三相交流电：
三相交流电是由三个频率相同、电势振幅相等、相位差互差120°角的交流电路组成的电力系统。日常用电系统中的三相四线制中电压为380/220V，即线电压为380V；相电压则随接线方式而异：若使用星形接法，相电压为220v；三角形接法，相电压则为380V。
三相电压：每根相线（火线）与中性线（零线）间的电压叫相电压，其有效值用UA、UB、UC表示；相线间的电压叫线电压，其有 效值用UAB、UBC、UCA表示。因为三相交流电源的三个线圈产生的交流电压相位相差120°，三个线圈作星形连接时，线电压等于相电压的根号3倍。我们通常讲的电压是220伏，380伏，就是三相四线制供电时的相电压和线电压。我国日常电路中，相电压是220V，线电压是380V（380V≈√3*220V）。工程上，讨论三相电源电压大小时，通常指的是电源的线电压。如三相四线制电源电压380V，指的是线电压380V。三相发电机在并网发电时或用三相电驱动三相交流电动机时，必须考虑相序的问题，否则会引起重大事故，为了防止接线错误，低压配电线路中规定用颜色区分各相，黄色表示A相，绿色表示B相，红色表示C相。
负载的两种接法（Y-型接法，Δ-型接法）
（电机正转-表达函数）：
U a = V m ∗ c o s （ ω t ） U b = V m ∗ c o s （ ω t − 2 3 π ） U c = V m ∗ c o s （ ω t + 2 3 π ） begin{array}{l} Ua=Vm*cos（omega t） \ Ub=Vm*cos（omega t - frac{2}{3}pi） \ Uc=Vm*cos（omega t + frac{2}{3}pi） end{array} Ua=Vm∗cos（ωt）Ub=Vm∗cos（ωt−32π）Uc=Vm∗cos（ωt+32π）
（电机反转-表达函数）：
U a = V m ∗ c o s （ ω t ） U b = V m ∗ c o s （ ω t + 2 3 π ） U c = V m ∗ c o s （ ω t − 2 3 π ） begin{array}{l} Ua=Vm*cos（omega t） \ Ub=Vm*cos（omega t + frac{2}{3}pi）\ Uc=Vm*cos（omega t - frac{2}{3}pi） end{array} Ua=Vm∗cos（ωt）Ub=Vm∗cos（ωt+32π）Uc=Vm∗cos（ωt−32π）
Vm：表示电压的幅度;
t：表示时间;
ω：角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf，角速度等于2π除以周期，也等于2π乘以频率，其中：Φ角度， t时间， T周期， f频率， π圆周率;
根据公式可以看出，三相电压是随时间变化的正弦波，相位差120°，如下图所示：
FOC控制中，有两种坐标转换，分别是clark变换和park变换：
clark变换将abc坐标系转换为αβ坐标系。
park变换将静止的αβ坐标系转换为旋转的dq坐标系。
逆变换：
iclark变换将αβ坐标系转换为abc坐标系。
ipark变换将旋转的dq坐标系转换为静止的αβ坐标系。
αβ坐标系：α轴β轴相位差90°，如下图所示：
dq坐标系：dq坐标相对于定子是旋转坐标系，相对转子是静止坐标系（dq坐标旋转的角速度和转子的旋转角速度相同）：
d轴方向与转子的磁链方向重和，又称为直轴；
q轴方向与转子的磁链方向垂直，又称为交轴；
电机功率P、转矩T、速度V 之间的关系：
功率=力·速度，表达公式：P=F·V
转矩（T）=扭力（F）·作用半径®， 推导出F=T/R
线速度（V）=2πR·每秒转速（n秒）
d轴：调节幅度（电机的转速）;
q轴：调节相位（电机的转矩）;
Clark Tranformation 3s-2s，clark转换公式：
［ U α U β ］ = m ⋅ ∣ U a − U b ⋅ c o s （ 60 ° ） − U c ⋅ c o s （ 60 ° ） 0 U b ⋅ c o s （ 30 ° ） − U c ⋅ c o s （ 30 ° ） ∣ = m ⋅ ［ 1 − 1 2 − 1 2 0 （ 3 ） 2 − （ 3 ） 2 ］ ⋅ ［ U a U b U c ］ left［ begin{matrix} Ualpha \ Ubeta \ end{matrix} right］ = m·left| begin{matrix} Ua&-Ub·cos（60°）&-Uc·cos（60°） \ 0 &Ub·cos（30°） &-Uc·cos（30°） end{matrix} right|= m· begin{bmatrix} 1& -frac{1}{2}&-frac{1}{2} \ 0 & frac{sqrt（3）}{2} &-frac{sqrt（3）}{2} end{bmatrix}⋅begin{bmatrix} Ua \ Ub \ Ucend{bmatrix} ［UαUβ］=m⋅∣∣∣∣Ua0−Ub⋅cos（60°）Ub⋅cos（30°）−Uc⋅cos（60°）−Uc⋅cos（30°）∣∣∣∣=m⋅［10−212（ 3）−21−2（ 3）］⋅⎣⎡UaUbUc⎦⎤
