为什么正弦波如此普遍？一起来深入解析

“ 这个问题看起来简单，但要深入回答可能需要结合多个领域的知识。 ”

正弦波随处可见。在水面、钟摆运动、电磁波以及简单电子电路的行为中都能观察到正弦波。但是......为什么呢？

互联网上最常见的答案是 “因为正弦波是由旋转的圆周运动产生的”。这并没有错，但并没有揭示本质：毕竟，在湖泊中找不到旋转的圆周，电容或电感中也没有发现这样的圆周运动。另一个常见的说法是 “正弦波是由简谐运动产生的”。同样，这在技术上是正确的，但并没有真正说明原因。

在今天的文章中，我们将尝试更彻底地解答这个问题。我们将快速穿越牛顿力学的世界，尽管许多人在毕业后竭力遗忘这些知识，但我保证这段旅程会足够有趣。

简谐运动

让我们从最基本的机械振荡器开始：一个悬挂在弹簧上的质量块。我们假设弹簧具有完全弹性且不存在空气阻力。因此当您施加推力后，该系统将保持永恒的持续振动：

在该示意图中可以观察到两个关键临界状态。第一临界点出现在弹簧达到最大压缩或拉伸时：此时物块速度为零且即将发生方向反转。第二临界点则出现在弹簧张力为零的振荡中点位置，此时物块停止受推力作用（即加速度消失），对应其运动速度的峰值状态。

上述分析未考虑重力因素。为简化模型，可在实验描述中增加"假设实验在太空进行"：通俗地说，恒定重力不会改变系统动力学本质，它仅将"弹簧合力为零"的中点条件转变为"弹簧力与重力精确平衡"的新平衡点。物块仍会围绕该新平衡点保持对称振动。

在任何情况下：如果你绘制弹簧位移（d）或物块速度（v）随时间变化的曲线，结果将是一个正弦曲线。但不要满足于这个答案，我们还没有回答为什么！

要理解这种现象的本质，我们需要引入物理学中一个重要而基础的概念：能量守恒定律。简而言之，在封闭系统（即孤立系统）中，能量可以相互转化（例如从机械能转化为热能），但系统总能量始终保持恒定。

在这个特定实验中，系统能量在弹簧储存的弹性势能与运动物块的动能之间持续转换。振荡系统必须始终遵循以下能量守恒方程：

该方程描述了能量关系，但这并非可直接观测的物理量。我们能够测量弹簧形变量与物块速度，但这些量如何与能量相关联仍不直观，即便查阅维基百科，也难以获得其内在机制的阐释。

弹簧储能机制

弹簧的经验模型非常简单：它是一个线性装置，其回弹力与压缩量成正比。更精确地说，为维持弹簧持续压缩所需的瞬时反向作用力(F)，可由当前形变量(d)与弹簧刚度系数k共同决定，其关系式为：

k 的值取决于弹簧的材料和具体形状，我们可以假设它是某个任意常数。若将上述关系式绘制成图像，将呈现线性特征：

试想当我们将弹簧从初始位置（d=0）压缩至最大形变量dmax时，根据上述公式可知，所需克服的弹簧回复力将从F=0线性递增至F=k×dmax。

对于这种简单的线性递增过程，即使不使用微积分也可通过几何中点原理直观得出：平均推力值即等于该线性曲线的中点值，即：

但力与能量是如何对应的呢？

能量与功密切相关。当你倚靠在静止的割草机上施加推力时，虽然存在力的作用，但此时没有能量转移发生，因此并未对外做功。而当你开始通过把手施加恒力推动割草机上坡时，情况发生本质变化：此时所做的功，即所消耗的能量 (E) 等于施加力 (F) 与移动距离 (d) 的乘积：

这也适用于推动弹簧！我们施加了一个平均值为 Favg 的力，将弹簧压缩了一定的距离 dmax。结合公式，我们可以得到

很好：这就得出了储存在弹簧中的势能。

运动质量的能量

弹簧的能量转换机制相对直观，而运动物体的动能则较难直观理解，但我们可以再次借助能量守恒定律巧妙解析。关键在于：物体运动时所具有的动能，必然等于我们为使其加速至该速度所输入的能量。

换言之，若物块质量恒定为m，只需计算将其从初速度 v = 0 加速至最大速度 vmax 所需做功量。无论采用何种加速方式，两个质量相同、最终速度相同的物块，其动能必然相等。

为简化分析，假设物块在 t = 1 秒内以线性速率加速至目标速度。根据牛顿运动定律，其加速度可表述为

因为从 0 到 vmax 的速度是线性上升的，所以在这 1 秒钟的时间窗口内的平均速度也是：

现在，我们可以用平均速度乘以推动的持续时间，计算出质量在加速过程中移动的距离 (d)：

根据牛顿运动定律，物体的加速度与外力成正比，与质量成反比（a = F/m）。这应该是非常直观的，可以用下式来求解力：

将之前计算出的 a 值代入，即可得到：

在我们设定的理想化加速模型中，无论采用何种加速方式，只要测得持续施加的推力（F）与物块总位移（d），即可通过功的计算公式（W=F×d）直接求出外界对物块所做的总功，这部分功将全部转化为物块的动能：

最后，我们就得到了一个只取决于速度和质量的动能表达式。

我们为什么又要这样做呢？

这才是最重要的部分。现在，我们可以将之前的能量守恒方程重写为：

我特意将k/2与m/2项分离出来：这两项仅是材料相关常数，用于在绘制系统状态图时对位移 d 和速度 v 进行坐标轴缩放。为简化数学表达式，假设通过某种巧合，这些常数值恰好归约为 1，由此得到以下简化后的能量公式：

