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[讨论] 自然界对于波的认识以便更好地理解薛定谔波方程
6 天前  33 量子力学
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本帖最后由 ygpotsyyz 于 2020-8-1 15:41 编辑

    自然界对于波的更多认识 以便更好地理解量子力学经典薛定谔波方程
I. 章节22-1,-8
振动体,琴弦的边界条件,共振
420-432页
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章节22-1 振动体,琴弦的边界条件           420页  
在第21章中,我们学习了在没有边界的媒体中的波的传播。即,我们不关心一个波会到达弹性媒体的一个端头或者边缘,它传播在其中。当这样的边缘起着一个有意义的角色,波运动的有趣和重要的新的方面出现了。
做为一个例子,让我们思考当一个波脉冲或者波串沿一根延伸的琴弦前行到达弦的端头,会发生什么。如果端头固定在一个牢固的支撑上, 它必须保持在静止。到达的波施加了一个力在支撑上;对这种力的反应在弦上“踢回头”,并建立了一个反射脉冲或者波串以反方向旅行。
在一个牢固固定的端头的相反极端是完全自由地横向自由运动沿琴弦的长度。例如,这根琴弦可能系到一个轻的圆环, 它在垂直于琴弦长度的一根光滑杆子上滑动;圆环和杆子保持琴弦的张力但是不施加横向的力。在自由的一端到达的脉冲或者波串造成端头“超调”,并且再次建立了一个反射波,例如附加一个牢固的支撑或者完全没有横向力,称为边界条件。
多闪照片如图22-1显示在一根琴弦的固定端的一个脉冲的反射。(照相时相机垂直倾斜以使连续的图像一个叠在一个上面。“琴弦”是个橡胶管有些松弛。)反射的脉冲传播的方向和位移都相反。 当反射发生一个自由端时,传播的方向反向但是位移的方向不变。
以下列方式思考反射过程是有帮助的。 想象琴弦无限地延伸到它的实际的端头后面。  
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章节22-1  琴弦的边界条件                421页
22-1 一个脉冲从左上角开始,向右旅行, 并且在右边琴弦的固定端反射。
22-2 一个脉冲的反射的描述(a)在一根琴弦的固定端,和(b)在一个自由端, 以想象的术语“虚拟”脉冲表示。(a)入射脉冲 固定的 虚拟脉冲  (b)入射脉冲 自由 虚拟脉冲  
实际的脉冲可以认为继续到现象的部分好像支撑不在一样, 而同时一个虚拟的脉冲,旅行在想象的部分,移动出去进到实际的琴弦并形成反射脉冲。两种情况显示在图22-2中。
在一个点上实际的和虚拟的脉冲相互交叉的位移是独立的脉冲的位移的代数。图22-3和22-4显示了接近琴弦端头的区域的形状,对于两种类型的反射波,图22-3为一个自由端以及图22-4为一个固定端。 以后面的情况,入射和反射脉冲必须以这样的方式组合,即琴弦端头的位移总是为零。   
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章节 22-2 振动体                          422页
22-3 在一个自由端的反射   
22-4 在一个固定端的反射   
章节 22-2 重叠和驻波  
当一个不断连续的波, 例如一个正弦波,到达了一根琴弦的固定端, 在这个端子起始一个对应的不断地连续波并以反方向旅行。琴弦合成的运动由一个非常重要的原理确定,为有名的叠加原理,它陈述在琴弦上的任何点的实际位移,在任何时候,是通过加上那点有的位移得到的,如果仅仅有第一个波存在,并且它会仅仅在第二个波有位移。
数学上讲, 叠加原理陈述在上面的情况描述合成运动的波函数是通过相加两个分开的两个波函数得到的。  
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章节 22-2 叠加和驻波                   423页
22-5 (a)一根伸展琴弦中的驻波(时间曝光),(b)一个驻波的多闪照片,有节点在中央和在端头。
22-6 一个驻波的形成。 一个波向右旅行与向左的波结合(淡色线条)形成驻波(深色线条)。  
这种波函数的相加特性取决于依次波方程式的格式,方程式(21-14),它必须由任何物理可能的波函数满足。特定地,波方程式是线性的;及它包含函数y的微分仅仅到第一次方。结果, 如果任何函数y1(x,t)和y2(x,t)每个分别满足方程式, 它们的和y1+y2自动满足波的方程式,为此也是一个物理上可能的运动。
叠加原理对于所有类型的波是中心重要的;它不仅应用于一根琴弦上的波,还用于声波,电磁波(例如光),以及所有其它波的现象,这里波的方程式是线性的。 干扰的一般术语用于描述现象, 结果来自通过同一区域在同一时间的两个或者更多的波。
当一个正弦波在琴弦上的一个固定点反射时,合成的运动没有证据显示两个波以相反的方向运动。如果频率足够大目视不能跟随运动,琴弦显示分成数个小段,如相片的时间曝光图22-5a。同样的琴弦的一张多曝光相片,在图22-5b中,指出了琴弦的少数几个瞬间的形状。 在任何时刻它的形状是一个正弦波,然而在一个旅行的经行波中幅度保持恒定,这里波保持在固定位置(径向)而幅度波动。 已知为节点的一定的点总是属于静止。这些点的中途,在循环或者反节点,波动最大。总的来讲振动称为一个驻波。  
为了理解驻波的形式,考虑波形的分离的格式,在四个时刻相距一个周期的十分之一, 如图22-6所示。 灰色的曲线代表一个波旅行向右。     
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章节 22-3 振动体                       424页
浅色的曲线代表一个波以相同的传播速度,波长和幅度向左旅行。 深色的曲线代表合成的波形,通过应用叠加原理获得,即通过相加位移。在那些标有N的地方如图22-6,合成的位移总是零。这些是节点。这些节点的中间,振动有最大的幅度。这些事反节点。图中明显
     {相邻节点之间的距离  }
     {       或者         }=?拉姆达r/2?.
     {相邻反节点之间的距离}
22-6中的驻波的波函数的获得可以通过相加两个反方向旅行的波,幅度,周期和波长相等。所以,如果
       y1=Asin(wt-kx) (正x-方向),
       y2=-Asin(wt+kx)(负x-方向),
那么  
       y1+y2=A【sin(wt-kt)-sin(wt+kt)】.
介绍表达式,两个正弦的角度的相加和相减,以及合并项, 我们得到
        y1+y2=-[2Acoswt]sinkx.    (22-1)
所以在每一时刻的琴弦的形状,一个正弦波曲线它的幅度(括号内的表达式)随时间变化。显示的不是旅行的波的形状,而是在一个位置的正弦位移随着时间变大和变小。在琴弦上的每一个点还经历了和谐的运动, 但是除了相邻点之间的运动不断增加的相差,所有的点同相(或者180度的相差)。  
节点的位置可以从方程式(22-1)获得。无论何地sinkx=0 , 位移总是零。 这发生在kx=0,pi,2pi,3pi?,。。。。,或者
            x=0,pi/k?,2,3.....