矩阵展开：
U α = m ⋅ （ U a − 1 2 ⋅ U b − 1 2 ⋅ U c ） U β = m ⋅ （ 3 2 ⋅ U b − 3 2 ⋅ U c ） begin{array}{l} Ualpha=m·（Ua-frac{1}{2}·Ub-frac{1}{2}·Uc） \ Ubeta=m·（frac{sqrt3}{2}·Ub-frac{sqrt3}{2}·Uc） end{array} Uα=m⋅（Ua−21⋅Ub−21⋅Uc）Uβ=m⋅（23 ⋅Ub−23 ⋅Uc）
若m=√（2/3），变换前后，功率不变。又称为：Concordia变换。
若m=2/3，变换前后，幅值不变，恒幅值。
将m=2/3代入式中得：
U α = U a U β = 1 3 ⋅ （ U a + 2 ⋅ U b ） begin{array}{l} Ualpha=Ua \ Ubeta=frac{1}{sqrt3}·（Ua+2·Ub） end{array} Uα=UaUβ=3 1⋅（Ua+2⋅Ub）
# Inverse Clark Transformation 2s-3s， iClark逆变换：
［ U a U b U c ］ = m ′ ⋅ ［ 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 ］ ⋅ ［ U α U β ］ begin{bmatrix} Ua \ Ub \ Uc end{bmatrix} = m‘· begin{bmatrix} 1&0 \ -frac{1}{2} & frac{sqrt3}{2} \ -frac{1}{2}&-frac{sqrt3}{2} end{bmatrix}· begin{bmatrix} Ualpha \ Ubetaend{bmatrix} ⎣⎡UaUbUc⎦⎤=m′⋅⎣⎢⎡1−21−21023 −23 ⎦⎥⎤⋅［UαUβ］
矩阵展开：
U a = m ′ ⋅ （ U α ） U b = m ′ ⋅ （ − 1 2 ⋅ U α + 3 2 ⋅ U β ） U c = m ′ ⋅ （ − 1 2 ⋅ U α − 3 2 ⋅ U β ） begin{array}{l} Ua=m’·（Ualpha）\ Ub=m‘·（-frac{1}{2}·Ualpha+frac{sqrt3}{2}·Ubeta）\ Uc=m’·（-frac{1}{2}·Ualpha-frac{sqrt3}{2}·Ubeta） end{array} Ua=m′⋅（Uα）Ub=m′⋅（−21⋅Uα+23 ⋅Uβ）Uc=m′⋅（−21⋅Uα−23 ⋅Uβ）
若m′=√（2/3），变换前后，功率不变。
若m′=1，变换前后，幅值不变。
Park Transformation 3s-3r，park转换：
［ U d U q U 0 ］ = 2 3 ⋅ ［ c o s （ θ ） c o s （ θ − 2 3 π ） c o s （ θ + 2 3 π ） − s i n （ θ ） − s i n （ θ − 2 3 π ） − s i n （ θ + 2 3 π ） 1 2 1 2 1 2 ］ ⋅ ［ U a U b U c ］ begin{bmatrix} Ud \ Uq \U0end{bmatrix} = frac{2}{3}·begin{bmatrix} cos（theta）&cos（{theta-frac{2}{3}pi}） &cos（theta+frac{2}{3}pi） \ -sin（theta） & -sin（theta-frac{2}{3}pi）&-sin（theta+frac{2}{3}pi）\ frac{1}{2}&frac{1}{2}&frac{1}{2} end{bmatrix}· begin{bmatrix} Ua\Ub\Uc end{bmatrix} ⎣⎡UdUqU0⎦⎤=32⋅⎣⎡cos（θ）−sin（θ）21cos（θ−32π）−sin（θ−32π）21cos（θ+32π）−sin（θ+32π）21⎦⎤⋅⎣⎡UaUbUc⎦⎤
