而fn+1=f(tn+1,fn+1)又依赖于yn+1本身。因此要首先利用欧拉法计算每一个预估的ypn+1,以此值代入原方程式计算fpn+1,最后利用下式求修正后的ypn+1。所以改进的欧拉法可描述为 ③龙格—库塔法(rung-kuta) 欧拉法是将
经泰勒级数展开并截去h2以后各项得到的一阶一步法,所以精度较低。如果将展开式多取几项以后截断,就得到精度较高的高阶数值解,但直接使用泰勒级数展开式要计算函数的高阶导数较难。龙格—库塔法是采用间接利用泰勒级数展开式的思路,即用在n个点上的函数值f的线性组合来 代替f的导数,然后按泰勒级数展开式确定其中的系数,以提高算法的阶数。这样既能避免计算函数的导数,同时又 保证了计算精度。由于龙格—库塔法具有许多优点,故在许多仿真程序包中,它是一个最基本的算法之 一。 ④线性多步法 以上所述的数值解法均为单步法。在计算中只要知道
。也就是说,根据初始条件可以递推计算出相继各时刻的y值,所以这种方法都可以自启动。 下面要介绍的是另一类算法,即多步法。 用这类算法求解时,可能需要
各时刻的值。显然多步法计算公式不能自启动,并且在计算过程中占用的内存较大,但可以提高计算精度和速度。例如:亚当斯—贝希霍斯显式多步法 ⑤刚性(stiff)系统解法 所谓刚性系统,就是用来描叙这类系统的微分方程的解,往往是由多个时间常数共同作用的,其中某些小时间常数对解的影响往往是微乎其微但的确不可或缺的。例如下式是一个简单刚性系统微分方程的解: 当时间较大时特征解-1000几乎对方程不起任何作用,但开始时有不能忽略e-1000t的影响,因此若前面介绍的计算机数值解法,为了保证解的稳定性在选取步长h时,必须保证1000h较小,也就是说步长h必须十分的小,这必然会增大计算次数,增大计算时间,而又因为在t一定大时,e-1000t 几乎不起作用,因此这种增大次数又不会对计算精度有多大改善,就是说常规解法计算刚性系统是在做无用功。 到目前为止,已提出不少解刚性方程的数值方法,基本上分为:显式公式, 隐式公式和预测校正型。 显示公式常用雷纳尔法 隐式方程都是稳定的,故都适合于解描述刚性系统的方程组,如隐式的龙格—库塔法。但这种方法每计算一步都需要进行迭代,故计算量大,在工程上使用有一定困难。因此在解刚性方程时,常采用Rosenbrock提出的半隐式龙格—库塔法。 预测—校正型中常用的解刚性方程的方法是Gear算法 5. simulator离散模型的仿真算法和步长的概念。 离散模型的数学建模一般采用差分方程的方式,在matlab中其仿真算法是采用discrete算法,就是根据simulation step 定时对离散模块进行更新(就是定时计算差分方程的意思) 至于其步长的概念和连续模型中h的概念差不多,但是它的大小选择和sample time 有着密切关系,下面会给予说明。 6.simulink中仿真参数(simulation/configurationparameters) 有了上面知识的铺垫,可以介绍simulink仿真参数的设置 上图中solver(仿真解算器)就是上面介绍的各种算法用计算机语言编程的实现。 continuous solver就是数值积分法,discrete solver就是离散解法。 步长有variable step(变步长)和fixed step(固定步长之分)。continuous solver中的步长就是h,就是积分时间间隔,对于discrete solver的步长是和要仿真的模型中的sample time有密切关系的,是不可以随便取的。 ①variable step(变步长) 就是说变步长会根据模型状态的变化的快慢适当调节步长,也就是相邻仿真计算的时间间隔,这样在保证了一定精度的同时又减少了仿真的次数,从而减小了仿真时间。 对于continuous solver而言,可以人为设定max step size 和min step size,然后计算机自动选择积分步长h进行数值积分。以下是它的仿真solver(ODE表示常微分方法) ②fixed step(固定步长) 就是仿真从头到尾用同一个步长。Note:对于continuous solver而言固定步长可以认为任取;而对于dicretesolver而言固定步长可以auto(即仿真帮你取),若人为取必选要遵守和sample time之间的一定关系,下面会有介绍。 Note: 关于simulink中搭建一些 DSP,FPGA等外设模块,仿真通过后自动生成代码,可在实际器件上运行时,此时simulation step一定要用fixed step(固定步长)。具体说明见下图: ③discretesolver solver就是discrete算法,就是不断更新discrete block在各离散点的状态,步长的大小是与模型中的sampletime 有密切关系的, 由上面阐述的差分方程可知,差分方程中T采样时间是固定的,对于discrete solver而言不管是variable step 还是fixed step,simulation step(仿真步)必须要有出现在sample time所有的整数倍上,即simulation step的设置必须使simulator在1T、2T、3T要对模型进行计算仿真,以免错过主要状态的转化。 若一个离散仿真模型中具有多个sample time,那么要保证每个模型在其采用时间的1T、2T、3T都能进行仿真,那么最小步长只能取各个仿真时间的公约数,其中最大公约数又称为fundamental sample time,例子如下 假设仿真的离散模型中有两个采样时间T1=2e-6,T2=4e-6那么其公约数为1e-6和2e-6,而fundamental sample time=2e-6 若采用fixed step步长,为了不错过模型在每个采样时刻状态的变化,要求simulator的仿真时间必须要包含每一个采样时刻的整数倍,因此其固定步长必须取各个sampletime 的公约数,可以是1e-6或2e-6,若写auto则为fundamental sample time=2e-6,若写出其他步长,则simulation会提示错误。 上述仿真过程如下: 箭头表示simulation step,就是simulator在每一个箭头处都会仿真计算一次;圆圈处表示模型采样时刻(sample time)处,其实只有在这一刻离散模型的状态才有可能发生改变,即差分方程的解才有可能发生改变;由上图可见这样设置步长保证了在每个sample time处simulator都进行了仿真。 若采用variable step步长,simulator会根据模型中的各个sample time自动调整步长,以使得仿真时间时刻等于sample time。 此时又有一个max step size的限制,若如上图写的是auto,那么上述仿真过程如下: 可见simulator只在sample time处才进行仿真计算,这样减少了仿真次数,节约了时间。 若max step size=0.7e-6,那么仿真过程又该如何?如下图: 可见variable step时,即使有人为maxstep size的限制,simulator总会跟踪sampletime。一般选择auto即可。 ⑥关于powergui的作用 |
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