             =0,拉姆达r/2,3/2,....      (22-2)
22-3 一根两端固定的琴弦的振动
到目前为止我们已经讨论了一根长的琴弦固定在一端, 并且考虑了驻波的建立接近那个端头,通过入射和反射波的干扰。让我们下一步考虑更一般的情况, 即一根两端固定的琴弦。 一个正弦波反射并再被反射了;并且由于琴弦固定在两端, 两个端子都必须是节点。由于相邻的节点间距半个波长,琴弦的长度会是
          拉姆达r/2, 2,3,  
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章节 22-3 两端固定的一根琴弦的振动         425页
或者一般地,任何半个波长的整数。或者(不同的描述)如果一位考虑一根独特的琴弦长度L,琴弦中设立的驻波以数个不同的驻波振动, 即, 那些给出的波的波长
       拉姆达r=2L,,,,,,= 2L/n (n=1,2,3,...). (22-3)
对于所有的频率波速c是相同的。 从关系式f=c/拉姆达r, 可能的频率是   
       f=c/2L,......=nc/2L  (n=1,2,3...).    (22-4)
最低的频率,c/2L,称为基础频率f1和其它的是超音调。 所以后面的频率2f1,3f1,4f1,以及等等。超音调它们的频率是基础的整数倍称为形成一个和谐的系列。基础的是第一和谐。频率2f1是第一超音调或者第二和谐,频率3f1是第二超音调或者第三和谐,等等。   
上述的结果也可能直接从方程式(22-1)得到。 边界条件要求y1+y2=0,在琴弦的端头,即x=0和x=L。由于正弦的零是0 , 第一个条件自动满足。第二要求sinkL=0 , 并且这是真的,仅当k具有一定的特殊值。一个角的正弦是零仅当角是0时,或者?pi(180度)的一个整数倍。所以我们必须有   
          kL=npi? (n=1,2,3,....).   (22-5)  
我们不包括n=0的可能性, 因为那给出k=0 , 例如, 一个波到处都是0位移(一个可能的情况,事实上, 不是所有非常有趣的一个!)。
代替上述k由2pi?/拉姆达r,我们得到
      2piL?/拉姆达r?=npi? 或者 拉姆达r=2L/n?,    (22-6)
与方程式(22-3)相符。
方程式(22-4)给出的每个频率对应于运动的一个可能的正常模式,即一根琴弦中每个颗粒的正弦运动,都以相同的频率。如上述分析显示有一个有限数目的模式,每个有它自己的特性频率。这种情况明显与简单的和谐震荡系统对照,一个单独的质量和一根琴弦。和谐振荡器仅仅只有一个正常的模式和一个特征频率, 而震荡的琴弦有无数个。
当一个悬挂在琴弦上的物体拉下并释放,仅会相继产生一个频率的震荡。 如果一根琴弦起初变形以致它的形状等同于任何可能的和谐之一,它会振荡, 当释放时, 在那个独特的和谐频率。 当敲击一个钢琴键或者弹拨一根吉他琴弦时,在合成的震荡中不仅仅是基础的而会有许多超音调出现。所以这种运动是正常模式的组合或者叠加。几个频率和运动是同时的,并且在琴弦上的任何点的位移是 *******************************  
章节22-4 振动体 径向驻波                  426页
22-7 源(S)NANANANAN 振动音膜 在节点汇集的粉末
气体输入音管内
孔脱管用于确定一种气体中的声音的速度。 阴影表示气体分子的密度在一个时刻当压力在位移的节点是最大或者最小。
关联的独立模式的和(或者叠加)。
振荡的琴弦的基础频率是f1=c/2L,这里, 来自方程式(21-15), ?c=(S/u)**0.5. 接着
                f1=1/2L(S/u)**0.5.     (22-7)
琴弦乐器提供了这个方程式包含的许多例子。例如,所有的这些仪器的“调校”是变化张力S, 张力的增加会增加频率或者高音,并且反之亦然。频率反向依赖于长度L通过长的琴弦示范,钢琴的低音部分或者中世纪的弦乐器的低音部分, 相比于较短琴弦的钢琴高音或者小提琴。用手指对着一架小提琴或者吉他压下琴弦改变琴弦振动部分的长度是改变高音的一般方式,在演奏这些乐器时。蜷曲一架钢琴的这些重音琴弦的重音是增加质量的单位长度u,以得到要求的低频而不恢复一根长而不便得琴弦。  
22-4 径向驻波
径向波沿一定长度管旅行在管的端头反射方式非常等同于在一根琴弦的端头反射的横向波。反方向旅行的波之间的干扰再次给出了驻波。
当反射发生接近一个闭合的尾端,那里颗粒的位移必需总是零。所以一个封闭的尾端是一个位移节点。如果管子的端头是开的,反射的特性更加复杂,并且取决于比波长管子更宽或者更窄。如果管子比波长窄,是大多数乐器中的情况,发射是这样的开的端头是一个位移的反节点,原因讨论如下。为此径向波在一管流体中的反射在封闭和开的端头的管子中反射的方式相应地等同于一根琴弦的固定端和自由端反射的横向波。一管气体中的驻径向波方便地演示,通关器件帮助如图22-7所示,知名的昆特管。一根玻璃管大约一米长在一个端头玻璃封闭
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章节22-5 风琴管的振动                  427页
22-8  
而另一个端头是弹性模封闭。管内认可研究的气体在一个已知的温度和大气压。一个径向波的源,S,它的频率可能变化,造成弹性膜的震荡。少量的轻的粉尘或软木粉均匀地沿管子撒开。
当发现了一个频率管子中的空气处于共振,驻波的幅度变得足够大使气体颗粒沿管子扫过软木粉,在气体运动中的所有点。粉尘所以在位移的节点汇集,而气体保持静止。有时一根导线沿管子的轴跑动,通过电流保持暗红色。节点它们自己显示为红点, 于反节点相比,由移动的气体冷却。
在一个驻波中, 两个相邻节点之间的距离是半个(不是一个)波长;得到波长?拉姆达r?是通过测量粉末交替的块之间的距离。当已知频率f,速度c那么是
                      c=?f拉姆达r?