U d = U α ⋅ c o s （ θ ） + U β ⋅ s i n （ θ ） U q = U β ⋅ c o s （ θ ） − U α ⋅ s i n （ θ ） o r U d = U α ⋅ c o s （ θ ） + U β ⋅ s i n （ θ ） U q = − U α ⋅ s i n （ θ ） + U β ⋅ c o s （ θ ） Ud=Ualpha·cos（theta）+Ubeta·sin（theta） \ Uq=Ubeta·cos（theta）-Ualpha·sin（theta） \ or \ Ud=Ualpha·cos（theta）+Ubeta·sin（theta） \ Uq=-Ualpha·sin（theta）+Ubeta·cos（theta） Ud=Uα⋅cos（θ）+Uβ⋅sin（θ）Uq=Uβ⋅cos（θ）−Uα⋅sin（θ）orUd=Uα⋅cos（θ）+Uβ⋅sin（θ）Uq=−Uα⋅sin（θ）+Uβ⋅cos（θ）
inverse Park Tranformation 3r-3s，iPark逆转换：
［ U a U b U c ］ = ［ c o s （ θ ） − s i n （ θ ） 1 c o s （ θ − 2 3 π ） − s i n （ θ − 2 3 π ） 1 c o s （ θ + 2 3 π ） − s i n （ θ + 2 3 π ） 1 ］ ⋅ ［ U d U q U 0 ］ begin{bmatrix}Ua\Ub\Ucend{bmatrix}= begin{bmatrix} cos（theta）&-sin（theta）&1 \ cos（theta - frac{2}{3}pi） & -sin（theta - frac{2}{3}pi） & 1 \ cos（theta + frac{2}{3}pi） & -sin（theta+frac{2}{3}pi） &1 end{bmatrix}⋅begin{bmatrix} Ud\Uq\U0 end{bmatrix} ⎣⎡UaUbUc⎦⎤=⎣⎡cos（θ）cos（θ−32π）cos（θ+32π）−sin（θ）−sin（θ−32π）−sin（θ+32π）111⎦⎤⋅⎣⎡UdUqU0⎦⎤
［ U α U β ］ = ［ c o s （ θ ） − s i n （ θ ） s i n （ θ ） c o s （ θ ） ］ ⋅ ［ U d U q ］ begin{bmatrix} Ualpha \ Ubeta end{bmatrix} = begin{bmatrix} cos（theta）&-sin（theta） \ sin（theta）&cos（theta） end{bmatrix}· begin{bmatrix} Ud \ Uq end{bmatrix} ［UαUβ］=［cos（θ）sin（θ）−sin（θ）cos（θ）］⋅［UdUq］
相关变量值：
π=180°（平角）， 2π=360°（周角），这里π表示弧度
cos（60°） = 1/2 = 0.5
cos（30°） = √3/2 ≈ 0.866025
√3 = 1.7320508075688772935274463415059
2/3 = 0.66666666666666666666666666666667
√（2/3） = 0.81649658092772603273242802490196
Python matplotlib仿真代码：
import numpy as np
import scipy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.pylab as plb
# 三相交流波形
Vm = 220 #电压幅度V
fHz=50 #频率
T=1/fHz #周期
Tn = 5 #显示n个周期的波形
t = np.linspace（0， T*Tn， 360*Tn） #时间t
theta = （2*np.pi*fHz） * t #电相角θ=2πf，随时间变化θ=ωt=2πf·t
Ua = Vm * np.cos（（2*np.pi*fHz） * t） #U
Ub = Vm * np.cos（（2*np.pi*fHz） * t - 2.0943）#（2/3）*np.pi） #V
Uc = Vm * np.cos（（2*np.pi*fHz） * t + 2.0943）#（2/3）*np.pi） #W
