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【专栏2】微观电流——扩散电流

2019-11-28 11:38:22  677 电流
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本帖最后由 橘子说IGBT 于 2019-11-28 13:18 编辑

一、电流与速度
了解完电场作用下的漂移电流,接下来我们讲解热运动导致的扩散电流。
热运动的最小自由空间为一个平均自由程,即一个粒子通过热运动与相邻粒子相碰撞的平均距离。假设在温度T下,半导体电子的平均自由程为l,热运动平均速度为vth,热运动通过一个平均自由程所需时间为 0.JPG
在一维情况下,假设沿x方向的电子浓度分布为n(x)。如图所示“0”点所示位置,其距离最近的邻近电子分别位于l和-l处,相应的电子浓度分别表示为n(l)和n(-l)。根据平均自由程的定义不难理解,最先可能扩散到“0”位置的电子就处于这两个位置。
1.JPG
根据电流密度定义,要获知“0”点的电流,就要计算左右两侧n(l)和n(-l)分别在t时间内通过“0”点的电荷总量
以-l位置的n(-l)个电子为例,在一维状况下,这些电子热运动往左或者往右的概率相同,均为 2.JPG 。所以,在单位时间内通过“0”点的电荷数量 3.JPG ,相应产生电流为:
4.JPG
(设电流以x方向为正,添加“-”的原因是电子电流方向与运动方向相反)同理,对于l位置的n(l)个电子在“0”点产生的电流为:
5.JPG
n(l) 和n(-l)在“0”点产生的总电流为:
6.JPG
这样,我们就能得到电流J与速度v之间的关系。
二、电流、速度和浓度梯度
进一步地,我们想要梳理清楚电流、速度和浓度梯度之间的关系。
一维浓度梯度的表达方式为浓度n(x)在x方向上的微分,即 7.JPG 。根据Jn(0)的表达式,只需梳理[n(l)-n(-l)]与 8.JPG 之间的关系。
这里可以用到Taylor展开,简单解释如下(想直接看推导结果的伙伴可以跳到结果):
如果一个函数f(x)在 9.JPG 区间具有n阶导数fn(x),且已知在 10.JPG 点的值f(x0),那么f(x)可以展开为多项式之和:
11.JPG
其中,Rn(x)是余项,即误差项,是(x-x0)n的高阶无穷小。具体推导这里不做赘述,简言之就是可以将任一可求导的函数展开为一个多项式之和,基本规律是x距离x0越近,那么可取的多项式指数也可以越小,误差也越小(极限情况就是取x=x0,上式就变成f(x)f(x0)。
回到扩散电流的推导,因为平均自由程显然是一个微小量(通常为数埃到数百埃,显然半导体中杂质、缺陷越小,平均自由程越大),利用Taylor展开式,可以将n(l)在x=0处展开为:
12.JPG

在假设l是一个足够小的量的情况下,忽略上式中二次方及以上的多项表达式以及误差项,近似得到:
13.JPG
同理:
14.JPG

15.JPG
由此我们得到[n(l)-n(-l)]与之间的关系。
结合前面的电流密度推结论 16.JPG ,从而得到:
17.JPG
扩展到所有x,有:
18.JPG
定义电子扩散系数 19.JPG ,就得到大家常见的电子扩散电流方程:
20.JPG
同理,可得到空穴扩散电流方程:
21.JPG
从而,扩散总电流为:
22.JPG 注意:
1.此处在扩散电流的表达式中采用了“约等于”的符号,而绝大多数文献中是直接为等号。从推导过程中,大家容易发现Taylor展开中是作了近似处理。需要知道的是:当半导体晶体质量越高、掺杂浓度越低,这个表达式的精确度也就越差,就需要引入更高阶的多项式来减小误差。
2.扩散电流中的速度是Vth一个统计值,也就是说与漂移电流不同的是,扩散电流等式不适用于单个电荷等不具有统计意义的对象。
至此,我们已分别推导得到漂移电流和扩散电流的表达式,那么半导体中的电荷移动所产生的总电流即为两者之和,即:
23.JPG
请注意,自此之后,对于上式的使用,我们不再采用“ 24.JPG ”,也就是默认平均自由程足够小,Taylor展开的一阶表达式精度已经足够。
其中, 25.JPG 26.JPG ,分别为电子和空穴在电场作用下的漂移速度; 27.JPG 28.JPG 分别为电子和空穴在存在浓度梯度情况下的扩散速度。
由此,我们达到了本章开篇所述之目的——“梳理清楚了速度与浓度梯度以及电场的关系,自然也就梳理楚了扩散运动以及漂移运动分别形成的电流,而两者之和就是总的电流”。
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文末总结1、在一维情况下,电流J与速度v之间的关系:
29.JPG
2、电流J、速v和浓度梯度 30.JPG 之间的关系:
31.JPG
3、半导体中的电荷移动所产生的总电流:
32.JPG
19.JPG
王栋春 2019-11-28 13:01:24
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