在一个位移的节点,压力变化在均值上下是最大,然而在一个位移的腹点,压力不变。这可以容易地理解实现,两个小的质量的气体在一个位移节点的对边以反相震动。当它们相互接近时,节点上的压力最小。两种小质量的气体,在一个位移的腹点的对面同相振动, 并且在腹点没有造成压力变化。      
我们会讲压力节点, 这里点的压力不变, 并且压力腹点, 点的变化是最大。以这种语言,一个压力点总是一个位移的腹点, 并且一个压力的腹点是一个位移节点。一个管子或杆子的开端是一个压力节点因为这样一个端子对大气压是开的所以是在恒压。但是也是由于这个原因一个开的端子总是一个位移腹点,如上所述。
22-8会有益于可视化一个径向驻波。为了使用这个图,切一个1/16英寸宽,?3?1/2英寸长的缝隙在一张卡上。把卡盖置在示意图上缝隙水平并以恒速垂直移动。出现在缝隙的曲线部分对应于一个径向驻波中的颗粒的震荡。
22-5 风琴管的震荡  
如果一根管子的一端开着并且一股气流指向一个边沿,振动设立并且管子以它的固有频率共振。如一根拨动的琴弦的情形,基础和高音同时存在。在一根管子的两端开口的情况下,基础频率f1对应于一个每个端头的腹点,和中间的一个节点,如图22-9顶部所示。接着示意图     
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章节22-6 振动体 杆子和碟子的振动       428页   
22-9 一个开口的风琴管的振动模式
22-10 一个停止的风琴管的振动模式
22-11 一根杆子的振动模式  
22-9显示了两个高音调, 它们视为第二和第三和谐。在一根开着的管子基础频率是c/2L,并且呈现所有的和谐。
一个停止的管子的特性(一端开,另一端闭)如图22-10显示。 发现基础频率是c/4L,它是一根相同长度的开口管子的一半。以音乐的语言,一个封闭管的高音是八分之一低于(频率中一个2的系数)等长度的一个开着的管子。 来自下面的图22-10,可以看到第二,第四等等,和谐丢失。所以在一根停止的管中, 基础频率是c/4L,而且仅仅呈现奇数的和谐。
在一根风琴管中几个模式几乎总是立即出线。模式高于基础的延伸的出现取决于管子的横截面,长度对宽度的比值,无论管子是直的或者锥形的, 并且对于材料有点延伸。音调的和谐成分是一个重要因数在确定“音质”或者音品。一根非常细的管子产生一个音调富有较高的和谐,耳朵察觉“纤维”和细声, 而一根较粗的管子原则上产生基础音调,察觉为一个更柔和,更像长笛的音调。  
*22-6 杆子和碟子的震动
一根杆子可以设为径向震动,通过在一些点夹住它并施加一个合适频率的随时间变化的力。在图22-11a中,杆子夹在中间,结果建立一个驻波以一个节点在中间和腹点在每个端头,完全等同于一根开口的风琴管的基础模式。杆子的基础频率然后是c/2L, 这里c是杆子内径向波的速度。由于一个固体内的一个径向波的速度比它在空气中大很多,一根杆子具有一个较高的基础频率比等长的一个开口的风琴管。
当管子夹在它的长度的1/4的一个点到一个端子如图22-11b,会产生第二和谐音等等。
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章节 22-7 径向波的干扰                    429页
22-12 膜的震动模式,显示节线。每一个模式的频率用基础的频率,f1表示。(从震动和声音采用,莫尔斯势,麦格劳-希尔图书公司1984年。出版商许可。)
22-13 演示径向波的器件。
A, S, 接收R,滑动管B  
当一张伸展柔性的膜例如鼓膜被敲了一下,一个两维的脉冲从敲击点向外旅行并且在边缘反射再反射。如果有些膜上的点强迫周期性震动,连续的波子沿膜旅行。 正如伸展的琴弦,膜上可以建立了驻波;每一个这样的波有一个一定的固有频率。最低的频率四基础而其它是高音。一般地,当膜震动是,出现数个高音。
震动膜的节点是线条(节点线)而不是点。膜的边缘明显是一根这种线。一块圆形膜的一些其它可能的节点线如图22-12箭头所示。每个模式固有频率以基础的术语f1表示。注意高音频率不是f1的整数乘数。即它们不是谐声。
一块震动柔性膜中的回复力来至它展开的张力。 一块金属板,如果够厚,以一种类似的方式震动, 回复力由板中的弯曲压力产生。膜和板的震动的研究关系到扩音喇叭的音膜的设计,电话机接收器和麦克风的音膜,和许多其它声学器件。
22-7 径向波的干扰
空气中的两个径向波之间有干扰现象由器件帮助演示如图22-13所示。一个源S发射的波送入一根乐管,这里它分成两个波,一个跟着常数路径SAR,另一个路径SBR,它会通过向右滑动B管来变化。假如源的频率是350赫兹(Hz)。 那么波长是?拉姆达r?=e/f=1.0米(m)。 如果路径是相同的长度, 两个波到达同时R,并且两个波建立的震动同向。 合成的震动有一个幅度等于两个独立幅度的和,并且强化或者建设性的干扰现象可以检测到,在右边R的耳朵或者帮助来自一只麦克风,放大器,和扩音喇叭。     
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章节22-8 振动体 共振                         430页
22-14 放大器  A B   
现在假设管B移出0.25米(m)的距离,所以使得路径SBR0.5米(m)长于路径SAR。右手边的波比左手边的波大?拉姆达/2?的一段距离,并且由右手边的波设立的震动所以与左手边设立的波成反向。在右手边(R)的声音明显减少表明了破坏性干扰和抵消。
如果管B现在推出另一个0.25米(m),以致路径的差别SBR-SAR是1.0米(m)(1个波长),在右边(R)的两个震动再次相互强化。 所以
{当路径差别时强化发生}=0,?拉姆达r?,2拉姆达r?,等等。
{当路径差别时抵消发生}=拉姆达r/2,3r/2,5r/2,等等。
由相同的放大器驱动的两个扩音喇叭演示了一个类似的现象,如图22-14所示。 假设两个喇叭发射恒定频率的一个纯正弦波。如图一只麦克风放在点A,离开喇叭相同距离,它会收到一个强的声音信号,对应事实来自喇叭发射的两个波同相也到达点A同相,并且相互相加。但是在点B信号很弱当只有一个喇叭出现时,对应于事实来自一个喇叭的波旅行一个半波长更远比另一个;两个到达差一个半周期并且几乎完全相互抵消。一个接近类似于这个的试验,但是是使用光波,为光波的特性提供了首要的终结性证据。这在章节41中详细谈论。
章节22-8 共振  
在前面的几节中我们已经谈论了几个机械系统的例子有正常的震荡模式。在每个模式中,这个系统中的每个颗粒震荡的简单和谐动作频率等同于这个模式的频率。讨论的系统有一个有限系列的正常模式, 但是基本概念是密切关联一个和谐震荡的动作, 它仅仅有单一个的正常模式。
现在假设给一个系统具有正常的模式施加一个周期变化的力。 系统震动的一个频率等同于力的;这个动作称为一种力的抵消。 一般地这种动作的幅度相对小,但是如果力的频率接近正常模式的频率之一, 幅度可能变得相当大。
如果力的频率准确地等于一个模式的频率, 并且如果没有摩擦或者其它能耗机制, 那么力会继续给系统添加能量,并且幅度会无限地增加。 在任何系统中总会有一些能耗, 但是系统的“响应”(即, 强迫的震荡的幅度)是最大,但是力的频率等于正常频率之一。这种现象称为共振。     
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章节 共振                          431页
推动的一根摆动提供了一个普通的机械共振的例子。摆动是一个坠子带有单个固定频率取决于它的长度。如果一个系列规律间隔的推动给了振动,频率等于摆动的频率,移动会相当大。 如果推动的频率不同于摆动的固有频率,或者推动的间隔发生的不规律,摆动很难会有任何动作。
不同于一个简单的摆子,它仅有一个固有频率,一根伸长的琴弦(和这一章内讨论的其它系统)有大量数目的固有频率。假如一个伸展的琴弦固定一端,而另一端以横向前后移动。 在琴弦上设立了驻波,频率f是任何的数值。如果频率不等于琴弦的固有频率之一, 反节点的幅度会很小。可是,如果频率等于任何一个固有频率,琴弦处于共振,并且反节点的幅度比驱动端的大相当多。换句话说,虽然驱动端不是一个节点,当琴弦处于共振时它比一个反节点更接近一个节点。在图22-5a,琴弦的右端保持固定,并且强迫左端以小幅度垂直震荡。当左端的震荡频率等于基础频率或者首次三个弦外之音之一时,造成的相当大的驻波幅度如照片所示。
对于那件事,一条钢桥,任何的弹性结构,能够以一定的固有频率振动。一支行进队伍经过一座桥时,规则的步伐如果等于桥的固有频率之一时,会造成一个大幅度危险的振动。所以,当经过一座桥时,该组总是会“打乱步子”。