#
Uo = （Ua+Ub+Uc） # （Ua+Ub+Uc）=0
plt.subplot（2，3，1）
plt.title（‘3-phase wave’）
plt.title（‘Set Paramter（3-phase wave Ua/Ub/Uc）’）
plt.plot（t， Ua， label=‘Ua’）
plt.plot（t， Ub， label=‘Ub’）
plt.plot（t， Uc， label=‘Uc’）
plt.plot（t， Uo， ‘b-。’，label=‘U0’）
plt.xlabel（‘ωt’）
plt.ylabel（‘Vm’）
plt.grid（）
plt.legend（）
# clark转换波形：
m = 2/3 #恒幅值
#m = np.sqrt（2/3） #恒功率
Ualpha = m * （Ua - （1/2）*Ub - （1/2）*Uc） #Uα
Ubeta = m * （np.sqrt（3）/2 * Ub - np.sqrt（3）/2*Uc） #Uβ
#Ualpha = Ua
#Ubeta = （1/np.sqrt（3））*（Ua + 2*Ub）
plt.subplot（2，3，2）
plt.title（‘Clark Tranformation（Ua/Ub/Uc to Uα/Uβ）’）
plt.plot（t， Ualpha， label=‘Uα’）
plt.plot（t， Ubeta， label=‘Uβ’）
plt.xlabel（‘ωt’）
plt.ylabel（‘Vm’）
plt.grid（）
plt.legend（）
# park转换波形：
Ud = Ualpha*np.cos（theta） + Ubeta*np.sin（theta）
Uq = -Ualpha*np.sin（theta） + Ubeta*np.cos（theta）
plt.subplot（2，3，3）
plt.title（‘Park Tranformation（Uα/Uβ to Uq/Ud）’）
plt.plot（t， Ud， ‘r’， label=‘Ud’）
plt.plot（t， Uq， ‘g’， label=‘Uq’）
plt.xlabel（‘ωt’）
plt.ylabel（‘Vm’）
plt.legend（）
plt.grid（）
# iPark
Udi = Ud-0 #调节幅度（电机的转速）
Uqi = Uq-0 #调节相位（电机的转矩）
#
plt.subplot（2，3，4）
plt.title（‘Set Paramter（Uq/Ud）’）
plt.plot（t， Udi， ‘r’， label=‘iUd’）
plt.plot（t， Uqi， ‘g’， label=‘iUq’）
plt.xlabel（‘ωt’）
plt.ylabel（‘Vm’）
plt.legend（）
plt.grid（）
Ualphai = Udi *np.cos（theta） - Uqi * np.sin（theta）
Ubetai = Udi * np.sin（theta） + Uqi * np.cos（theta）
plt.subplot（2，3，5）
plt.title（‘iPark Tranformation（Uq/Ud to Uα/Uβ）’）
plt.plot（t， Ualphai， label=‘iUα’）
plt.plot（t， Ubetai， label=‘iUβ’）
plt.xlabel（‘ωt’）
plt.ylabel（‘Vm’）
plt.legend（）
plt.grid（）
# iClark波形：
m = 1 #恒幅值
#m=np.sqrt（2/3） #恒功率
Uai = m * （Ualphai +（0*Ubetai））
Ubi = m * （-（1/2）*Ualphai + （np.sqrt（3）/2）*Ubetai）
Uci = m * （-（1/2）*Ualphai - （np.sqrt（3）/2）*Ubetai）
plt.subplot（2，3，6）
plt.title（‘iClark Tranformation（Uα/Uβ to Ua/Ub/Uc）’）
plt.plot（t， Uai， label=‘iUa’）
plt.plot（t， Ubi， label=‘iUb’）
plt.plot（t， Uci， label=‘iUc’）
plt.xlabel（‘ωt’）
plt.ylabel（‘Vm’）
plt.legend（）
plt.grid（）
# 显示图像
plt.show（）
仿真波形：
三相交流电：
