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本帖最后由 zhihuizhou 于 2011-12-20 11:27 编辑
这个就是约瑟夫环问题的实际场景，有一种是要通过输入n,m,k三个正整数，来求出列的序列。这个问题采用的是典型的循环链表的数据结构，就是将一个链表的尾元素指针指向队首元素。 p->link=head 解决问题的核心步骤：（程序的基本算法） 1.建立一个具有n个链结点，无头结点的循环链表； 2.确定第1个报数人的位置； 3.不断地从链表中删除链结点，直到链表为空。 void JOSEPHUS(int n,int k,int m) //n为总人数，k为第一个开始报数的人，m为出列者喊到的数 { /* p为当前结点 r为辅助结点，指向p的前驱结点 list为头节点*/ LinkList p,r,list; /*建立循环链表*/ for(int i=0；i p=(LinkList)malloc(sizeof(LNode)); p->data=i; if(list==NULL) list=p; else r->link=p; r=p; } p->link=list; /*使链表循环起来*/ p=list; /*使p指向头节点*/ /*把当前指针移动到第一个报数的人*/ for(i=0;i r=p； p=p->link; } /*循环地删除队列结点*/ while(p->link!=p) { for(i=0;i r=p; p=p->link; } r->link=p->link; printf("被删除的元素：%4d ",p->data); free(p); p=r->link; } printf("n最后被删除的元素是：%4d",P->data); } Josephus(约瑟夫)问题的非递归方法 首先我们列出一些有关约瑟夫环的结果： 1 1 2 2 3 2 4 1 5 4 6 1 7 4 8 7 9 1 10 4 11 7 12 10 13 13 14 2 15 5 16 8 17 11 18 14 19 17 20 2021 2 22 5 23 8 24 11 25 14 26 17 27 20 28 23 29 26 30 29 31 1 32 4 33 7 34 10 35 13 36 16 37 19 38 22 39 25 40 28 41 31 42 34 43 37 44 40 45 43 46 46 47 2 48 5 49 8 50 11 51 14 52 17 53 20 54 23 55 26 56 29 57 32 58 35 59 38 60 41 61 44 62 47 63 50 64 53 65 56 66 59 67 62 68 65 69 68 70 171 4 72 7 73 10 74 13 75 16 76 19 77 22 78 25 79 28 80 31 81 34 82 37 83 40 84 43 85 46 86 49 87 52 88 55 89 58 90 61 91 64 92 67 93 70 94 73 95 76 96 79 97 82 98 85 99 88 100 91 意思是，前一个数为约瑟夫环的人数，后一个数为最后出去的人的号码。 从上面的表中我们可以归纳出以下两个规则： 规则1:若上一组数字中最后保留号比人数少一，则下一数从1开始记。 例如第三组（3,2）为上一组，最后保留好为2，比3少1，下一组的数字（4,1），最后保留号为1 规则2:若上一组数字为最后保留号与人数相等，则下一数从2开始记。 以下是C语言编写的程序。 #include #define M 200 int main() { int temp=0; int b=1,k=0; for(int i=1;i<=M;i++) { temp=b+3*k; if(i==temp)//规则2:若上一组数字为最后保留号与人数相等，则下一数从2开始记。 { b=2; k=0; continue; } else if(i-temp==1)//规则1:若上一组数字为最后保留号比人数少一，则下一数从1开始记。 { b=1; k=0; continue; } k++; } printf("%d %d ",M,temp); return 0; } Josephus(约瑟夫)问题的数学方法 无论是用链表实现还是用 为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意： 问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到m-1的退出 ，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。 我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2 并且从k开始报0。 现在我们把他们的编号做一下转换： k --> 0 k+1 --> 1 k+2 --> 2 ... ... k-3 --> n-3 k-2 --> n-2 序列1： 0, 1, 2, 3 … n-2, n-1 序列2： 0, 1, 2, 3 … k-1, k+1, …, n-2, n-1 序列3： k, k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, 1, 2, 3,…, k-2, 序列4：0, 1, 2, 3 …, 5, 6, 7, 8, …, n-3, n-2 变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来： ∵ k=m%n; ∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n ∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n 得到 x‘=(x+m)%n 如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式： 令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]. 递推公式: f[1]=0; f=(f[i-1]+m)%i; (i>1) 有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。我们输出f[n]由于是逐级递推，不需要保存每个，程序也是异常简单：(注意编号是0 -- n-1) #include int main(void) { int n, m, i, s=0; printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m); for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i; printf ("The winner is %dn", s); return 0 ; } 时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。 参照上面提供的思路，我认为可以类似的得到一个更易于明白的方法，设有（1,2,3，……，k-1，k，k+1，……，n）n个数，当k出列时，那么有 k+1 -->1 k+2 -->2 ... ... n -->n-k 1 -->n-k+1 ... ... k-1 -->n-1 由上面一组式子可以推出，若知道新产生的n-1个数中某个数x，那么很显然可以推出x在原数列里的位置，即x‘=（x+k）%n,由此，我们可以得到一个递推公式 f[1]=1 f[n]=(f[n-1]+k)%n （n>1） 如果你认为上式可以推出约瑟夫环问题的解，很不幸，你错了，上面的递推公式中，在某种情况下，f[n-1]+k会整除n，如n=2，k=3，这时我们修要对上式进行修正， f[n]=(f[n-1]+k)%n;if(f[n]==0)f[n]=n; 问题得解。 