调谐一台无线收音机或者电视机是一个电气共振的例子。通过调谐刻度,一个人调节接收电路里的一个交流(AC)电的固有频率等于想要的电台播放的频率。光学共振也会发生在原子之间,一种低温气体和光波来自一盏灯含有相同的原子。 所以来自一盏钠灯的光会造成一只玻璃灯泡里的钠原子闪亮带有黄色钠灯的特性。  
共振现象可以由帮助演示,通过一个振动的碟子或者音叉建立的径向波。如果两个相同的音叉间隔一些距离放置,并拨动一只,当第一只突然减弱时会听到另外一只。把一小块蜡或者型泥放在一只叉子上,那个叉子的频率将会变化足以破坏共振。  
一架钢琴可以演示一种类似的现象。当阻尼踏板压下时, 以使阻尼提升然后琴弦自由震荡,一位唱出一个稳定的音调到钢琴里。当歌唱停止时钢琴好像继续以相同的音调唱下去。从那些琴弦激励震荡出声音的声波具有的固有频率接近那些起初唱出的音调(基础或者泛音)的频率。  
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章节22-1,-8 振动
II. 章节23-1,-9
声学现象,声波,声学现象的应用434-452页
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章节23-1, 声学现象,声波                 434页
在这一章中我们主要关心的是空气中的纵向波,当击中人的耳朵时,给出了声音的感觉。 人类的耳朵对波敏感,频率范围从20Hz到20,000Hz,有时声音的术语也应用于类似的波,频率在人类可听的范围之外。
最简单的声波是正弦波有一定的频率,幅度和波长。当这样的一个波到达人的耳朵时,它造成空气颗粒的震动,在耳膜上以一定的频率和幅度。 这种变化也可以描述为在这个相同的点的空气的变化。空气压力升至大气压力之上,然后降至大气压力之下,以简单的和谐运动等同于一个空气颗粒的相同频率。
在一个弹性媒体中最简单的周期声波描述为一个波的函数,格式介绍在章节21-3,方程式(21-7):
                   Y=Asin(wt-kx),    (23-1)
这里y来自媒体中的一个平衡点的位移,并且幅度A通常是来自平衡点的最大的位移。
从一个实际的观点几乎总是容易测量一个声波的压力变化比位移, 所以值得开发两者之间的一种关系。让?P?为在任何点的瞬间压力波动,即压力不同于大气常压的量。如果两个相邻的点x和x+?德尔塔x?是相等的,这些点之间的气体或者是压缩的或者疏远,没有体积变化, 而结果p=0 。仅当y从一个点变到附近的一个点会有体积的变化,所以压力也一样。   
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章节23-1 声波                             435页
接近点x的一个元素的分数体积变化??AV/V简单地由?偏微分 dy/dx?,即当我们从一个点走到附近点时y和x的变化率。为了看到为什么是这样,我们注意到?AV/V?正比于一个元素的长度变化,其长度为?Ax?,当没有波的干扰出现的时候,除以?Ax?。长度的变化是y在点?x+Ax?的值减去在x点的值。如果?Ax?很小,这大约是?Ax?乘以y相对于x的微分。 所以   
            ? y(x+Ax,t)-y(x,t)=偏微分?dy/dxAx?
并且   
     AV/V=(y(x+?Ax,t)-y(x,t))/Ax?=偏微分dy/dx。 (23-2)
现在从体积模数B的定义,方程式(10-10),?P=-BAV/V?, 并且我们发现
                    p=-B偏微分(dy/dx)?.    (23-3)
负的符号出现,因为, 当?偏微分dy/dx是正的, 位移在点?x+Ax?比x的位移大, 对应于体积的一次增加, 比关切压力减少一次。 对于方程式的正弦波(23-1),我们发现
                       p=BkAcos?(wt-kt)。 (23-4)
压力差别于大气压的最大量,即p的最大值, 称为压力幅度, 标注为P。 方程式(23-4)显示
                       P=BkA。 ?            (23-5)
我们注意到压力幅度直接正比于位移幅度A, 正如可期望的, 并且它也取决于波长。更短的波长的波(较大的k)对于一个已知的幅度有更大的压力变化, 因为最大和最小值挤压的接近到一起了。
我们还会开发介质中的点的p和颗粒速度v之间的一种关系(不与波的传播速度c混淆)。 颗粒速度由?v=偏微分dy/dt?给出,并且对于方程式(23-1),这是
       v=偏微分dy/dt=?wAcos(wt-kt).    (23-6)
最大速度称为速度幅度V, 由?V=wA?。 与方程式(23-5)结合, 我们发现
         P=?BkV/w?=BV/c.?            (23-7)
所以压力幅度与速度幅度之间的关系取决于频率。想起传播速度c是
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章节 23-2 声学现象  强度             436页
由方程式(21-16给出),
               c=??(B/p)**0.5??,
我们可以如下写方程式(23-7):
              P=(Bp)**0.5V。
量(Bp)**0.5称为这个系统的机械阻抗, 参照电路中的一个模拟, 其中压力模拟电压,速度对电流,以及机械阻抗对电阻或者阻抗。 以这种模拟来表达, 方程式(23-9)是欧姆定律的机械模拟, 如章节28-3中所讨论。
例子 声波的测量显示最大声音的最大压力变化,一个人耳朵能够容忍而不痛是30帕(Pa)的次数(大气压力的上和下,即大约十万帕(100,000Pa))。找到对应的最大的位移, 如果频率是1000赫兹(Hz)及c=350m/s.
解答  我们有 w=(2pi)(1000Hz)=6283/s 和
               k=?w/c=6283/s/350m/s=18.0/m.
空气的绝热体积弹性模量
  B=?Rp=(1.4)(1.013X10**5帕(Pa))=1.42X10**5帕(Pa)。   
从方程式(23-5)我们发现
        ?A=P/Bk=(30Pa)/(1.42X10**5Pa)(18.0/m)
              =1.18X10**-m=0.0118mm.?
所以甚至最大声音的位移幅度是非常小的。在最小的可听到的频率1000Hz声音中的最大压力变化仅仅大约是3 X 10**-5帕(Pa)。对应的位移幅度大约是10**-9厘米(cm)。为了比较,黄色光的波长是6X10**-5厘米(cm),并且一个分子的直径大约是10**-8厘米(cm)。 人的耳朵是一种非常灵敏的器官!  
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章节 23-2 强度
所有种类的波的传播的一种基本方面是能量的转换。一个熟悉的例子是地球的能量的供应,它通过太阳的电磁波的辐射到达我们。一个旅行波的强度I 定义为波传送的时间平均率的能量,每单位面积,垂直于传播方向的一个截面积。 更简单地, 强度是传输的平均功率每单位面积。
我们已经见到一个力发展的功率等于力和速度的乘积。 所以没单位面积的功率在一个声波中等于过剩的压力(力每单位面积)与颗粒的速度的乘积, 对应地由方程式(23-4)和(23-6)给出。 我们发现
         ??pv=?wBkA**2cos**2(wt-kx)?。  (23-10)
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章节23-3强度等级和响度            437页
由定义强度是这个量的平均值。 函数?cos**2z?的平均值是1/2
,所以我们发现
         I=1/2?W?BkA**2. ??    (23-11)
通常以压力幅度P表示I更方便。使用方程式(23-5),我们发现
               ?I=1/2wBk(P/Bk)**2=cP**2/2B.?  (23-12)
通过使用波速关系式?c=(B/p)**1/2?,这也可以换一种形式书写
               I=P**2/2pc=P**2/2(pB)**0.5  (23-13)
这些表达式的推导留下作为一个练习。
人的耳朵可以容忍的最大幅度的一个声波的强度(大约P=30Pa)是
                 I=??=1.07J/sm**2=1.06W*m**-2
                     =1.07*10**-4瓦/厘米平方(W*cm**-2).