三相交流电是由三个频率相同、电势振幅相等、相位差互差120°角的交流电路组成的电力系统。日常用电系统中的三相四线制中电压为380/220V，即线电压为380V；相电压则随接线方式而异：若使用星形接法，相电压为220v；三角形接法，相电压则为380V。
三相电压：每根相线（火线）与中性线（零线）间的电压叫相电压，其有效值用UA、UB、UC表示；相线间的电压叫线电压，其有 效值用UAB、UBC、UCA表示。因为三相交流电源的三个线圈产生的交流电压相位相差120°，三个线圈作星形连接时，线电压等于相电压的根号3倍。我们通常讲的电压是220伏，380伏，就是三相四线制供电时的相电压和线电压。我国日常电路中，相电压是220V，线电压是380V（380V≈√3*220V）。工程上，讨论三相电源电压大小时，通常指的是电源的线电压。如三相四线制电源电压380V，指的是线电压380V。三相发电机在并网发电时或用三相电驱动三相交流电动机时，必须考虑相序的问题，否则会引起重大事故，为了防止接线错误，低压配电线路中规定用颜色区分各相，黄色表示A相，绿色表示B相，红色表示C相。
负载的两种接法（Y-型接法，Δ-型接法）
（电机正转-表达函数）：
U a = V m ∗ c o s （ ω t ） U b = V m ∗ c o s （ ω t − 2 3 π ） U c = V m ∗ c o s （ ω t + 2 3 π ） begin{array}{l} Ua=Vm*cos（omega t） \ Ub=Vm*cos（omega t - frac{2}{3}pi） \ Uc=Vm*cos（omega t + frac{2}{3}pi） end{array} Ua=Vm∗cos（ωt）Ub=Vm∗cos（ωt−32π）Uc=Vm∗cos（ωt+32π）
（电机反转-表达函数）：
U a = V m ∗ c o s （ ω t ） U b = V m ∗ c o s （ ω t + 2 3 π ） U c = V m ∗ c o s （ ω t − 2 3 π ） begin{array}{l} Ua=Vm*cos（omega t） \ Ub=Vm*cos（omega t + frac{2}{3}pi）\ Uc=Vm*cos（omega t - frac{2}{3}pi） end{array} Ua=Vm∗cos（ωt）Ub=Vm∗cos（ωt+32π）Uc=Vm∗cos（ωt−32π）
Vm：表示电压的幅度;
t：表示时间;
ω：角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf，角速度等于2π除以周期，也等于2π乘以频率，其中：Φ角度， t时间， T周期， f频率， π圆周率;
根据公式可以看出，三相电压是随时间变化的正弦波，相位差120°，如下图所示：
FOC控制中，有两种坐标转换，分别是clark变换和park变换：
clark变换将abc坐标系转换为αβ坐标系。
park变换将静止的αβ坐标系转换为旋转的dq坐标系。
逆变换：
iclark变换将αβ坐标系转换为abc坐标系。
ipark变换将旋转的dq坐标系转换为静止的αβ坐标系。
αβ坐标系：α轴β轴相位差90°，如下图所示：
dq坐标系：dq坐标相对于定子是旋转坐标系，相对转子是静止坐标系（dq坐标旋转的角速度和转子的旋转角速度相同）：
d轴方向与转子的磁链方向重和，又称为直轴；
q轴方向与转子的磁链方向垂直，又称为交轴；
电机功率P、转矩T、速度V 之间的关系：
功率=力·速度，表达公式：P=F·V
转矩（T）=扭力（F）·作用半径®， 推导出F=T/R
线速度（V）=2πR·每秒转速（n秒）
d轴：调节幅度（电机的转速）;
q轴：调节相位（电机的转矩）;
Clark Tranformation 3s-2s，clark转换公式：
［ U α U β ］ = m ⋅ ∣ U a − U b ⋅ c o s （ 60 ° ） − U c ⋅ c o s （ 60 ° ） 0 U b ⋅ c o s （ 30 ° ） − U c ⋅ c o s （ 30 ° ） ∣ = m ⋅ ［ 1 − 1 2 − 1 2 0 （ 3 ） 2 − （ 3 ） 2 ］ ⋅ ［ U a U b U c ］ left［ begin{matrix} Ualpha \ Ubeta \ end{matrix} right］ = m·left| begin{matrix} Ua&-Ub·cos（60°）&-Uc·cos（60°） \ 0 &Ub·cos（30°） &-Uc·cos（30°） end{matrix} right|= m· begin{bmatrix} 1& -frac{1}{2}&-frac{1}{2} \ 0 & frac{sqrt（3）}{2} &-frac{sqrt（3）}{2} end{bmatrix}⋅begin{bmatrix} Ua \ Ub \ Ucend{bmatrix} ［UαUβ］=m⋅∣∣∣∣Ua0−Ub⋅cos（60°）Ub⋅cos（30°）−Uc⋅cos（60°）−Uc⋅cos（30°）∣∣∣∣=m⋅［10−212（ 3）−21−2（ 3）］⋅⎣⎡UaUbUc⎦⎤