程序代码如下： #include int main() { int n,k,s=1; scanf("%d%d",&n,&k); for(int i=2;i<=n;i+=1) { s=(s+k)%i; if(s==0)s=i; } printf("ans=%dn",s); return 0; } 当然，我们还可以用递归方法解决此问题： #include int main() { int jos(int n,int k); int n,k,s; scanf("%d%d",&n,&k); s=jos(n,k); printf("ans=%dn",s); return 0; } int jos(int n,int k) { int x; if(n==1)x=1; else {x=(jos(n-1,k)+k)%n;if(x==0)x=n;} return x; } 解决Josephus( program Josephus(input,output); type pointer=^nodetype; nodetype=record data:integer; link:pointer end; var head,next,last:pointer; i,n,s,j,m,k:integer; begin writeln('请输入组成约瑟夫环的人数：'); read(n); new(head); head^.data :=1; last:=head; for i:=2 to n do begin new(next); next^.data :=i; last^.link :=next; last:=next end; last^.link :=head; next:=head; repeat begin writeln(next^.data ); next:=next^.link end; until next=head; readln; next:=head; writeln('请输入第一个报数人的位置:'); read(s); j:=1; if s<=n then while j next:=next^.link ; j:=j+1 end else writeln('你的输入有误'); writeln('请输入出列人的位置:'); read(m); while next^.link <>next do begin k:=1; while k last:=next; next:=next^.link ; k:=k+1 end; writeln(next^.data ); last^.link :=next.link ; next:=next^.link end; writeln(next^.data ); readln; readln end.C语言模拟 约瑟夫环 #include #define M 10/*总人数*/ #define N 5 #define START 0/*第一个报数的人*/ void main(void) { int a[M],i=0,k,count=0; while(i++ for(i=START;count<=M-1;count++) { for(k=1;k<=N;a[i++]&&++k)/*根据&&运算的路短原理，若a为0的话，++k的运算会被省略而++i的运算总会进行*/ if(i>M-1) i=0; printf("%d ",i?a[i-1]:a[M-1]); a[(i?(i-1):(M-1))]=0; } getch(); }C#描述 /// /// static void Main(string[] args) { /* *已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。 *从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列； *他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列； *依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。 */ int n = 7; int k = 2; int m = 3; Link head = new Link() { Value = "1" }; Link node = head; for (int i = 2; i <= n; i++) { node.Next = new Link(); node = node.Next; node.Value = i.ToString(); } node.Next = head; //循环链表建立完毕 Link cur = head; //指针移动到第K个人 for (int i = 1; i < k; i++) { cur = cur.Next; } //开始报数 do { for (int i = 1; i < m - 1; i++) { cur = cur.Next; } Console.WriteLine(cur.Next.Value); cur.Next = cur.Next.Next;//删除第m个人 cur = cur.Next;//指针指向m+1 } while (cur != cur.Next);//仅剩下一个人，报数结束 Console.WriteLine(cur.Value); } /// /// 循环链表节点 /// public class Link { public string Value; public Link Next; } Java递归实现 import java.util.LinkedList; /** * * @author Love yali_deng forever * */ public class Yuesefu { /** * 约瑟夫环是一个数学的应用问题： * * 已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个 *人出 列； * 他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。 * * @param args */ private static StringBuffer removedStr = new StringBuffer("");// 记录出列的数字 public static void main(String[] args) { long startTime = System.currentTimeMillis(); // 获取开始时间 process(5000, 10, 1); System.out.println(removedStr.substring(0, removedStr.length() - 1)); long endTime = System.currentTimeMillis(); // 获取结束时间 System.out.println("程序运行时间： " + (endTime - startTime) + "ms"); } public static void process(int n, int k, int m) { // 构建一个list，存放人数 LinkedList for (int i = 0; i < n; i++) { if (i + k > n) { list.add(i + k - n); } else { list.add(i + k); } } int count = 1;// 记录数的人数 cycleCal(list, count, m); } public static void cycleCal(LinkedList int len = list.size(); if (len > 1) { for (int i = 0; i < len; i++) { if (count == m) {// 第m个时，remove removedStr.append(list.get(i)).append(","); list.remove(i); len = list.size(); i--; count = 0; } count++; } cycleCal(list, count, m); } else { if (len != 0) { removedStr.append(list.get(0)).append(","); } } } } 
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