单位1瓦/厘米平方是一个混合单位,既不是厘米-克-秒制(cgs)也不是米公斤秒制(mks)。我们在这里提到是因为很不走运一般不用在音响员中。
可以听到的最小声波的压力幅度大约是3*10**-5帕(Pa),并且对应的强度大约是10**-12W/m**2或者W/cm**2.
一个声波通过一个表面带的总功率等于表面上的强度与表面积的积, 如果整个表面的强度是均匀的。一个人以普通会话的声音讲话发展的声波的平均总功率大约是10**-5瓦, 而一个大喊声对应大约3*10**-2瓦。由于纽约市的人口大约是八百万,发展了声学功率, 如果大家都同时讲话,会大约是80瓦,或者足以开启一般大小的电灯。 另一方面,需要的功率填充一个大型会堂的大声音是可观的。假如一个半径为20米的半球是1W/m**2.表面积大约是2500平方米(m**2)。为此一只喇叭的声学功率输出在球的中央必须是
            1W/m**2)(2500m**2)=2,500瓦(W),或者2.5千瓦(kW)。 输入到喇叭的电功率必须要相当大, 由于这样的器件的效率不太高。  
23-3 强度等级和响度
人的耳朵灵敏的强度由于覆盖的范围很大,对数比算术的强度尺度更方便。  
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章节 23-3 声学现象                     438页  
对应地,强度等级?贝塔b?的一个声波定义为方程式
                      ?贝塔b?=10logI/I0?,   (23-14)
这里I0?是一个任意的参考强度, 取10**-12W/m**2, 大约等于人可以听到的最小的声音。强度等级以分贝(db)表达,缩写为db。
如果一个声波的强度等于?I或者10**-12W/m**2, 它的强度等级是零分贝(0db)。 认得耳朵可以容忍的最大强度大约是1瓦/米平方,对应于120分贝的一个强度等级。考察取值来自纽约市消声委员会
23-1 由于不同声源的噪声等级(代表值)
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噪声的声源或者描述     噪声等级,   强度,
                       分贝(db)   瓦/米平方(W*m**-2)
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耳疼痛的阈值   河流  提升的火车   热闹的街道交通  普通会话 静音汽车  室内安静的收音机  小声的平均值  树叶的沙沙声 可听度的阈值  
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在可听度的范围内, 耳朵的灵敏度随频率变化。在任何频率的可听度阈值是声音的最小强度,在那个可以检测的频率。对于一个有正常可听度的年轻成年人,听力阈值在1000赫兹(Hz)大约是零分贝;在200和15,000赫兹(Hz)大约是20分贝, 以及在50和18,000赫兹大约是50分贝。所以在频率尺度的高和低端耳朵的灵敏度下降。
术语响度参照为听者感觉到一个声音的幅度。 响度通常随强度增加, 但是由于耳朵的灵敏度变化,两者没有直接的关系。可是有可能定义一个响度的单位, 而后通过人体试验,比较感觉的不同声音的强度,并推导出声音的强度和响度之间的关系,频率的变化和频率的组合。
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起初,一个尺度贝尔(bel)的强度等级由关系式定义
               强度等级=对数(log)(I/I0).
这个单位证明大的不方便, 所以分贝(db),一个贝尔(bel)的十分之一, 变得普遍使用。单位命名的荣誉者为亚历山大格雷厄姆贝尔      
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章节23-4 音质和高音                       439页
响度感觉的标准是。一个宋定义为一位有正常听力的听者经历的响度,当一个1000赫兹(Hz)的音调强度40分贝(db)呈现在两边的耳朵。一个2宋的声音的感觉是一个1宋的响声两倍,以此类推。 发现1宋对应大约70db在60Hz,53db在200Hz,40db在1000Hz,或者35db在3000Hz。在许多情况下,发现来自两个混合源的响度是叠加的;如果一个源在一定的位置造成的响度为3宋,而另一个为5宋, 那么发现来自两个源的混合的响度为8宋。宋开始用以测量一个噪音的等级;它把目标考虑进去,声音的心理方面, 而强度没有(以分贝测量)。
章节23-4 音质和高音   
一根拨动的琴弦或者风管乐器的空气柱同时以许多频率震荡。一个物体仅仅以一个频率振动不寻常。 一只小心制作的音叉轻轻地敲在一个橡皮快上会仅仅以一种频率振动,但是在乐器的情况下, 基础和许多谐音常常会同时出现。从耳朵把脉冲送到大脑产生了一种纯净的乐器音质的感觉。假如,一个音调的声谱包含有一个基础的200赫兹(Hz)和谐音2,3,4,和5,每个都有不同的强度,然而另一个音调的声谱含有实际上相同的频率但不同的强度分布。两个音调会响声不同;它们被认为是音质或者音色不同。
用于描述音乐音调的形容词纯粹性质上主观的, 例如,似笛声的,金质的,环绕的,柔和的,不悦耳的,等等。一个声音的质量部分的确定由出现的高音调的数目和他们的相对强度对时间比曲线。 几种乐器的声谱如图23-1所示。
确定音调质量的另一个重要因数是一个音调的开始和结束时的行为。一个钢琴的音调从一次敲击开始尔后慢慢消失;一个大键琴的音调除了有不同的谐音成分,从更快更深的滴答声开始,在低调之前较高的谐音开始。当键放开时音调的终止也很
23-1 一些乐器的声谱。(哈维弗莱切博士荣誉出品。)
   相对幅度对频率(Hz)
   小提琴,黑管,长号风琴管,钢琴
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章节23-5 声学现象 音乐间隔和尺度            440页
迅速,大键琴比钢琴。类似的效应也出现在其它乐器中;以风和琴弦乐器演奏者更加能够控制音调的出击和衰减, 并且这些特征有助于定义每种乐器的独特的特性。
术语高音参照为一个响度感觉的属性能够使一个人区分一个音符的“高”或者“低”。 如响度, 它是一个主观的量并且不能用乐器测量。 高音相关于客观量频率,但是没有一一的对应关系。 对于一个常强度的纯音调, 当频率增加时高音变得更高,但是强度等级升高时一个常频率的纯音调变得更低。
许多在乐器上演奏的音符有丰富的谐音, 其中有些比基础音更显著。呈现一个频率整列由一个谐音系列组成,人的耳朵指定一个特性高音的组合, 这个高音就与该系列的基础频率关联。这个高音感觉是一定的,即有可能完全消除基础频率,通过过滤的方式,而不改变高音!人耳朵提供基础的,以有正确的谐音为条件。 它是人耳朵相当惊人的特性能够使一个不能辐射低频的小的扩音喇叭很好地给出然而在低频区域好的辐射的印象。因为对于谐音频率喇叭是一个相当有效的辐射器,这位听众相信他实际上听到了低频,当取代的是他仅仅听到了这些频率的倍数并且他的耳朵正在提供基础的。  
音乐符的频谱常常更加复杂,比如图23-1所建议。而不是有一个准确定义的基础频率, 一个音调常常有一个连续的频率分布,有强度峰值频率是定义为基础和不同的超音调。所以,比有一个明显定义的基础频率,以一个更加复杂化的方式,感觉一个独特音调的高音与它的频谱相关。
*23-5 音乐间隔和尺度
当一定的乐符连续或者一起产生, 甚至一位没有受过训练的听众认识到它们之间的一种关系。这种关系 以音乐语言的文字描述为八度音,大调三级,小调三级,等等。听众认识了这些音调组合的一些基础; 并且分开的音调的基础频率的试验性测量揭示了它们的关系, 一个与另一个, 可以近似为简单的整数比值。例如,钢琴的中C的基础频率和它的八度音以上,C’,有一个1到2的比值。 通过弹奏C,E,G获得另一个基础组的音调。这些构成知名一个大调三和音,并且发现频率是几乎正比于4,5,和6 。
从钢琴的中C开始,并且仅仅向右弹奏白色的键,有可能发现,仅在九个音符之内, 三
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章节23-5 音乐间隔和尺度                     441页
大调三和音。这些如表23-2所示;它们能使一个人计算所有音调的频率,一旦任意选中了它们的其中一位。 由国际协议,在中音C之上的A的频率选为每秒振动440次。所有音调的频率,如表23-2第五行所示,是那些对应于C键的刚好的全音节尺度。见到的频率比值是9/8,或者10/9,或者16/15.两个音调的间隔它们的频率的比值是9/8或者10/9称为全音调,而频率比值为16/15的两个音调之间的间隔是一个半音。
     23-2 频率关系以刚刚好全音节的尺度和相当缓和的尺度
                    ’ 来’