矩阵展开：
U α = m ⋅ （ U a − 1 2 ⋅ U b − 1 2 ⋅ U c ） U β = m ⋅ （ 3 2 ⋅ U b − 3 2 ⋅ U c ） begin{array}{l} Ualpha=m·（Ua-frac{1}{2}·Ub-frac{1}{2}·Uc） \ Ubeta=m·（frac{sqrt3}{2}·Ub-frac{sqrt3}{2}·Uc） end{array} Uα=m⋅（Ua−21⋅Ub−21⋅Uc）Uβ=m⋅（23 ⋅Ub−23 ⋅Uc）
若m=√（2/3），变换前后，功率不变。又称为：Concordia变换。
若m=2/3，变换前后，幅值不变，恒幅值。
将m=2/3代入式中得：
U α = U a U β = 1 3 ⋅ （ U a + 2 ⋅ U b ） begin{array}{l} Ualpha=Ua \ Ubeta=frac{1}{sqrt3}·（Ua+2·Ub） end{array} Uα=UaUβ=3 1⋅（Ua+2⋅Ub）
# Inverse Clark Transformation 2s-3s， iClark逆变换：
［ U a U b U c ］ = m ′ ⋅ ［ 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 ］ ⋅ ［ U α U β ］ begin{bmatrix} Ua \ Ub \ Uc end{bmatrix} = m‘· begin{bmatrix} 1&0 \ -frac{1}{2} & frac{sqrt3}{2} \ -frac{1}{2}&-frac{sqrt3}{2} end{bmatrix}· begin{bmatrix} Ualpha \ Ubetaend{bmatrix} ⎣⎡UaUbUc⎦⎤=m′⋅⎣⎢⎡1−21−21023 −23 ⎦⎥⎤⋅［UαUβ］
矩阵展开：
U a = m ′ ⋅ （ U α ） U b = m ′ ⋅ （ − 1 2 ⋅ U α + 3 2 ⋅ U β ） U c = m ′ ⋅ （ − 1 2 ⋅ U α − 3 2 ⋅ U β ） begin{array}{l} Ua=m’·（Ualpha）\ Ub=m‘·（-frac{1}{2}·Ualpha+frac{sqrt3}{2}·Ubeta）\ Uc=m’·（-frac{1}{2}·Ualpha-frac{sqrt3}{2}·Ubeta） end{array} Ua=m′⋅（Uα）Ub=m′⋅（−21⋅Uα+23 ⋅Uβ）Uc=m′⋅（−21⋅Uα−23 ⋅Uβ）
若m′=√（2/3），变换前后，功率不变。
若m′=1，变换前后，幅值不变。
Park Transformation 3s-3r，park转换：
［ U d U q U 0 ］ = 2 3 ⋅ ［ c o s （ θ ） c o s （ θ − 2 3 π ） c o s （ θ + 2 3 π ） − s i n （ θ ） − s i n （ θ − 2 3 π ） − s i n （ θ + 2 3 π ） 1 2 1 2 1 2 ］ ⋅ ［ U a U b U c ］ begin{bmatrix} Ud \ Uq \U0end{bmatrix} = frac{2}{3}·begin{bmatrix} cos（theta）&cos（{theta-frac{2}{3}pi}） &cos（theta+frac{2}{3}pi） \ -sin（theta） & -sin（theta-frac{2}{3}pi）&-sin（theta+frac{2}{3}pi）\ frac{1}{2}&frac{1}{2}&frac{1}{2} end{bmatrix}· begin{bmatrix} Ua\Ub\Uc end{bmatrix} ⎣⎡UdUqU0⎦⎤=32⋅⎣⎡cos（θ）−sin（θ）21cos（θ−32π）−sin（θ−32π）21cos（θ+32π）−sin（θ+32π）21⎦⎤⋅⎣⎡UaUbUc⎦⎤