我们也可以完全忽略系数，用位移和速度的数值关系来重写方程：

这在实践中意味着什么呢？让我们使用直角坐标来绘制一些任意的系统状态：随机选择的块体速度（v）和弹簧挠度（d）的组合：

我们已知 d 和 v 的数值，这些是我们自主选定的参数！但我在示意图中额外添加了一个标记为 x 的线段。该线段表示坐标系原点(0,0)到系统状态点(v,d)的几何距离。

x 的数值可通过勾股定理计算得出：

注意这个表达式与之前的能量守恒条件相似：

若该系统中能量守恒的判定条件是位移平方与速度平方之和（d² + v²）恒为定值，则几何距离 x² 必然同样守恒，进而可推得 x 本身必然是一个（不同于原条件的）恒定值。

这一发现具有重要物理意义：在遵循能量守恒定律的弹簧-质量系统中，所有可能的（v, d）状态点必须与坐标原点 (0,0) 保持等距。而这些等距点的集合恰构成一个几何圆

所以，我们弹簧上的质量装置的可观测状态的确是在圆周上运动的，只是圆被隐藏得很好而已。

其余大部分都是三角形

若您已理解圆周运动如何生成正弦曲线，可直接跳过本节；若尚未掌握，请允许我简要阐述。三角函数最基础的引入方式，通常基于直角三角形各边长的比例关系展开：

若将直角三角形的斜边长度恒定为1，并将其一端固定于坐标系原点，则当角度α从0°递增至360°时，斜边另一端将在平面上描绘出半径为1的圆轨迹：

需明确，正弦函数值sin(α)等于直角三角形中对边（垂直边）长度与斜边长度的比值。在此模型中，斜边长度恒定为1，因此垂直边的长度直接等于sin(α)，而该边长的数值映射到点A的纵坐标。

在此前构建的模型中，沿圆周运动的点被用于描述系统状态：其纵坐标代表位移偏转量，横坐标则对应速度。基于此，我们可以将该系统状态方程改写为关于时间变量 t 的三角函数形式:

但系统是否保持匀速运动？

"稍等"，部分读者质疑道，"我们如何确定系统沿圆周运动的速率是恒定的？" 这一质疑十分关键：若系统沿圆周运动的速率存在非均匀波动，其速度-时间或位移-时间曲线将不再是标准正弦曲线。尽管匀速运动的假设看似最符合逻辑，但我们不能仅凭直觉作结论。

严格的数学证明需借助微积分工具，但一位读者提出了一种易于理解的几何方法：

左图呈现系统状态的几何化表征：左侧圆形的横轴代表物块运动速度（v），纵轴对应弹簧形变量（d）。

右图揭示系统在微观时间尺度下的演化规律 ：右侧面板聚焦于无穷小时间切片（Δt）内的状态变化。当Δt趋近于零时，需借助极大倍率放大观察——此时圆周的局部片段可近似为直线，其偏离直线的曲率仅为高阶无穷小量。

我们需要验证沿圆周运动的增量距离（Δs）是否与瞬时速度v或位移d存在依赖关系，抑或仅由时间变量 t 的函数决定。

基于右侧阴影三角形的几何分析，可应用勾股定理得出：

到目前为止，一切顺利。接下来，让我们思考一下 Δd 实际上是什么：它是我们微小时间片内位移的增加。什么物理量描述了位置随时间的变化？是速度！块的增量位移（因此也是弹簧的增量位移）与瞬时速度 v 和运动持续时间成正比：

我们已知速度 v 会随时间推移逐渐变化，但当时间间隔 Δt 趋近于零时，我们可以近似认为初速度和末速度在数值上相等。

这一极限情况下的速度变化量Δv与加速度a的关系，正如位移变化量Δd与速度v的关系——两者都遵循时间微分框架下的对应规律。具体而言：速度增量与加速度和时间乘积成正比（Δv = a × Δt）

如前所述，物块的加速度与施加的力呈线性正比关系（即 a=F/m）；而弹簧对物块的反向作用力则与整体位移成线性正比关系（即 F=k×d）。本质上，将本文先前讨论的公式联立，可推导出：

刚度系数k与质量m本质上均为系统比例常数，分别决定系统的弹性回复与惯性响应特性；为简化模型推导，本文假设两者在数值上满足特定比例关系，使得简化后的系统方程可最终表述为：

现在，我们可以将 Δv 和 Δd 的这些公式代入之前的小阴影三角形的毕达哥拉斯公式中：

有了 Δs 的公式，我们可以将其除以时间片的持续时间（Δt）来计算系统沿圆行进的速度。为了避免与之前的变量混淆，我将其称为 u：

回顾我们先前关于'状态圆'证明的核心逻辑：在相空间中，速度平方与位移平方之和为定值（即 v2+d2=const）。因此，无论速度v与位移d如何动态组合，沿该状态圆轨迹的瞬时运动速率始终相同。证毕。

尽管分析这类看似异想天开的物理场景需要付出大量努力，但自然界中许多现象都表现出可观测状态与内能之间的类似关联性，以及相互关联物理量变化率的依存关系。例如：电容基本模型与弹簧动力学模型在数学上具有同构性：储存电荷量越大，继续注入电子的阻力越大（电容电压升高），这与弹簧压缩量越大、继续压缩所需外力越大的规律完全一致；电感对电流变化的阻抗机制则与质量块抵抗加速度变化的惯性响应呈现数学等效性：电感阻碍电流变化的方式（V=Ldtdi），恰如质量块遵循牛顿第二定律（F=mdtdv）抵抗速度变化的物理本质。

本文转载自（已经过翻译及校对）：

https://lcamtuf.substack.com/p/why-are-sine-waves-so-common