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[经验] 单片机开根号的快速算法

2019-4-10 07:00:00  708 单片机
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      因为工作的需要,要在单片机上实现开根号的操作。目前开平方的方法大部分是用牛顿迭代法。我在查了一些资料以后找到了一个比牛顿迭代法更加快速的方法。不敢独享,介绍给大家,希望会有些帮助。
1.原理
       因为排版的原因,用 pow(X,Y)表示 X 的 Y 次幂,用 B[0],B[1],...,B[m-1]表示一个序列,其 中[x]为下标。

    假设:
  B[x],b[x]都是二进制序列,取值0或1。
  M=B[m-1]*pow(2,m-1)+B[m-2]*pow(2,m-2)+...+B[1]*pow(2,1)+B[0]*pow(2,0)
  N=b[n-1]*pow(2,n-1)+b[n-2]*pow(2,n-2)+...+b[1]*pow(2,1) +n[0]*pow(2,0)
  pow(N,2)=M
  (1)N的最高位 b[n-1]可以根据 M 的最高位 B[m-1]直接求得。
    设m已知,因为 pow(2,m-1)<=M<=pow(2,m),所以pow(2,(m-1)/2)<=N<=pow(2, m/2)
    如果m是奇数,设m=2*k+1, 那么pow(2,k)<=N<pow(2,1/2+k)<pow(2, k+1), n-1=k,n=k+1=(m+1)/2
    如果m是偶数,设m=2k, 那么pow(2,k)>N>=pow(2,k-1/2)>pow(2,k-1), n-1=k-1,n=k=m/2
  所以b[n-1]完全由B[m-1]决定。
  余数M[1]=M-b[n-1]*pow(2,2*n-2)
(2)N的次高位 b[n-2]可以采用试探法来确定。
      因为b[n-1]=1,假设 b[n-2]=1,则 pow(b[n-1]*pow(2,n-1)+b[n-1]*pow(2,n-2), 2)= b[n-1]*pow(2,2*n-2)+(b[n-1]*pow(2,2*n-2)+b[n-2]*pow(2,2*n-4)),
      然后比较余数 M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1]+b[n-2])*pow(2,2*n-4)。这种比较只须根据 B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判断,其余低位不做比较。
      若 M[1] >=(pow(2,2)*b[n-1]+b[n-2])*pow(2,2*n-4), 则假设有效,b[n-2]=1;
      余数M[2]=M[1]-pow(pow(2,n-1)*b[n-1]+pow(2,n-2)*b[n-2],2)=M[1]-(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4);
      若M[1] <(pow(2,2)*b[n-1]+b[n-2])*pow(2,2*n-4), 则假设无效,b[n-2]=0;余数 M[2]= M[1]。
  (3) 同理,可以从高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。

        使用这种算法计算 32 位数的平方根时最多只须比较 16 次,而且每次比较时不必把 M 的各 位逐一比较,尤其是开始时比较的位数很少,所以消耗的时间远低于牛顿迭代法。
3. 实现代码
这里给出实现32位无符号整数开方得到16位无符号整数的C语言代码。

/****************************************/
/*Function: 开根号处理 */

/*入口参数:被开方数,长整型 */
/*出口参数:开方结果,整型 */
/****************************************/
unsignedint sqrt_16(unsignedlong M)
{
unsignedint N, i;
unsignedlong tmp, ttp; // 结果、循环计数
IF (M == 0) // 被开方数,开方结果也为 0
return 0;
N = 0;
tmp= (M >> 30); // 获取最高位:B[m-1]
M <<= 2;
if (tmp > 1) // 最高位为 1
{
N ++; // 结果当前位为 1,否则为默认的 0
tmp-= N;
}
for (i=15; i>0; i--) // 求剩余的 15 位
{
N <<= 1; // 左移一位
tmp<<= 2;
tmp+= (M >> 30); // 假设
ttp = N;
ttp = (ttp<<1)+1;

M <<= 2;
if (tmp >= ttp) // 假设成立
{
tmp-= ttp;
N ++;
}
}
return N;
}

xingwh101 2019-4-12 14:39:28
感谢楼主分享。。。
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淡漠_者 2019-4-27 23:23:54
非常感谢楼主分享,找了好久。
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