频率   
关系    C    D    E   F    G     A    B    C’  D’
C键的八度音   C键的大调三和音   F键的大调三和音
G键的大调三和音   C键的刚好尺度    刚好尺度的间隔
适合所有键的相当缓和的尺度  相当缓和尺度的间隔  
全音(Whole)   半音(half)  
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如果一个大调全音节尺度从D而不是C构建, 对一个完整的全音节尺度会需要四个新的音调。如果提供有所有的音乐键给每个八度音会需要许多附加的音调。为了避免这种非常的复杂,发明了有名的相当缓和的尺度。 在这种方案中在每个八音度的范围内有12个半音调, 相隔半个音调的附近的音调有2的12次方根的常比值,例如1.05946。
正如这种方案简单,结果是没有一个尺度是真正的全音节。由于全音节的比值起初选来偏偏适合耳朵听(由三组大调三合音组成,它们的每一个形成一个和谐的组合),这意味着一件乐器调的相当缓和的尺度不是相当      
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章节23-6 声学现象  节奏                        442页  
23-2  (a),(b)位移 时间
节拍是幅度上的波动由两个稍微不同频率的声波产生。
给耳朵好听。所以那些白键的一架钢琴调的“刚好”尺度的声音好听于(例如,更“在调”)调到等于暴躁音,当在C键弹奏时,但是在其它一些键中声音更差。所以一架乐器用于乐章的所有键通常调的等于暴躁音。
在巴洛克时期, 可是多于三个尖锐或者平调的键相对不常用,并且科恩伯格,克迈斯特和其他人发明了不同的妥协的暴躁音,有利于常用的键。这个时期主要是风琴和大键琴有意用于音乐,有时会调节为这些暴躁音之一。 有证据显示 J.S.Bach 喜欢这些而不是相等的暴躁音。它的乐章“相当暴躁的无件乐器”在所有大调和小调键上包含有序曲和赋格曲中,但是很重要不要误解很好的暴躁音为等同的暴躁音!
23-6 节拍
一根空气管中的驻波引证为一个干扰的例子。它们发生时两个等幅等频率的波以相反反向旅行过相同的区域。 我们现在希望考虑造成的另一类干扰,当两个相同幅度而稍微不同频率的的波旅行过相同的区域时。这样一个条件存在时两个稍微不同频率的调音叉同时发声或者当相同的键敲动两根相同的琴弦时是稍微“出音调”。   
让我们考虑空间中的一个独特点两个波同时通过。 独立的位移绘制为时间的函数如图23-2a。 如果时间轴的总长度代表一秒,两个波的频率是16赫兹和18赫兹。 应用叠加原理, 我们把每个时间的两个位移叠加找到那个时间的总位移,得到图23-2b。在这个例子中,出现为一个单正弦波有变化的幅度; 在一秒内幅度通过两个最大点和两个最小点。这样的变化幅度造成响声的变化称为节拍。幅度随着一个频率变化称为节拍频率,它不同于两个波的。 如果这个频率是几个赫兹,它感觉为音调中的一个波浪或者脉冲。  
可以如下分析节拍的产生。在一个独特的点,由于相等幅度A的两个波的位移但是        
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章节 23-7 多普勒效应                    443页
不同的频率f1和f2可以写为
            ?y1=Acos2pIF1t,  ?y2=Acos2pif2t.
通过叠加原理,合成的位移是
        ?y=y1+y2=A[cos2pif1t+cos2pif2t],?
并且,由于
         cosa+cosb=2cos(a+b)/2cos(a-b)/2,
这可以写为
          y=[2Acos2pi(f1-f2)/2t]cos2pi(f1+f2)/2t.  (23-15)
然后合成的震动可以考虑为有频率(f1+f2)/2(两个音调的平均频率)和幅度如括号内的表达式。所以在一个频率(f1-f2)/2幅度随时间变化。如果f1和f2接近相等, 这一项小并且幅度波动很小。 当幅度大时,声音大,并且反之亦然。一个节拍,或者一个最大的幅度,会发生在?cos2pit(f1-f2)/2等于1或者-1时。 由于这些值的每一个在每个周期发生一次, 每秒的节拍数是倍数频率(f1-f2)/2;每秒的节拍数等于频率差。  
两个音调之间的节拍人的耳朵可以检测到一个6或者7赫兹的节拍频率。两根钢琴的琴弦或者风琴的管频率相差2或者3赫兹声音波动并且“出音调”,虽然有些风琴的停顿包含有两组管有意调为大约1到2赫兹的节拍频率,为了柔和不波动的效果。听节拍是一个重要的技巧在调音所有的乐器中。
在较高的频率,单个节拍不再能够区分出来,并且知觉合并成一个和音或者不合谐音取决于音调的频率比。一个节拍频率,虽然它处于耳朵的频率之间,耳朵不一定解释为那个频率的一个音调。然而,一个可以听到的频率等于其它两个同时出声的频率差。这样的一个音调称为差别音。虽然不易认识,一个频率称为一个累加音并且等于两个音的频率的相加,也可以听到。一般的术语应用差别音和累加音两者是组合音调。
*23-7 多普勒效应  
当一个声源,或者一位听众,或者两者,在空气中相对移动,听众听到的高音,一般地不同于声源和听众是处于静止的。最普通的例子是一个高音突然降下来,来自一个人遇见的一只汽车喇叭, 并且路过一辆小车反方向行进。这种现象称为多普勒效应。   
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章节23-7 声学现象                              444页
23-3 一位听众朝着哟个固定的源移动听到的频率高于源的频率因为听众和波的相对速度大于c
让?vL?和?vS?代表一位听众和一个源相对于空气的速度。 我们将仅仅考虑一种特殊情况,速度位于沿着听众和声源的连线。 由于这些速度可能会以相同或者相反的反方向, 并且听众可能是在声源的前面和后面, 需要符号的一个常规。我们将去来自听众?vL和v?的正方向,指向声源的位置。 声波的传播速度,c,将总是认为正的。
我们首先考虑一位听众L以速度?vL?朝着一个固定的声源S移动,如图23-3中。声源发射的一个波有?fs?频率和波长?拉姆达r=c/fs?.示意图显示了几个波顶, 由相等的距离?r?分开。 波接近移动的听众有一个传播速度相对于他?(c+vL)?。所以听众以频率fL遇到了波顶,例如,他听到的频率是,
              fL=(c+vL)/r?=(c+vL)/c/fs?,  (23-16)
或者   
              fL=fs(?)=fs(?)。       (23-17)
所以一位移向声源的观察者比一位固定的观察者听到一个较大的频率和更高的高音。 类似地, 一位听众移开声源?(vL<0)?听到一个较低的高音。
现在假设声源总是以速度?Vs?移动,如图23-4 。 相对于空气的波速仍然是c;波的传播速度不由声源的移动而改变,但单纯是波介质的一个特性。但是波长不再给出为
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章节23-7 多普勒效应                         445页
23-4 一个移动源发射的波表面在源的面前拥挤在一起并在它的后面伸展出去。
c/fs?.波的一个循环发射的时间是一个周期?t=1/fs?.在这段时间内波旅行了一段距离?ct=c/fs, 并且源移动了一段距离?vst=vs/fs?. 波长是连续的波顶之间的距离, 并且这是由声源和波的相对位移确定。在源的右边的区域, 波长是
         ?拉姆达r=?=?=?,        (23-18)
并且它的左边的区域是
         ?拉姆达r=??。            (23-19)
相对地波由源的移动压缩和伸展。
现在由听者测量的频率给出,由方程式(23-19)代入方程式(23-16)的第一个格式:
               fL=?=??,
或者           
               fL/c+vL?=fs/(c+vs),    (23-20)   
它表示这位听众听到的频率?fL,以声源的频率fs表达。
这种一般的关系包括所有的可能性,对于声源和听众相对于介质同线运动。如果一位刚好处于静止   
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章节 23-7 声学现象                             446页
在介质中, 对应的速度是零, 并且当然两者都处于静止时或者相对于介质有相同的速度,那么fL=fs。 无论何时听众或者声源以反方向运动,我们指定为正, 在方程式(23-18)中使用的对应的速度是负。这些例子示范了这些符号的常规,
例子 fs=300赫兹(Hz), 并且c=300(米每秒)m/s. 一个固定源发射的波的波长然后是c/fs=1.00m.  
