21. 什么是汉明距离和码重 ?
汉明距离(或称码距)是指两个码字i C 、j C 间不相同分量的数目,用( ) i j d C ,C 表示,
它是码字间区分程度的量度。
编码中的一个很有用的概念——最小码距min d ,就是指码字集合中所有码对之间最小
的距离,即:
事实上,最小码距只是表明了码字纠错范围的极限。一种编码方式的实际纠错能力还取
决于码字重量的分布和特定的译码算法。
码重指码字中非零元素的数量,用( ) i ω C 表示。同样可以定义最小码重的概念,即码字
集合中所有非零码字重量的最小值。
由于码集合的封闭性,容易证明最小码距和最小码重相等。
22. 什么是生成矩阵 ?
生成矩阵的行向量{ } i g 是线性无关的,是码字集合这个k 维线性子空间的基底。
由此可见,任何一个码字都是行向量{ } i g 的线性组合。对于系统码来说,其生成矩阵
的前半部分( k × k )为单位阵。任何生成矩阵都可通过行运算和列置换转化成系统形式;也
就是说,任何非系统线性分组码都和一个系统线性分组码等效。
23. 什么是监督矩阵 ?
既然码字集合是n 维线性空间的k 维线性子空间,那么它在这个n 维线性空间上必有一
个r = n ? k 维零空间。用这个零空间的基底构成矩阵,有:
24. 什么是循环码?什么是生成多项式 ?
循环码是线性分组码的一个重要子集, 它满足循环移位特性, 即: 如果
得到的多项式h( p) 就是校验多项式。
循环码具有的特殊代数性质有助于按照要求的纠错能力系统地构造这类码。同时,循环
码还有易于实现的特点,很容易用带反馈的移位寄存器实现其硬件,并且简化译码算法。因
此,这种码得到了透彻的研究和广泛的应用。下面介绍的两种应用于数字视频通信的分组码
BCH 码和RS 码都是循环码的子类。
25. 什么是 BCH 码 ?
1959 年Bose、Chandhari 和Hocquenghem 发明了一类能纠多个随机错误的循环码,并
以他们名字的第一个字母命名,这就是BCH 码。它具有纠多个错误的能力,纠错能力强,
构造方便,编译码方法简单,有严格的代数结构,在短、中等码长下其性能接近理论值。
BCH 码在许多领域得到了广泛应用。
假设二进制循环码的生成多项式g(p)在域GF(2n ) 上有r = n ? k 个不相等的根(有重
根的码一般比没重根的码差,所以不考虑),那么每个根有一个以它为根的最低次多项式,
称为最小多项式。而生成多项式就是所有根的最小多项式的最小公倍式。
用一个域GF(2m ) 中的n 级元素α 的d ?1个连续幂次为根的多项式生成的循环码称
为BCH 码。如果这些根中有本原元,则成为本原BCH 码。一个纠t 个符号错误的BCH 码
有如下参数:
非本元BCH 码的码长是2m ?1的因子。二进制BCH 码的码长都为奇数。能纠单个错误的
循环汉明码是一种本元BCH 码,而著名的高莱(Golay)码就是非本元BCH 码的例子。
BCH 码的译码方法分为时域译码和频域译码两类。由于算法的详细说明过于繁琐,在
此不作详解。
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