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这些巴特沃斯滤波器设计细节你知道吗?

2021-1-15 09:32:50  889 滤波器 巴特沃斯 滤波器设计
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在使用滤波器对信号频谱进行整形的应用中(例如在通信或控制系统中),对于简单的一阶滤波器,滚降的形状或宽度(也称为“过渡带”)可能会太长或因此需要设计有多个“阶”的宽且有源滤波器。这些类型的滤波器通常被称为“高阶”或“n个阶”过滤器。


复杂性或滤波器类型由滤波器的“顺序”定义,并且取决于其设计中的电抗组件(例如电容器或电感器)的数量。我们还知道,滚降速率以及过渡带的宽度取决于滤波器的阶数,对于简单的一阶滤波器,其滚降速率为20dB / decade或6dB。 /八度。
然后,对于具有第n个数字阶的滤波器,其随后的滚降率将为20n dB /十倍频程或6n dB /八度音程。因此,一阶滤波器的滚降速率为20dB /十倍频程(6dB /倍频程),二阶滤波器的滚降速率为40dB /十倍频程(12dB /倍频程),四阶滤波器的衰减率为80dB / decade(24dB / octave)等

高阶滤波器,例如三阶,四阶和五阶,通常是通过将单个一阶和二阶滤波器级联在一起形成的。

例如,可以将两个二阶低通滤波器级联在一起以生成一个四阶低通滤波器,依此类推。尽管对可以形成的滤波器的顺序没有限制,但是随着顺序的增加,其尺寸和成本也随之增加,其精度也会下降。

十年和八度
关于十年八度的最后评论。在频率范围内,十年是增加十倍(乘以10)或减少十倍(除以10)。例如,2到20Hz代表十年,而50到5000Hz代表二十年(50到500Hz,然后是500到5000Hz)。

一个八度是在频率标度的加倍(乘以2)或减半(除以2)。例如,10到20Hz表示一个八度,而2到16Hz则是三个八度(2到4、4到8,最后是8到16Hz),每次加倍频率。无论哪种方式,对数刻度都在频域中广泛使用,以表示与放大器和滤波器配合使用时的频率值,因此了解它们很重要。

对数频率标度

由于频率确定电阻器均相等,且可如频率确定电容,截止或转角频率( ƒ Ç )为任何一个第一,第二,第三或甚至第四阶滤波器也必须相等,并且没有发现通过使用我们现在熟悉的等式:

与一阶和二阶滤波器一样,三阶和四阶高通滤波器是通过简单地互换等效低通滤波器中的频率确定组件(电阻和电容器)的位置而形成的。可以按照我们先前在低通滤波器和高通滤波器教程中看到的过程设计高阶滤波器。但是,由于所有频率确定分量均相等,因此高阶滤波器的总增益是固定的

滤波近似
到目前为止,我们已经研究了低通和高通一阶滤波器电路,以及它们产生的频率和相位响应。理想的滤波器将为我们提供最大通带增益和平坦度,最小阻带衰减以及非常陡峭的通带以阻止阻带滚降(过渡带)的规格,因此很明显,大量网络响应会满足这些要求。

毫不奇怪,线性模拟滤波器设计中存在许多“近似函数”,它们使用数学方法来最佳近似滤波器设计所需的传递函数。

这样的设计被称为EllipticalButterworthChebyshevBesselCauer以及许多其他设计。在这五个“经典”线性模拟滤波器逼近函数中,只有Butterworth滤波器,尤其是低通Butterworth滤波器设计将被视为其最常用的函数。

低通巴特沃斯滤波器设计
巴特沃斯滤波器逼近函数的频率响应通常也被称为“最大平坦”(无波纹)响应,因为通带被设计为具有从数学上尽可能平坦的频率响应,从0Hz(DC)直到截止, -3dB的关断频率,无波动。截止点以外的更高频率会在阻带中以20dB / decade或6dB / octave的频率下降至零。这是因为它的“品质因数”(Q)仅为0.707。

但是,巴特沃思滤波器的一个主要缺点是,当滤波器从通带变为阻带时,它会以较宽的过渡带为代价来实现这种通带平坦度。它的相位特性也很差。下面给出了针对不同滤波器阶数的理想频率响应,称为“砖墙”滤波器,以及标准的Butterworth近似值。
巴特沃斯滤波器的理想频率响应

请注意,巴特沃思滤波器的阶数越高,滤波器设计中的级联级数就越多,并且滤波器越接近理想的“砖墙”响应。
但是,实际上,巴特沃斯的理想频率响应是无法实现的,因为它会产生过多的通带纹波。