a) 在图23-4中如果源的速度是30m/s,其前后移动的波长是多少?
在声源之前,
   ?拉姆达r=?=?=0.90米(m) 。
在声源之后,
      ?拉姆达=?=?=1.10米(m)。
b) 如果图23-4中的这位听众处于静止并且声源从他移开,以30m/s, 这位听众听到的频率是什么?
由于
      vL=0 和 vs=30米/秒,
我们有
        fL=?
          =300赫兹(Hz)(?)=273赫兹(Hz)。
c) 如果声源如图23-4处于静止, 并且听众向左移动,以30米/秒, 这位听众听到的频率是什么?
正方向(从听众到源)还是从左向右, 所以
    vL=-30m/s, vs=0,
    fL=fs(c+vL)/c
      =300Hz(???)=270Hz.
所以,当这位听众听到的频率fL小于频率fs,此时声源移开听众以及听众移开声源都是,对于后退的相同速度频率的减少是相同的。
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在先前的方程式中, 速度vL,vs,和c都相对于空气,或者更一般地对于它们旅行的波中。对于电磁波多普勒效应也纯在于纯空间中, 例如光波或者无线电波。在这种情况下,相对于“介质”没有一个可定义的速度,而且我们仅仅可以讲声源和接受者的相对速度v。   
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章节 28-8 来自一个活塞的辐射              447页  
为推导光的多普勒频率相移的表达式需要使用相对论动力关系。 这些将在第43章推导出来, 但同时我们引用了结果而没有推导。 波速c是光的速度,并且源和听者两者相同。在参考架构中听者处于静止,源从听者以速度v移开。(如果,代之,源接近听者,v是负值)。源的频率再次是fs。听者测量的频率fL?(例如波到达L的频率)然后给出为  
                  ?fL=(c-v)/(c+v)?Fs?   (23-21)
      23-5    1,2,3  地球  跟踪站
     速度分量的改变沿线观察到一颗卫星经由一个跟踪站。
v是正时,源离开听者并且fL总是小于fs;当v是负的时候,源移向听者并且fL大于fs。所以,质量效应对于声音是一样的,虽然量化的关系是不同的。
多普勒效应提供一种方便的方法给跟踪一颗卫星正在以恒定的频率fs发射一个无线电信号fs。当卫星经过时地球上接收的信号频率fL减少,由于速度分量向着地球减少, 从位置1到位置2如图23-5所示,然后离开从地球2到3点。如果接收的信号与接收器产生的一个恒定信号结合增加节奏,然后节奏频率会如此产生一个听得见的音符它的高音随着卫星经过头顶而减弱。
执法人员使用的一个类似的技巧用来测量汽车的速度。路边的一个源发射一种电磁波,典型地附加在一座警车上。波从一座开着的小车反射所以作用为一个移动的源;反射的波是多普勒相移频率。使用节奏测量频率的相移,如用于卫星跟踪一般,允许速度的简单测量。
在天文学中对于光多普勒效应是重要的。分析来自远距离的星球的光谱显示了波长的相移与来自地球上的相同的元件频谱比较。 这些可以解释为由于星星球的运动出的多普勒相移。相移几乎总是指向频谱的较长的波长或者红端,所以称为红色相移。 这样的观察已经实际上提供了所有的证据给“宇宙爆炸”的宇宙学理论,它表示宇宙是从一个相对小的空间范围经过一次几十亿年前的巨大爆炸演变而来的。
章节 23-8 来自一个活塞的辐射
正如我们所见,声波可以通过很多不同的方式产生。一个最简单的理解的例子是移动的一个扩音喇叭的圆锥,并且有说明性验证这样一个系统的动作。为了简单,我们考虑了一个理想化的模型其中这个圆锥表示一个平面垂直于它的表面移动。一个按这种方式震荡的单表面产生的声波从两边辐射开来。进一步简化问题,然我们假设我们有一个震荡的活塞安装接近一座大墙或者挡板, 如图23-6a所示。然后仅仅
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章节 23-8  声学现象                        448页  
需要考虑在挡板右边的空间从活塞的右边辐射的波。
辐射能量的方向性分布取决于活塞的形状和它的相对于发射波的波长的尺寸。对于除了圆和矩形之外的任何形状数学变得非常的复杂。 最简单的例子是一个很长的矩形如一块长的木板,并且图23-6b是这样一个活塞的端视图。想象这个活塞的右面, 宽度D, 分割成许多数目的很窄的条形平行于活塞的长度并垂直于图的平面。每一个这样的条可以作为一个线性源, 发送出的波形有圆柱形波面与源同心。我们现在对这些圆柱波应用叠加原理。
P是一个空间的点在一个大距离l 与一个源的宽度D相比, 并且有波长拉姆达?R?。 考虑两个元件线源a和b,一个在活塞个顶边而另一个刚好在它的中线之下。以P为一个圆心及Pb为半径, 画弧线如断续线所示, 在c点插入线Pa。 ac的距离然后是路径差,从a到b到达P的波之间。 由于l比D大, bc弧线非常接近于一条直线,并且abc非常接近于一个直角,有阿尔法a?角等于Pb与法线Ob之间的角。路径差ac然后等于ac=D/2sin?阿尔法a?。(23-22)
如果角阿尔法a?有这样一个值即ac等于一个半波长, 波从a和b到达P180度出相,几乎相互抵消。
考虑刚好a和b之下的下一对线条源。可以如图23-6b构建一个类似的示意图, 并且来自这两个源的波也在P点抵消。 以这种方法对活塞的整个表面进行, 我们见到在与法线形成一个角的方向, 几乎发生完全抵消,条件是
                     ac=拉姆达r?/2,
23-6 (a)安装在一块挡板上的震荡的活塞。(b)构建定位最小衍射从一个长矩形源来的辐射图形。
a),(b)挡板 震荡活塞
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章节 23-8  来自一个活塞的辐射            449页
或者, 来自方程式(23-22),
                  sin阿尔法a=拉姆达r/D?  (23-23)
如一个例子, 如果D=0.3米(m)并且?拉姆达r=0.15米(m)(对应于一个大约2000赫兹(Hz)的频率)。
           sin阿尔法a=0.15m/0.3m=0.50,
                 ?阿尔法a=30度?,
并且在法线的两边30度的一个方向角没有辐射能量。