U d = U α ⋅ c o s （ θ ） + U β ⋅ s i n （ θ ） U q = U β ⋅ c o s （ θ ） − U α ⋅ s i n （ θ ） o r U d = U α ⋅ c o s （ θ ） + U β ⋅ s i n （ θ ） U q = − U α ⋅ s i n （ θ ） + U β ⋅ c o s （ θ ） Ud=Ualpha·cos（theta）+Ubeta·sin（theta） \ Uq=Ubeta·cos（theta）-Ualpha·sin（theta） \ or \ Ud=Ualpha·cos（theta）+Ubeta·sin（theta） \ Uq=-Ualpha·sin（theta）+Ubeta·cos（theta） Ud=Uα⋅cos（θ）+Uβ⋅sin（θ）Uq=Uβ⋅cos（θ）−Uα⋅sin（θ）orUd=Uα⋅cos（θ）+Uβ⋅sin（θ）Uq=−Uα⋅sin（θ）+Uβ⋅cos（θ）
inverse Park Tranformation 3r-3s，iPark逆转换：
［ U a U b U c ］ = ［ c o s （ θ ） − s i n （ θ ） 1 c o s （ θ − 2 3 π ） − s i n （ θ − 2 3 π ） 1 c o s （ θ + 2 3 π ） − s i n （ θ + 2 3 π ） 1 ］ ⋅ ［ U d U q U 0 ］ begin{bmatrix}Ua\Ub\Ucend{bmatrix}= begin{bmatrix} cos（theta）&-sin（theta）&1 \ cos（theta - frac{2}{3}pi） & -sin（theta - frac{2}{3}pi） & 1 \ cos（theta + frac{2}{3}pi） & -sin（theta+frac{2}{3}pi） &1 end{bmatrix}⋅begin{bmatrix} Ud\Uq\U0 end{bmatrix} ⎣⎡UaUbUc⎦⎤=⎣⎡cos（θ）cos（θ−32π）cos（θ+32π）−sin（θ）−sin（θ−32π）−sin（θ+32π）111⎦⎤⋅⎣⎡UdUqU0⎦⎤
［ U α U β ］ = ［ c o s （ θ ） − s i n （ θ ） s i n （ θ ） c o s （ θ ） ］ ⋅ ［ U d U q ］ begin{bmatrix} Ualpha \ Ubeta end{bmatrix} = begin{bmatrix} cos（theta）&-sin（theta） \ sin（theta）&cos（theta） end{bmatrix}· begin{bmatrix} Ud \ Uq end{bmatrix} ［UαUβ］=［cos（θ）sin（θ）−sin（θ）cos（θ）］⋅［UdUq］
相关变量值：
π=180°（平角）， 2π=360°（周角），这里π表示弧度
cos（60°） = 1/2 = 0.5
cos（30°） = √3/2 ≈ 0.866025
√3 = 1.7320508075688772935274463415059
2/3 = 0.66666666666666666666666666666667
√（2/3） = 0.81649658092772603273242802490196
Python matplotlib仿真代码：
import numpy as np
import scipy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.pylab as plb
# 三相交流波形
Vm = 220 #电压幅度V
fHz=50 #频率
T=1/fHz #周期
Tn = 5 #显示n个周期的波形
t = np.linspace（0， T*Tn， 360*Tn） #时间t
theta = （2*np.pi*fHz） * t #电相角θ=2πf，随时间变化θ=ωt=2πf·t
Ua = Vm * np.cos（（2*np.pi*fHz） * t） #U
Ub = Vm * np.cos（（2*np.pi*fHz） * t - 2.0943）#（2/3）*np.pi） #V
Uc = Vm * np.cos（（2*np.pi*fHz） * t + 2.0943）#（2/3）*np.pi） #W
#
Uo = （Ua+Ub+Uc） # （Ua+Ub+Uc）=0
