求最大密度子图？

最大密度子图

赵鑫

2020-11-11 14:52:32

无向图 /(G(V,E)/) 的密度 /(D = /dfrac {|E|} {|V|}/)
若选择了边 /((u,v)/) 则必须有 /(u /in V , v /in V/)
最大密度子图

具有最大密度的子图，最大化 /(D' = /dfrac {|E'|} {|V'|}/)

根据之前的分数规划
可以二分答案
并且有如下引理

任意两个子图的密度差 /(/ge /dfrac 1{n^2}/)

/(/dfrac {m_1}{n_1} - /dfrac {m_2}{n_2} = /dfrac {m_1n_2 - m_2n_1} {n_1n_2} /ge /dfrac 1 {n_1n_2} /ge /dfrac 1 {n^2}/)
现在的主要问题是如何 /(Judge/)
设要检验的值为 /(g/) , 构造函数 $f = |E| - g|V| $ , 现在的目标是使得 /(f/) 最大
有两种方法

杨艳

2020-11-11 14:52:39

1. 最大权闭合子图

目标：
最大化  /(f = |E| - g|V|/)
把无向边 /((u,v)/) 看做一个点连接两条有向边指向 /(u/) 和 /(v/)  原图的点权值设为 /(-g/)  ，
边的点为 /(1/)  ,这样就转成了最大权闭合子图的问题

李彬

2020-11-11 14:52:48

2.优化算法（诱导子图最小割）
对于点集 /(V'/) , 显然能选的边要尽可能的都选上

所有能选的边为 /(V'/) 中点的度的和减去割 /([V',/overline{V'}]/) 的容量的一半

/[|E'| = /dfrac {/sum_{v/in V'}deg(v) -c[V',/overline{V'}]}2/]

/[f = /dfrac 12/big(/sum_{v/in V'}deg(v)-c[V',/overline{V'}] - 2/sum_{v /in V'}g/big) // = /dfrac 12/big(/sum_{v/in V'}(deg(v)-2g)-c[V',/overline{V'}] /big)/]

按如下建图, /(U/) 是一个大常数，保证边权不是负数

割 /([S,T]/)  , /(S = {s} + V'/) ,/(T = {t} + /overline{V'}/)
割的容量 /(c[S,T]/) 有四个部分
/(s/to t/) ： /(0/)
/(s /to /overline{V'}/) :  /(/sum_{v /in /overline{V'}}U/)
/(V' /to /overline{V'}/) ：其实就是 /(c[V',/overline{V'}]/)
/(V' /to t/) ： /(/sum_{v/in V'}U+2g-d_v/)

/[c[S,T] = c[V',/overline{V'}] + Un + /sum_{v /in V'}2g-d_v = Un -2f/]

所以最大化 /(f/)  即最小化 /(c[S,T]/) ，求最小割就可以了

王秀珍

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赵鑫

杨艳

李彬

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