其它最小值发生的方向为?sina=2r/D,3r/D,等等。这可以通过把活塞的表面分割成四分之一来显示,六分之一,等等,并且元件两两成对,如图23-6b。 在辐射图形中最小值之间是强度最大的区域,并且有直出到边的一个最大值(在点O),这里从活塞的所有区域的辐射在向相上旅行和到达相同。 一个完全类似现象发生在光上, 并且在文本上称为衍射。 这在第41章中详细讨论。
以相同的方法分析来自一个圆形活塞的辐射图形,就像对一个长矩形一样。 活塞分割成窄的圆区域而不长条,并且来自所有区域的波的影响在一个距离点累加。 沿着活塞的轴有一个最大的强度,如所期望的。 第一个最小值发生的阿尔法a?角如下给出
                          sina=1.22拉姆达r/D, (23-22)
这里D现在是活塞直径。 如果D=0.3m,拉姆达r=0.15m,
                  sina=1.22(0.15m/0.3m)=0.61,
                     ?阿尔法a=~38度。
大约85%的辐射能量焦距在这个半角的一个圆柱内。 其它迅速减少强度的最大和最小值围绕着中心最大点。图23-7是一个强度分布的空间示意图,在一个安装在一块挡板上的一个震荡的圆形活塞的前面。
一个声音辐射的导向率有多种应用。 在一座电影院内,例如, 我们希望在屏幕后面的一位演讲者辐射的声波覆盖一个大的角度。 如果一个扩音喇叭的直径为0.3米,近似于一个平面的圆形活塞,是声源,那么在2000赫兹(Hz)直接辐射的波主要焦距在“一束”半角38度,中心在喇叭轴上。 对于一个10,000赫兹(Hz)的频率, 或者一个大约半径为0.03米(m)的波长, 半角是   
sin阿尔法a?=1.22(0.03米(m)/0.3米(m))=0.122,?
a=~7度,
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章节23-8 声学现象                            450页
23-7 安装在一块挡板上一个震荡的圆形活塞前面强度分布空间图。从活塞的中央到表面的任何点画的一个向量在那个方向上具有一个正比于声音强度的长度,如在固定的气缸的一个远距离所观察的一样。
而在一个频率为1,200赫兹(Hz)时,或者一个波长大约为0.25米(m),
  sin阿尔法a?=1.22(0.25米(m)/0.30米(m))=~1.0.
            阿尔法a=~90度。
这意味着1200赫兹(Hz)的频率或者更小,铺出的辐射能量相当均匀,而在10,000赫兹(Hz)它焦距在一窄束上,犹如一条探照灯的光束。
由于演讲的可理解能力大大取决于高频分量,这些通常通道如数个喇叭指向演讲大厅的不同部分;单一个喇叭可以处理低的频率, 由于低频辐射图形有一个很宽的角幅度。另一方面,有时是期望的,如水下声音发信号或者当引领欢呼部分,产生一个声束仅仅有一个小的角分散度。为了这样完成,圆的直径(它近似于一个圆形活塞)必须大与辐射的声音的波长相比。
如果代替安装在一堵墙上的一个震动的活塞,在墙上单纯有一个孔和从左边入射的一个平面波,传输过孔的波在它的后面会传播方式等同于安装在空上的一个活塞起源的波。如果波长于孔的尺寸相比小, 波的铺展小,尚若波长大,波向所有的反方向铺出。
当一连串的波的路径上遇到了一个障碍, 在障碍物的远边的合成效应是由于那些前行波的部分表面没有阻碍。 用很一般的术语,如果波长相对小,铺开小并且障碍物投下一个尖的“影子”。波长越长,波的铺开或者弯曲越大。 所以一个人可以听到一栋建筑物拐角的地方,但是对于长波长的波(或者短频率)比短波长(或者高频率)这种效果更大。对于上面描述的一般术语, 其中一位考虑了合成的效果,多个数量的波来自      
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章节 23-9  声学现象的应用                   451页
声源的不同部分, 是衍射。光的衍射现象是非常重要的并会在第41章详细讨论。
23-9节 声学原理的应用
声学原理不单单局限于声音和听力。机械波的分析在许多种场合是一种有力的研究工具。 水中的弹性波由浸没在水中的固体反应出来,例如鱼群,潜水艇,或者沉船。声纳系统利用水中反射的声波确定这种物体的位置和运动。   
分析地球的弹性波给它的结构提供重要信息。 地球的内部可以粗略地画出由同心圆壳组成,具有机械性能例如密度和弹性模数在不同的壳中不同。由爆炸和地震产生的波在这些地壳之间反射和折射,并且对这些波的分析允许部分地确定了地壳的尺寸和特性。
最近有趣的一些声学应用是在医疗领域,这里声波用于诊断和治疗两者。 在诊断中, 超声波(例如20千赫兹(kHz))频率通常使用是由于它们的短波长允许研究比可听到的声音更小尺度的现象。这样的波的反射从身体的内部区域可以用于检测大量的病态情况,例如肿瘤,和研究多种现象例如心脏瓣膜的动作。在区别不同种的组织时,超声波比x射线更灵敏, 虽然超声波的危害的可能还没有彻底发现出来。在更高的功率级,发现超声波肯定会有选择性地破坏有病的组织,并发现有治疗用途,对一定的癌症,关节炎和相关的疾病。
超声学在医疗和其他应用中, 使用了大量的电子仪器。首先总是由电波产生声音,并用它驱动一个传感器把电转换正机械(例如声)波。 所以传感器类似于喇叭的动作,除了频率范围不同;常常使用高至几兆赫兹(GHz)的频率(例如每秒几个百万周)。检测仪器包括传感器,有麦克风的功能,以及放大器和器件回放反射的信号。一种普通的技巧是送出脉冲并观察发射和反射的脉冲在示波器上“尖锐而短促的声音”,允许直接测量发射和反射的时间间隔。声学原理对环境问题的应用是明显的。现在认识到噪音是环境变坏的一种重要情况。例如设计静音的质量运输汽车包括详细研究声音的产生和传播,在汽车的马达,轮子和支撑结构中。 过分的噪音水平会导致永久的听力障碍;最近的研究显示许多年轻的“摇滚乐”歌手损失了听力。
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附图页码一致,符合国际标准




























































































































大湾区
  2020-8-1








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