在表示“ n”阶巴特沃思滤波器的广义方程式下,频率响应为:

其中:Ñ表示滤波器阶,欧米茄ω等于2πƒ和Epsilon ε是最大通带增益,(A最大值)。如果A最大值是在一个频率定义等于所述截止-3dB角点(ƒc),ε然后将等于一个,因此ε 2也将是一个。但是,如果现在希望定义一个最大在不同的电压增益的值,例如1dB或1.1220(1分贝= 20 * LOGA最大值),然后小量的新值,ε是由实测值:
  • 哪里:
  •   H 0 =最大通带增益,A max。
  •   H 1 =最小通带增益。
将等式转置为:

滤波器的频率响应可以通过其传递函数数学定义,标准电压传递函数H(jω)表示为:
  • 哪里:
  •   Vout =输出信号电压。
  •   Vin   =输入信号电压。
  •      j    = -1的平方根(√ -1)
  •     ω   =弧度频率(2πƒ)

注意:(jω)也可以写为(s)表示S域。二阶低通滤波器的最终传递函数为:

归一化低通巴特沃斯滤波器多项式
为了帮助设计他的低通滤波器,Butterworth给出了归一化二阶低通多项式的标准表,给出了对应于1弧度/秒的截止转折频率的系数值。
ñ因式归一化分母多项式
1个(1+秒)
2(1 + 1.414秒+秒2)
3(1 + s)(1 + s + s 2)
4(1 + 0.765s + s 2)(1 + 1.848s + s 2)
5(1+秒)(1 + 0.618s +秒2)(1 + 1.618s +秒2)
6(1 + 0.518s + s 2)(1 + 1.414s + s 2)(1 + 1.932s + s 2)
7(1 + s)(1 + 0.445s + s 2)(1 + 1.247s + s 2)(1 + 1.802s + s 2)
8(1 + 0.390s + s 2)(1 + 1.111s + s 2)(1 + 1.663s + s 2)(1 + 1.962s + s 2)
9(1 + s)(1 + 0.347s + s 2)(1 + s + s 2)(1 + 1.532s + s 2)(1 + 1.879s + s 2)
10(1 + 0.313s + s 2)(1 + 0.908s + s 2)(1 + 1.414s + s 2)(1 + 1.782s + s 2)(1 + 1.975s + s 2)
滤波器设计–巴特沃思低通
找出一个有源低通巴特沃斯滤波器的阶数,其规格如下:在通带频率(ωp)为200弧度/秒(31.8Hz)时,A max = 0.5dB,在阻带频率时,A min = -20dB(ωs)为800弧度/秒 还设计一个合适的巴特沃斯滤波器电路来满足这些要求。
首先,最大通带增益A max = 0.5dB等于增益1.0593,请记住:在200 rads / s的频率(ωp)时0.5dB = 20 * log(A),因此epsilon的值ε通过以下方式找到:

其次,最小阻带增益A min = -20dB,等于阻带频率(ωs)为800 rads / s或127.3Hz时的增益10(-20dB = 20 * log(A))。
将这些值代入Butterworth滤波器频率响应的通用方程式后,可以得出以下结果:

由于n必须始终为整数(整数),因此下一个最大值2.42为n = 3,因此“需要三阶滤波器”并生成三阶Butterworth滤波器,即二阶滤波器级需要与一阶滤波器级联在一起。

从上面的标准化低通巴特沃斯多项式表中,三阶滤波器的系数为(1 + s)(1 + s + s 2),这使我们获得3-A = 1的增益,或A = 2。当A = 1 +(RF / R1)时,为反馈电阻器Rf和电阻器R1选择一个值,分别得出1kΩ和1kΩ的值为:(  1kΩ/1kΩ)+ 1 = 2。

我们知道,截止拐角频率,-3dB点(ω Ø)可以用公式得到1 / CR,但我们需要找到ω Ø从通带频率ω p然后,

因此,截止转折频率为284 rads / s或45.2Hz(284 /2π),并使用熟悉的公式1 / CR可以找到三阶电路的电阻和电容值。
请注意,最接近0.352uF的首选值将是0.36uF或360nF。
三阶巴特沃斯低通滤波器
最后,我们的三阶低通巴特沃斯滤波器电路的截止转折频率为284 rads / s或45.2Hz,最大通带增益为0.5dB,最小阻带增益为20dB。
因此,对于转折频率为45.2Hz的三阶巴特沃斯低通滤波器,C = 360nF和R =10kΩ

金文 2021-1-16 11:01:23
学习了,感谢分享!
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