plt.subplot（2，3，1）
plt.title（‘3-phase wave’）
plt.title（‘Set Paramter（3-phase wave Ua/Ub/Uc）’）
plt.plot（t， Ua， label=‘Ua’）
plt.plot（t， Ub， label=‘Ub’）
plt.plot（t， Uc， label=‘Uc’）
plt.plot（t， Uo， ‘b-。’，label=‘U0’）
plt.xlabel（‘ωt’）
plt.ylabel（‘Vm’）
plt.grid（）
plt.legend（）
# clark转换波形：
m = 2/3 #恒幅值
#m = np.sqrt（2/3） #恒功率
Ualpha = m * （Ua - （1/2）*Ub - （1/2）*Uc） #Uα
Ubeta = m * （np.sqrt（3）/2 * Ub - np.sqrt（3）/2*Uc） #Uβ
#Ualpha = Ua
#Ubeta = （1/np.sqrt（3））*（Ua + 2*Ub）
plt.subplot（2，3，2）
plt.title（‘Clark Tranformation（Ua/Ub/Uc to Uα/Uβ）’）
plt.plot（t， Ualpha， label=‘Uα’）
plt.plot（t， Ubeta， label=‘Uβ’）
plt.xlabel（‘ωt’）
plt.ylabel（‘Vm’）
plt.grid（）
plt.legend（）
# park转换波形：
Ud = Ualpha*np.cos（theta） + Ubeta*np.sin（theta）
Uq = -Ualpha*np.sin（theta） + Ubeta*np.cos（theta）
plt.subplot（2，3，3）
plt.title（‘Park Tranformation（Uα/Uβ to Uq/Ud）’）
plt.plot（t， Ud， ‘r’， label=‘Ud’）
plt.plot（t， Uq， ‘g’， label=‘Uq’）
plt.xlabel（‘ωt’）
plt.ylabel（‘Vm’）
plt.legend（）
plt.grid（）
# iPark
Udi = Ud-0 #调节幅度（电机的转速）
Uqi = Uq-0 #调节相位（电机的转矩）
#
plt.subplot（2，3，4）
plt.title（‘Set Paramter（Uq/Ud）’）
plt.plot（t， Udi， ‘r’， label=‘iUd’）
plt.plot（t， Uqi， ‘g’， label=‘iUq’）
plt.xlabel（‘ωt’）
plt.ylabel（‘Vm’）
plt.legend（）
plt.grid（）
Ualphai = Udi *np.cos（theta） - Uqi * np.sin（theta）
Ubetai = Udi * np.sin（theta） + Uqi * np.cos（theta）
plt.subplot（2，3，5）
plt.title（‘iPark Tranformation（Uq/Ud to Uα/Uβ）’）
plt.plot（t， Ualphai， label=‘iUα’）
plt.plot（t， Ubetai， label=‘iUβ’）
plt.xlabel（‘ωt’）
plt.ylabel（‘Vm’）
plt.legend（）
plt.grid（）
# iClark波形：
m = 1 #恒幅值
#m=np.sqrt（2/3） #恒功率
Uai = m * （Ualphai +（0*Ubetai））
Ubi = m * （-（1/2）*Ualphai + （np.sqrt（3）/2）*Ubetai）
Uci = m * （-（1/2）*Ualphai - （np.sqrt（3）/2）*Ubetai）
plt.subplot（2，3，6）
plt.title（‘iClark Tranformation（Uα/Uβ to Ua/Ub/Uc）’）
plt.plot（t， Uai， label=‘iUa’）
plt.plot（t， Ubi， label=‘iUb’）
plt.plot（t， Uci， label=‘iUc’）
plt.xlabel（‘ωt’）
plt.ylabel（‘Vm’）
plt.legend（）
plt.grid（）
# 显示图像
plt.show（）
仿真波形：
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